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第5讲 平方根与立方根【知识要点】1平方根与立方根平方根立方根概念如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，或二次方根。如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根，或三次方根。性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。（其中正的平方根，叫做的算术平方根，记作，负平方根用符号“-”表示）正数有一个正的立方根，记作。负数没有平方根。负数有一个负的立方根，记作。0的平方根是0；即。0的立方根是0。开方求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。移小数点规律如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。如果开方数的小数点向右或向左每移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。2（a0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。3形如【典型例题】例1填空题（1）若有意义，则；若有意义，则。（2）的平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的立方根是。（3）若是的立方根，则；若的平方根是6，则。例2x为何值时，有意义。例3（1）求下列各数的平方根及算术平方根：， ， ， 。解： 解： 解： 解：（2）求下列各式的值：， ， 解： 解： 解： （3）求下列各数的平方根及立方根：， 729， 解： 解： 解： 例4估计的值（ ） A在3到4之间B在4到5之间 C在5到6之间D在6到7之间例5已知且，则的值为（ ）A8B-2C8或-8D2或-2例6实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）b0aA2a-bBbC-bD-2a+b例7 （1）已知，求和的值。解：（2）若，求x。解：【课后作业】一、填空题：1的立方根是（ ） A4 B2 C2 D22若，则的值为（ ） A10 B0 C0或10 D0，10或103若，那么的值是（ ） A64 B27 C343 D3434的平方根是（ ） A2 B2 C D5下列各数中，没有平方根的是（ ）。 A2BCD6下列说法正确的是（ ）。 A1的平方根是1 B-25的平方根是5 C的算术平方根是4D2是的算术平方根7一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。 A0B1 C1D0或18下列语句正确的是（ ）。 A4的平方根是2B0没有算术平方根 C-1的算术平方根是-1D3有两个平方根9表示（ ）。 A5的平方根B5的算术平方根 C5的负的平方根D5开平方109的平方根是3，用数学符号表示为（ ）。 A BCD11以下各数没有平方根的是（ ）。 A BCD12下列说法正确的是（ ）。 A因为3的平方是9，所以9的平方根是3 B因为-3的平方是9，所以9的平方根是-3 C因为的底数为-3，所以没有平方根 D因为-9是负数，所以-9没有平方根13下列说法正确的是（ ）。 A的平方根是2B一定没有平方根 C0.9的平方根是0.3D一定有平方根二、填空题：149的算术平方根是，平方根是。2的算术平方根是，平方根是。3有两个平方根，的平方根有且只有一个，没有平方根。4平方根是9的数是。5-5是的负的平方根。6的平方根是，算术平方根是。7，那么x的取值范围是。8有意义，那么x的取值范围是。9若，则x=，若，则x=。10=。第2讲 数的开方与二次根式【知识要点】1平方根与立方根2n次方根定义：若一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。其中a是被开方数，n是根指数。性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根； （2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负； （3）0的任何次方根为0。3二次根式：定义：式子叫做二次根式。性质：；4二次根式的乘、除法运算（1）乘法运算：；（2）除法运算：5最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。【典型例题】例1（1）求下列各数的平方根及算术平方根：， ， ， 。解： 解： 解： 解：（2）求下列各式的值：， ， 解： 解： 解： （3）求下列各数的平方根及立方根：， 729， 解： 解： 解： 例2（1）已知，求和的值。解：（2）若，求。解：例3已知=是的立方根，是的相反数，且=3-7，那么的平方根是例4已知x是实数，则的值是（ ）。 A B C D无法确定的例5代数式的最小值是（ ） A0 B1+ C1 D不存在的。例6已知实数a满足，那么的值是（ ）A1991B1992 C1993 D1994例7如果，那么（ ）AB C D例8已知：则可化简为_.【课后作业】1的立方根是（ ） A4 B2 C2 D22若，则的值为（ ） A10 B0 C0或10 D0，10或103若，那么的值是（ ） A64 B27 C343 D3434的平方根是（ ） A2 B2 C D5，下列式子正确的是（ ） A B C D6、若，化简得（ ） A、 B、 C、 D、7、解方程： -100 8、已知，化简9、化简：10、ABC的三边长为a、b、c，化简：+第3讲 二次根式的计算（1）【知识要点】课前回顾1、最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。2、二次根式的乘、除法运算 （1）乘法运算：；（2）除法运算：现在学习1、同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 判断同类二次根式时，注意以下三点：都是二次根式，即根指数都是2；必须先化成最简二次根式；被开方数相同。2、加减法步骤：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。3、分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化。4、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。5、分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】例1化简下列根式，并指出哪些是同类二次根式？， ， ， ， ， ， ， 解：化简结果为：例2化简下列根式，并指出哪些是同类二次根式？（题中字母都为正数）， ， ， ， ， 解：化简结果为：例3把下列各式的分母有理化 （1） （2） （3） （4） （5） （6）例4 . 把下列各式的分母有理化： （1）（2）（3） （4）（5）（6）例5已知，求的值例6 计算：思考题：观察下列各式：，即；，即 （1）根据你发现的规律填空：=，即 （2）猜想等于什么？ （3）请用含有自然数的式子写出你发现的规律【课后作业】1把下列根式化成最简根式，并指出哪些是同类根式： （1）（2）2. 计算1、=；2、=；3、=；4、=；5、=；6、=；7、=；第4讲 二次根式的计算（2）【知识要点】1 二次根式的主要性质：；【经典例题】例1把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）解： 解： 解：例2计算下列各题：（1） （2）解： 解：（3） （4）解： 解：例3已知，求的值。例4比较大小（1） （2）解： 解：例5化简： 解：【课后作业】1已知 。2设，y=,则x,y的大小关系是 （ ） Axy Bx=y Cxy D无法确定的3与的关系是 （ ） A互为倒数 B互为相反数 C互为负倒数 D相等4与的关系是（ ）