陕西省2019年中考数学解答专项辅助圆问题练习.docx

辅助圆问题1. 已知点A、B、C均在半径为R的O上问题探究(1)如图，当A45，R1时，求BOC的度数和BC的长度；(2)如图，当A为锐角时，求证：BC2RsinA；问题解决(3)若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合如图，当MAN60，BC2时，分别作BPAM，CPAN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出PA的长度；若不是，请说明理由第1题图(1)解：点A、B、C均在O上，BOC2A24590，又OBOC1，BC ；(2)证明：如解图，作直径CE，连接EB，则EA，CE2R，EBC90，sinAsinE，BC2RsinA; 图 图第1题解图(3)解：如解图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在RtAPC中，CKAPAKPK， 同理可得：BKAKPK，CKBKAKPK，点A、B、P、C都在以K为圆心，以AK长为半径的K上， 由(2)可知sin 60，AP为定值，故线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是定值，PA的长度为.2. 问题探究(1)如图，已知四边形ABCD中，ABa，BCb，BD90，求：对角线BD长度的最大值；四边形ABCD的最大面积；(用含有a，b的代数式表示)问题解决(2)如图，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB20 cm，BC30 cm，B120，AC195，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由(结果保留根号)第2题图解：(1)BD90，四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，BD的最大值为AC，此时BDAC；连接AC，则AC2AB2BC2a2b2AD2CD2，SACDADCD(AD2CD2)(a2b2)又SABCABBCab，四边形ABCD的最大面积为(a2b2)ab(ab)2；(2)如解图，连接AC，延长CB，过点A作AECB交CB的延长线于点E，AB20，ABE180ABC60，在RtABE中，AEABsin 6010，EBABcos 6010，SABCAEBC150.BC30，ECEBBC40，AC10，ABC120，BADBCD195，D45，则ACD中，D为定角，对边AC为定边，点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，ACD的面积最大，AC的中垂线交O于点D，交AC于点F，FD即为所求最大值，第2题解图连接OA、OC，AOC2ADC90，OAOC，AOF为等腰直角三角形，AOOD()5，OFAF5，DFODOF55，SACDACDF10(55)475475，S最大SABCSACD150475475.3. 问题探究(1)如图，在ABC中，ABAC5，BC6，作高AD，则ABC的面积为_；(2)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P在对角线AC上，且CPCB，求PBC的面积；问题解决(3)如图，ABC是一块商业用地，其中B90，AB 30米，BC 40米，某开发商现准备再征一块地，把ABC扩充为四边形ABCD，使D 90，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由第3题图解：(1)12；【解法提示】如解图，在RtABD中，AB5，BDBC3，AD4，SABCBCAD6412. 图 图第3题解图(2)如解图，过点P作PEBC，垂足为E，则PEAB，CPECAB，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，AC5，PE，SPBCBCPE4；(3)存在如解图，作ABC的外接圆O，第3题解图ABC90，AC为O的直径，又ADC90，点D在O上，在RtABC中，B90，AB30，BC40，AC50，连接OD，则ODAC25，过点D作DNAC，垂足为N，S四边形ABCDSABCSACD，而SABCABBC3040600，只要SACD最大，那么S四边形ABCD最大，又SACDACDN，而DNDO25，当DN25时，SACD最大，即5025625，四边形ABCD的最大面积为：6006251225(平方米)4. 问题探究(1)如图，ABC为等腰三角形，ABACa，BAC120，则ABC的面积为_(用含a的代数式表示)；(2)如图，AOD与BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OAOBOCODa.若AOD与BOC不重合，连接AB、CD，求四边形ABCD面积的最大值；问题解决(3)如图，点O为电视台所在位置，现要在距离电视台5 km的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150，OA与OD夹角为90(AOD与BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由第4题图解：(1)a2；【解法提示】如解图，过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D，第4题解图在RtABD中，BAD60，ABa，则BDa，SABCACBDaaa2.(2)如解图，分别过点A、D作BO、CO的垂线交BO的延长线于点E，交CO于点F，第4题解图AOD与BOC均为等腰直角三角形，OAOBOCODa，SAODa2，SBOCa2，令AOB，COD，则SAOBaasin，SCODaasin，SAOBSCODa2(sinsin)，AOBCOD180，90，90，即AOB90，COD90时，AOB与COD面积最大，即此时四边形ABCD面积最大，此时，SAOBa2，SCODa2，S四边形ABCD最大a2a2a2a22a2；(3)有最大值，理由如下：OAOBOCOD5 km，则A、B、C、D四点在以O为圆心，5 km为半径的圆上，如解图，将DOC绕O点顺时针旋转150至DOB位置连接AD，设OB与AD交于点E，第4题解图AOD与BOC面积是定值，求S四边形ABDO最大即可AOD36015090120，过O作OMAD于点M，过B作BNAD于点N，在OAM中，AO