《二次函数y=ax2+k图象和性质》3

26 1二次函数y ax2 k图象和性质 2 y x2 1 y x2 1 二次函数y ax2的性质 开口向上 开口向下 a的绝对值越大 开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点 0 0 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 二次函数的图像 例2 在同一直角坐标系中 画出二次函数y x2 1和y x2 1的图像 解 列表 描点 连线 y x2 1 y x2 1 1 抛物线y x2 1 y x2 1的开口方向 对称轴 顶点各是什么 2 抛物线y x2 1 y x2 1与抛物线y x2有什么关系 讨论 抛物线y x2 1 开口向上 对称轴是y轴 顶点为 0 1 抛物线y x2 1 开口向上 对称轴是y轴 顶点为 0 1 二次函数的图像 抛物线y x2 1 y x2 1与抛物线y x2的关系 y x2 1 抛物线y x2 抛物线y x2 1 向上平移1个单位 把抛物线y 2x2 1向上平移5个单位 会得到那条抛物线 向下平移3 4个单位呢 抛物线y x2 向下平移1个单位 思考 1 得到抛物线y 2x2 6 2 得到抛物线y 2x2 2 4 y x2 1 y x2 抛物线y x2 1 归纳 一般地 抛物线y ax2 k有如下特点 1 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向下 2 对称轴是y轴 3 顶点是 0 k 抛物线y ax2 k可以由抛物线y ax2向上或向下平移 k 得到 k 0 向上平移 k 0向下平移 二次函数y ax2 k的性质 开口向上 开口向下 a的绝对值越大 开口越小 关于y轴对称 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 若抛物线如图 那么抛物线的解析式是 练习1 练习2 若抛物线如图 那么抛物线的解析式是 抛物线 练习3 1 函数的图象是 开口方向 对称轴是 轴 顶点坐标 下 0 2 y 2 抛物线的开口向上对称轴是y轴 和上面1题的形状大小一样 顶点在坐标原点下一个单位它的解析式是 练习 1 把抛物线向上平移3个单位得到的抛物线是若再向下平移5个单位得到的抛物线是 2 把抛物线向下平移2个单位得到的抛物线是 3 抛物线可以看作是由抛物线向平移单位得到的 下 5 1 抛物线y 2x2 3的顶点坐标是 对称轴是 在 侧 y随着x的增大而增大 在侧 y随着x的增大而减小 当x 时 函数y的值最大 最大值是 它是由抛物线y 2x2线怎样平移得到的 练习 2 抛物线y x 5的顶点坐标是 对称轴是 在对称轴的左侧 y随着x的 在对称轴的右侧 y随着x的 当x 时 函数y的值最 最小值是 做一做 1 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图象大致是如图中的 二次函数y ax2 k的性质 开口向上 开口向下 a的绝对值越大 开口越小 关于y轴对称 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减 小结 再见 例 画出函数的图像 x y 1 2 x 1 2 0 3 2 1 2 3 1 y 1 2 x 1 2 2 0 5 0 0 5 2 4 5 4 5 2 0 5 0 0 5 2 x 1 x 1 想一想 三条抛物线有什么关系 答 形状相同 位置不同 三个图象之间通过沿x轴平移可重合 课堂练习 画出下列函数的图象 观察他们的位置关系 说出它们的开口方向 对称轴 顶点的位置 能说出抛物线的开口方向及对称轴 顶点的位置吗 y 小结 向上 向上 向下 向下 Y轴 X h Y轴 X h 0 0 h 0 0 0 h 0 26 二次函数y a x m 2 k的图像 y ax2 y a x h 2 y ax2 c y ax2 c 0 c 0 上移 下移 左加 右减 说出平移方式 并指出其顶点与对称轴 顶点x轴上 h 0 顶点y轴上 0 c 问题 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢 1 把二次函数y 6 x 3 2的图像 沿y轴向下平移2个单位 向左平移 个单位 得到 的图像 2 把二次函数 的图像 沿x轴向右平移2个单位 沿y轴向下平移3个单位 得到y 6 x 3 2 5的图像 3 把二次函数y 6 x 3 2 5的图像 沿x轴 平移 个单位 再沿y轴向 平移 个单位 图像过原点 自测 例题 例3 画出函数的图像 指出它的开口方向 顶点与对称轴 解 列表 描点 连线 5 5 3 1 5 1 1 5 3 5 5 直线x 1 抛物线的开口方向 对称轴 顶点 抛物线的开口向下 对称轴是直线x 1 顶点是 1 1 向左平移1个单位 向下平移1个单位 向左平移1个单位 向下平移1个单位 平移方法1 平移方法2 二次函数图像平移 x 1 2 抛物线与有什么关系 归纳 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 把抛物线y ax2向上 下 向右 左 平移 可以得到抛物线y a x h 2 k 平移的方向 距离要根据h k的值来决定 向左 右 平移 h 个单位 向上 下 平移 k 个单位 y ax2 y a x h 2 y a x h 2 k y ax2 y a x h 2 k 向上 下 平移 k 个单位 y ax2 k 向左 右 平移 h 个单位 平移方法 抛物线y a x h 2 k有如下特点 1 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向上 2 对称轴是直线x h 3 顶点是 h k 练习 向上 1 2 向下 向下 3 7 2 6 向上 直线x 3 直线x 1 直线x 3 直线x 2 3 5 y 3 x 1 2 2 y 4 x 3 2 7 y 5 2 x 2 6 1 完成下列表格 2 请回答抛物线y 4 x 3 2 7由抛物线y 4x2怎样平移得到 3 抛物线y 4 x 3 2 7能够由抛物线y 4x2平移得到吗 y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 结论 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 各种形式的二次函数的关系 如何平移 一个运动员推铅球 铅球出手点在A处 出手时球离地面 铅球运行所经过的路线是抛物 已知铅球在运动员前4 处达到最高点 最高点高为3 你能算出该运动员的成绩吗 4米 3米 一场篮球赛中 小明跳起投篮 已知球出手时离地面高米 与篮圈中心的水平距离为8米 当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米 设篮球运行的轨迹为抛物线 篮圈中心距离地面3米 问此球能否投中 3米 8米 4米 4米 4 4 8 3 在出手角度和力度都不变的情况下 小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈 0123456789 8 3 5 4 4 4 0123456789 在出手角度 力度及高度都不变的情况下 则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈 练习 y 2 x 3 2 2 画出下列函数图象 并说出抛物线的开口方向 对称轴 顶点 最大值或最小值各是什么及增减性如何 y 2 x 3 2 3 y 2 x 2 2 1 y 3 x 1 2 1 练习1 在平面直角坐标系xoy中画出二次函数y x 6 2 3的图像 此图象与x轴 y轴交点坐标各是多少 根据图像 说出x取哪些值 函数值y 0 y 0 y 0 例题2 已知抛物线 将这条抛物线平移 当它的顶点移到点M 2 4 的位置时 所得新抛物线的表达式是什么 练习2与二次函数y 2 x 3 2 1的图像形状相同 方向相反 且过点 2 0 3 10 的是函数 的图像 例3 抛物线y x2 mx n的对称轴为x 3 且过点 0 4 求m n的值 练习3抛物线向上平移2个单位 再向左平移4个单位 得到抛物线 求b c的值 拓展 求解析式 1 已知二次函数的图像的对称轴是直线x 4 在y轴上的截距为6 且过点 2 0 求它的解析式 2 在同一直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c的图像与一次函数y kx m的图像交于点 3 13 若一次函数的图像在y轴上截距是1 当x 1时二次函数的最小值是5 求这两个函数的解析式 3 已知二次函数的图像经过点 1 9 和 2 4 且它与x轴只有一个交点 求这个二次函数 4 如图所示的抛物线是把y x2经过平移而得到的 这时抛物线经过原点O和X轴正方向上一点A 顶点为P 当 OPA 90 时 求抛物线的顶点P的坐标及解析式 5 已知A为抛物线的顶点 B为抛物线与y轴的交点 C为X轴上一点 设线段BC AC AB的长度分别为a b c当a c 2b时求经过B C两点直线的解析式 例题 C 3 0 B 1 3 例4 要修建一个圆形喷水池 在池中心竖直安装一根水管 在水管的顶端安