高三数学立体几何复习课件.ppt

立体几何复习课件 平行问题 垂直问题 角度问题 距离问题 柱锥问题 体积面积问题 多面体与球的问题 生活问题和翻折问题 综合问题 立几概念和方法 动态的立体几何 正方体的截面问题 三棱柱的体积分割 平行问题 返回 直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系 返回 直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行 线面位置关系 有无数个公共点 有且仅有一个公共点 没有公共点 返回 平行于同一平面的二直线的位置关系是 a 一定平行 b 平行或相交 c 相交 d 平行 相交 异面 d 返回 1 点a是平面 外的一点 过a和平面 平行的直线有条 无数 返回 2 点a是直线l外的一点 过a和直线l平行的平面有个 无数 返回 3 过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个 无数 返回 4 过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个 且仅有一 返回 5 如果l1 l2 l1平行于平面 则l2平面 l1 或 返回 6 如果两直线a b相交 a平行于平面 则b与平面 的位置关系是 a 相交或平行 返回 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 a 有无数个 c 只能作出一个 b 不能作出 d 以上都有可能 情况一 返回 a 有无数个 c 只能作出一个 b 不能作出 d 以上都有可能 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 情况二 返回 过直线l外两点 作与直线l平行的平面 这样的平面 a 有无数个 c 只能作出一个 b 不能作出 d 以上都有可能 d 情况三 返回 例 有以下四个命题 若一条直线与另一条直线平行 则它就与经过另一条直线的平面平行 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线平行于这个平面 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则此直线必垂直于这个平面 平面内两条平行直线 若其中一条直线与一个平面平行 则另一条直线也与这个平面平行 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 返回 解 不正确 若一条直线与另一条直线平行 则这条直线可能与经过另一条直线的平面平行 也可能在平面内 不正确 与 相仿 若一条直线垂直于一个平面的一条垂线 则此直线可能平行于这个平面 也可能在平面内 返回 不正确 若一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 如果在平面内的两条直线平行 则无法判断直线是否垂直于这个平面 不正确 与 相仿 该直线仍有可能在平面内 所以四个命题都是错误的 选a 返回 线面平行的判定 1 定义 直线与平面没有公共点 2 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 返回 线面平行判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 已知 a b a b 求证 a a b 1 a b确定平面 b 2 假设a与 不平行 则a与 有公共点p 则p b 3 这与已知a b矛盾 4 a 返回 如图 空间四面体p abc m n分别是面pca和面pbc的重心 求证 mn 面bca p mn ef mn 面bca 线线平行 线面平行 返回 如图 两个全等的正方形abcd和abef所在平面交于ab m n分别是对角线上的点 am fn 求证 mn 面bce a b c d e f m n mn gh mn 面bce 线线平行 线面平行 返回 a b c d e f m n afn bnh an nh fn bn an nh am mc mn ch mn 面bce 如图 两个全等的正方形abcd和abef所在平面交于ab m n分别是对角线上的点 am fn 求证 mn 面bce 返回 在正方体ac1中 e为dd1的中点 求证 db1 面a1c1e e db1 ef db1 面a1c1e 线线平行 线面平行 返回 在正方体ac1中 o为平面add1a1的中心 求证 co 面a1c1b b1 o 返回 1 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面无公共点 2 如果一条直线与一个平面平行 则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线 3 如果一条直线与一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 则这条直线与交线平行 返回 已知 a a b 求证 a b b b a a b a b 返回 如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行 则另一条直线与这个平面也平行 a b c 返回 如果一条直线和两个相交平面都平行 则这条直线与它们的交线平行 a l 已知 a a l 求证 a l 返回 a b a b o m n p 如图 a b是异面直线 o为ab的中点 过点o作平面 与两异面直线a b都平行mn交平面于点p 求证 mp pn 返回 一 两个平面平行的判定方法 1 两个平面没有公共点 2 一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 3 都垂直于同一条直线的两个平面 两个平面平行 返回 二 两个平面平行的性质 4 一直线垂直于两个平行平面中的一个 则它也垂直于另一个平面 2 其中一个平面内的直线平行于另一个平面 3 两个平行平面同时和第三个平面相交 它们的交线平行 两个平面平行 5 夹在两个平行平面间的平行线段相等 1 两个平面没有公共点 返回 判断下列命题是否正确 1 平行于同一直线的两平面平行 2 垂直于同一直线的两平面平行 3 与同一直线成等角的两平面平行 返回 4 垂直于同一平面的两平面平行 5 若 则平面 内任一直线a 返回 2 如图 设ab cd为夹在两个平行平面 之间的线段 且直线ab cd为异面直线 m p分别为ab cd的中点 求证 直线mp 平面 返回 例 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求证 面ab1d1 面bdc1 证明 b1d1 ab1 b1 面ab1d1 面bdc1 线 线 线 面 面 面 返回 证法2 a1c bd bd bc1 b a1c 面bdc1 面ab1d1 面bdc1 返回 变形1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为a1d1 a1b1 a1a的中点 求证 面efg 面bdc1 变形2 若o为bd上的点求证 oc1 面efg o 面 面 由上知面efg 面bdc1 线 面 oc1 面efg 证明 返回 变形3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f m n分别为a1b1 a1d1 b1c1 c1d1的中点 求证 面aef 面bdmn 返回 小结 线平行线 线平行面 面平行面 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行性质 三种平行关系的转化 返回 已知 四面体a bcd e f g分别为ab ac ad的中点 求证 面efg 面bcd 练习 返回 垂直问题 线面垂直的判定方法 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 则直线与平面垂直 2 判定定理1 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 3 判定定理2 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 返回 线面垂直的性质 1 定义 如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 2 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 则这两条直线平行 返回 填空 1 l m l m 2 n m m与n l m l n l 3 l m l m 4 l m l m 相交 返回 p a b c 如图 ab是圆o的直径 c是异于a b的圆周上的任意一点 pa垂直于圆o所在的平面 1 bc 面pac 返回 p a b c 2 若ah pc 则ah 面pbc 如图 ab是圆o的直径 c是异于a b的圆周上的任意一点 pa垂直于圆o所在的平面 返回 o 在正方体ac1中 o为下底面的中心 求证 ac 面d1b1bd 返回 o h 在正方体ac1中 o为下底面的中心 b1h d1o 求证 b1h 面d1ac 返回 已知 l m 求证 l m m 返回 返回 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 返回 如图 c为以ab为直径的圆周上一点 pa 面abc 找出图中互相垂直的平面 pa 面abc 面pac 面abc 面pab 面abc bc 面pac 面pbc 面pac 返回 如果两个平面垂直 则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 返回 求证 如果一个平面与另一个平面的垂线平行 则这两个平面互相垂直 返回 求证 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 返回 求证 如果两个相交平面都与另一个平面垂直 则这两个平面的交线l垂直于另一个平面 l 返回 四面体abcd中 面adc 面bcd 面abd 面bcd 设de是bc边上的高 求证 平面ade 面abc 面adc 面bcd 面abd 面bcd ad 面bcd ad bc de bc bc 面ade 面abc 面ade 返回 abc是直角三角形 acb 90 p为平面外一点 且pa pb pc 求证 平面pab 面abc 返回 课堂练习 课堂练习 空间四面体abcd中 若ab bc ad cd e为ac的中点 则有 a 平面abd 面bcd b 平面bcd 面abc c 平面acd 面abc d 平面acd 面bde 返回 如图 abcd是正方形 pa 面abcd 连接pb pc pd ac bd 问图中有几对互相垂直的平面 面pac 面abcd 面pab 面abcd 面pad 面abcd 面pad 面pab 面pad 面pcd 面pbc 面pab 面pbd 面pac 返回 如图 三棱锥p abc中 pb 底面abc acb 90 pb bc ca e为pc中点 返回 如图 四棱锥p abcd的底面是菱形 pa 底面abcd bad 120 e为pc上任意一点 返回 例 如图 在四面体sabc中 asc 90 asb bsc 60 sa sb sc 求证 平面asc 平面abc 返回 证明 容易证得ab bc sb 取ac中点d 连sd bd 得sd ac bd ac 由 asc 90 设sa sb sc a 解得sd a bd a 而sb a sdb 90 平面asc 平面abc 返回 角度问题 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 返回 a b o是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上 o o o o o 返回 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 返回 b a 返回 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 返回 a b o 返回 一 概念 直线a b是异面直线 经过空间任意一点o 作直线a b 并使a a b b 我们把直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a和b所成的角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 a l b o 返回 二 数学思想 方法 步骤 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化 即把空间的角转化为平面的角 进而转化为三角形的内角 然后通过解三角形求得 2 方法 3 步骤 b 求直线与平面所成的角 a 求异面直线所成的角 c 求二面角的大小 作 找 证 点 算 1 数学思想 返回 在正方体ac1中 求异面直线a1b和b1c所成的角 a1b和b1c所成的角为60 和a1b成角为60 的面对角线共有条 返回 在正方体ac1中 求异面直线d1b和b1c所成的角 a b d c a1 b1 d1 c1 返回 在正方体ac1中 m n分别是a1a和b1b的中点 求异面直线cm和d1n所成的角 m n 返回 p a b c m n 空间四边形p abc中 m n分别是pb ac的中点 pa bc 4 mn 3 求pa与bc所成的角 返回 1 在正方体ac1中 e g分别是aa1和cc1的中点 f在ab上 且c1e ef 则ef与gd所成的角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 d m eb1是ec1在平面ab1内的射影 eb1 efdg am eb1ef dg 返回 已知 两异面直线a b所成的角是50 p为空间中一定点 则过点p且与a b都成30 角的直线有条 a b p o 2 返回 a1 a b b1 c d c1 d1 f e 解 如图 取ab的中点g o 证 点 算 作 例1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 cd中点 求ae与d1f所成的角 返回 例2 长方体abcd a b c d 中 ab bc 4 aa 6 e f分别为bb cc 的中点 求ae bf所成角的余弦值 返回 例3 长方体abcd a1b1c1d1 ab aa1 2cm ad 1cm 求异面直线a1c1与bd1所成角的余弦值 返回 取bb1的中点m 连o1m 则o1m d1b 如图 连b1d1与a1c1交于o1 于是 a1o1m就是异面直线a1c1与bd1所成的角 或其补角 o1 m 解 为什么 返回 解法二 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 返回 解法二 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 在 a1c1e中 由余弦定理得 a1c1与bd1所成角的余弦值为 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结a1e c1e 则 a1c1e为a1c1与bd1所成的角 或补角 bc1的长方体b1f 返回 例 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线ac与bc1所成角的大小是 a 30 b 45 c 60 d 90 返回 例 如图 正三棱锥s abc的侧棱与底面边长相等 如果e f分别为sc ab的中点 那么异面直线ef与sa所成角等于 a 90 b 60 c 45 d 30 返回 解 取ac的中点g 连接eg fg eg sa gef是异面直线ef与sa所成角 又fg bc sa bc egf 90 egf是直角三角形 又eg sa fg bc eg fg egf是等腰直角三角形 gef 45 选c 返回 正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd交于o 则ob1与a1c1所成的角的度数为 练习1 900 返回 在正四面体s abc中 sa bc e f分别为sc ab的中点 那么异面直线ef与sa所成的角等于 c d a 300 b 450 c 600 d 900 练习2 b 返回 例 已知正方体的棱长为a m为ab的中点 n为bb1的中点 求a1m与c1n所成角的余弦值 解 e g 如图 取ab的中点e 连be 有be a1m 取cc1的中点g 连bg 有bg c1n 则 ebg即为所求角 bg be a fc1 a 由余弦定理 cos ebg 2 5 f 取eb1的中点f 连nf 有be nf 则 fnc为所求角 想一想 还有其它定角的方法吗 在 ebg中 返回 定角一般方法有 1 平移法 常用方法 小结 1 求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角 体现了化归的数学思想 2 用余弦定理求异面直线所成角时 要注意角的范围 1 当cos 0时 所成角为 2 当cos 0时 所成角为 3 当cos 0时 所成角为 3 当异面直线垂直时 还可应用线面垂直的有关知识解决 90o 2 补形法 化归的一般步骤是 定角 求角 返回 说明 异面直线所成角的范围是 0 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 常用余弦定理求其大小 当余弦值为负值时 其对应角为钝角 这不符合两条异面直线所成角的定义 故其补角为所求的角 这一点要注意 返回 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 返回 若斜线段ab的长度是它在平面 内的射影长的2倍 则ab与 所成的角为 60 返回 最小角原理 c 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 返回 若直线l1与平面所成的角为60 则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角 最大的角为 90 60 o l1 返回 若直线l1与平面所成的角为30 直线l2与l1所成的角为60 求直线l2与平面所成的角的范围 l1 返回 如图 直线oa与平面 所成的角为 平面内一条直线oc与oa的射影ob所成的角为 设 aoc为 2 求证 cos 2 cos 1 cos 返回 求直线与平面所成的角时 应注意的问题 1 先判断直线与平面的位置关系 2 当直线与平面斜交时 常采用以下步骤 作出或找出斜线上的点到平面的垂线 作出或找出斜线在平面上的射影 求出斜线段 射影 垂线段的长度 解此直角三角形 求出所成角的相应函数值 返回 例题 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd所成的角 o 返回 s a c b o f e 如图 acb 90 s为平面abc外一点 sca scb 60 求sc与平面acb所成的角 返回 s a c b o f e 如图 sa sb sc是三条射线 bsc 60 sa上一点p到平面bsc的距离是3 p到sb sc的距离是5 求sa与平面bsc所成的角 p 返回 a b c d f e a d f d a c a1 b e 正方形abcd边长为3 ae 2be cf 2df 沿ef将直角梯形aefd折起 使点a 的射影点g落在边bc上 求a e与平面abcd所成的角 返回 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 o为下底面ac的中心 求a1o与平面bb1d1d所成的角 o o 返回 正四面体p abc中 求侧棱pa与底面abc所成的角 p a b c d 返回 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 返回 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 返回 基础题例题 1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角 其中 正确命题的序号是 返回 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 二面角b1 aa1 c1的大小为 二面角b aa1 d的大小为 二面角c1 bd c的正切值是 45 90 基础题例题 返回 3 在二面角 l 的一个平面 内有一条直线ab 它与棱l所成的角为45 与平面 所成的角为30 则这个二面角的大小是 45 或135 基础题例题 返回 b 4 在二面角 a 内 过a作一个半平面 使二面角 a 为45 二面角 a 为30 则 内的任意一点p到平面 与平面 的距离之比为 a b c d 基础题例题 返回 基础题例题 5 pa pb pc是从p点引出的三条射线 每两条的夹角都是60o 则二面角b pa c的余弦值是 a b c d a d 返回 a b c a m 已知 如图 abc的顶点a在平面m上的射影为点a abc的面积是s a bc的面积是s 设二面角a bc a 为 求证 cos s s 返回 在正方体ac1中 求二面角d1 ac d的大小 返回 过正方形abcd的顶点a引sa 底面abcd 并使平面sbc scd都与底面abcd成45度角 求二面角b sc d的大小 e 返回 7 已知斜三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 ac bc a1在底面abc的射影恰为ac的中点m 又知aa1与底面abc所成的角为60 1 求证 bc 平面aa1c1c 2 求二面角b aa1 c的大小 能力 思维 方法 返回 7 已知斜三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 ac bc a1在底面abc的射影恰为ac的中点m 又知aa1与底面abc所成的角为60 1 求证 bc 平面aa1c1c 2 求二面角b aa1 c的大小 能力 思维 方法 证明 1 由题设知 a1m 平面abc 又a1m平面aa1c1c 1 平面aa1c1c 底面abc 又bc ac 平面aa1c1c 平面abc ac bc 平面aa1c1c 返回 7 已知斜三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 ac bc a1在底面abc的射影恰为ac的中点m 又知aa1与底面abc所成的角为60 1 求证 bc 平面aa1c1c 2 求二面角b aa1 c的大小 能力 思维 方法 证明 2 由题设知 a1m 平面abc aa1与底面abc所成角为 a1ac a1ac 60o 又m是ac中点 aa1c是正三角形 作cn aa1于n 点n是aa1的中点 连接bn 由bc 平面aa1c1c bc aa1 作aa1 平面bnc aa1 bn bnc是二面角b aa1 c的平面角 返回 7 已知斜三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 ac bc a1在底面abc的射影恰为ac的中点m 又知aa1与底面abc所成的角为60 1 求证 bc 平面aa1c1c 2 求二面角b aa1 c的大小 能力 思维 方法 设ac bc a 正三角形aa1c的边长为a 在直角三角形bnc中 二面角b aa1 c的大小是 返回 解题回顾 先由第 1 小题的结论易知bc aa1 再利用作出棱aa1的垂面bnc来确定平面角 bnc 将题设中 aa1与底面abc所成的角为60 改为 ba1 ac1 仍可证得三角形aa1c为正三角形 所求二面角仍为 本题的解答也可利用三垂线定理来推理 能力 思维 方法 返回 在正方体ac1中 e f分别是ab ad的中点 求二面角c1 ef c的大小 e f a b d c a1 b1 d1 c1 h 返回 abc中 ab bc sa 平面abc de垂直平分sc 又sa ab sb bc 求二面角e bd c的大小 s a b c e d 返回 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小 e 返回 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 3 ac 4 pb pc bc 1 求二面角p bc a的大小 3 4 h 返回 2 求二面角a pc b的大小 cos 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 3 ac 4 pb pc bc 1 求二面角p bc a的大小 返回 在正方体ac1中 e f分别是中点 求截面a1ecf和底面abcd所成的锐二面角的大小 e f 返回 e f 在正方体ac1中 e f分别是中点 求截面a1ecf和底面abcd所成的锐二面角的大小 返回 例 如图abc a1b1c1是各条棱长均为2的正三棱柱 1 求ab1与a1c所成角 2 求ab1与平面bb1c1c所成角 3 若点d是侧棱cc1的中点 求平面ab1d与平面abc所成角 a1 a b1 c1 b c 返回 例 如图abc a1b1c1是各条棱长均为2的正三棱柱 1 求ab1与a1c所成角 返回 解 分别取a1a ac a1b1的中点n m g 连接gn nm 则 gnm为所求角 并连接gm g m 每条棱长为2 gm 所求角大小为 arccos n 返回 1 如图abc a1b1c1是各条棱长均为2的正三棱柱 1 求ab1与a1c所成角 2 求ab1与平面bb1c1c所成角 e 所求角大小为 arcsin 返回 例 如图abc a1b1c1是各条棱长均为2的正三棱柱 3 若点d是侧棱cc1的中点 求平面ab1d与平面abc所成角 a1 a b1 c1 b c d 返回 则 a g 所求角大小为 返回 a1 a b1 c1 b c d m b1ab为二面角b1 am b的平面角 返回 解 延长b1d交bc延长线于m 连接am cm cb ca 所求角大小为 点d是cc1的中点 且cd bb1 返回 c a b d a1 b1 c1 d1 m n 返回 c a b d a1 b1 c1 d1 m n 返回 c a b d a1 b1 c1 d1 m n 返回 c a b d a1 b1 c1 d1 m n 返回 c a b d a1 b1 c1 d1 m n 返回 c a b d a1 b1 c1 d1 m n 返回 返回 b1 a1 c1 a b c 例 在直三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 ab bb1 1 直 线b1c与平面abc成30 的角 求二面角b b1c a的余弦值 分析 求二面角b b1c a的度数 要作出平面角 显然二面角的棱为b1c 故需在b1c上取一点 然后分别在两个面内作垂直于棱的两条射线 返回 c1 a a1 b1 b c 返回 1 熟练掌握求二面角大小的基本方法 1 先作平面角 再求其大小 2 直接用公式 2 掌握下列两类题型的解法 1 折叠问题 将平面图形翻折成空间图形 2 无棱 二面角 在已知图形中未给出二面角的棱 返回 基础题例题 二面角 ab 的平面角是锐角 c是平面 内的点 不在棱ab上 d是c在平面 上的射影 e是棱ab上满足 ceb为锐角的任意一点 则 a ceb deb b ceb deb c ceb deb d ceb与 deb的大小关系不能确定 a 返回 2 直线ab与直二面角 l 的两个半平面分别交于a b两点 且a bl 如果直线ab与 所成的角分别是 1 2 则 1 2的取值范围是 a b c d d 基础题例题 返回 在长 宽 高分别为1 1 2的长方体abcd a1b1c1d1中 截面ba1c1与底面abcd所成角的余弦值是 4 把边长为a的正三角形abc沿着过重心g且与bc平行的直线折成二面角 此时a点变为 当时 则此二面角的大小为 arccos 1 3 基础题例题 返回 5 已知正方形abcd中 ac bd相交于o点 若将正方形abcd沿对角线bd折成60 的二面角后 给出下面4个结论 ac bd ad co aoc为正三角形 过b点作直线l 平面bcd 则直线l 平面aoc 其中正确命题的序号是 基础题例题 返回 6 在四面体p abc中 pc 平面abc ab bc ca pc 求二面角b ap c的大小 e f 解 如图过b作be ac于e 过e作ef pa于f 连结bf pc 平面abc be 平面pac bf pa bfe就是二面角b pa c的平面角 设pc 1则ab bc ca pc 1 e为ac的中点 所求二面角大小为 能力 思维 方法 返回 能力 思维 方法 7 平面四边形abcd中 ab bc cd a b 90 dcb 135 沿对角线ac将四边形折成直二面角 证 1 ab 面bcd 2 求面abd与面acd所成的角 返回 能力 思维 方法 7 平面四边形abcd中 ab bc cd a b 90 dcb 135 沿对角线ac将四边形折成直二面角 证 1 ab 面bcd 2 求面abd与面acd所成的角 证明 1 d ac b是直二面角 又 dc ac dc 平面abc 面面垂直性质定理 又ab平面abc dc ab 又ab bc ab 平面bcd a b c d 返回 能力 思维 方法 7 平面四边形abcd中 ab bc cd a b 90 dcb 135 沿对角线ac将四边形折成直二面角 证 1 ab 面bcd 2 求面abd与面acd所成的角 证明 2 过c作ch db于h 平面abd 平面dcb ch 平面abd ab 平面bcd 又 平面abd 平面dcb db b h 过h作he ad于e e 连接ce 由三垂线定理知ce ad he ad ce ad ceh是所求二面角的平面角 ceh 60o 即所求二面角为60o 返回 解题回顾 准确画出折叠后的图形 弄清有关点 线之间的位置关系 便可知这是一个常见空间图形 四个面都是直角三角形的四面体 能力 思维 方法 返回 例 a为二面角 l 的棱l上一点 射线ab 且与棱成45 角 与 成30 角 则二面角 l 的大小是 a 45 b 30 c 45 或135 d 30 或150 提示 分锐二面角和钝二面角两种情况讨论 返回 sin bcd bcd 45 返回 如图 2 若二面角 l 是钝二面角 自b作bd d为垂足 作bc l于c c为垂足 连接cd 延长dc到e 则由三垂线定理得ce l bce是二面角 l 的平面角 而 bcd是二面角 l 的平面角的补角 由 1 解得 bcd 45 bce 135 即二面角的大小是45 或135 选c 返回 8 在直角梯形p1dcb中 p1d cb cd p1d p1d 6 bc 3 dc 3 a是p1d的中点 沿ab把平面p1ab折起到平面pab的位置 使二面角p cd b成45 设e f分别为ab pd的中点 1 求证 af 平面pec 2 求二面角p bc a的大小 能力 思维 方法 e f p 证明 1 取pc的中点g g 连接fg eg 则fg cd 且fg cd ae cd 且ae cd ae fg ae fg 从而四边形aegf是平行四边形 af eg eg平面pec af 平面pec 返回 8 在直角梯形p1dcb中 p1d cb cd p1d p1d 6 bc 3 dc 3 a是p1d的中点 沿ab把平面p1ab折起到平面pab的位置 使二面角p cd b成45 设e f分别为ab pd的中点 1 求证 af 平面pec 2 求二面角p bc a的大小 能力 思维 方法 p 证明 2 cd 平面pad 平面pad 平面abcd pab为二面角p bc a的平面角 在rt pab中 pa 3 pb pa ad 且 pda 45o pa ad pa 平面abcd ab bc 由三垂线定理得pb bc sin pba 得所求的二面角为60o 返回 解题回顾 找二面角的平面角时不要盲目去作 而应首先由题设去分析 题目中是否已有 能力 思维 方法 返回 9 正方体abcd a1b1c1d1中 e是bc的中点 求平面b1d1e和平面abcd所成的二面角的正弦值 能力 思维 方法 a d b c b1 a1 d1 c1 e 解题分析 所求二面角 无棱 要么先找 棱 要么用面积投影 解法一 取b1c1的中点m m 连接em e为bc的中点 em 平面a1b1d1 b1d1m是 d1b1e的射影三角形 设平面b1d1e和平面a1b1c1d1所成的二面角为 平面abcd 平面a1b1c1d1 平面b1d1e和平面abcd所成的二面角也为 设正方体棱长为a 所求二面角的正弦值为 返回 9 正方体abcd a1b1c1d1中 e是bc的中点 求平面b1d1e和平面abcd所成的二面角的正弦值 能力 思维 方法 a d b c b1 a1 d1 c1 f 解法二 取bc的中点f m 连接bd ef 所求二面角的正弦值为 e e为bc的中点 ef bd bd b1d1 ef b1d1 ef b1d1共面 平面abcd 平面eb1d1f ef 作bg ef交fe的延长线于g g 连接b1g 则 b1gb是平面b1d1e 和平面abcd所成二面角的平面角 设正方体棱长为a 则be bg 在rt b1bg中 b1g 返回 解题回顾 解法一利用公式 思路简单明了 但计算量较解法二大 解法二的关键是确定二面角的棱 再通过三垂线定理作出平面角 最终解直角三角形可求出 能力 思维 方法 返回 例 如图 已知在正三棱柱abc a1b1c1中 侧棱长大于底面边长 m n分别在侧棱aa1 bb1上 且b1n a1b1 2a1m 求截面c1mn与底面a1b1c1所成的二面角的大小 返回 返回 例 s是正 abc所在平面外一点 sa sb sc且 asb bsc csa 90 m n分别是ab和sc的中点 求异面直线sm与bn所成的角的余弦值 p a a a 返回 距离问题 一 知识概念 1 距离定义 1 点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线 这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离 2 点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线 这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离 3 两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长 叫做两条平行线间的距离 返回 4 两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线 叫两条异面直线的公垂线 公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度 叫两异面直线的距离 5 直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行 那么直线上各点到这个平面的距离相等 且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 6 两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线 叫这两个平行平面的公垂线 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离 返回 2 求距离的步骤 1 找出或作出有关距离的图形 2 证明它们符合定义 3 在平面图形内进行计算 返回 a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 1 a到cd1的距离 d 点 线 返回 a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 1 a到cd1的距离 d 2 a到bd1的距离 返回 点 线 a b c d a1 b1 c1 d1 h 已知 长方体ac1中 ab a aa1 ad b 求点c1到bd的距离 c1h 返回 线 线 a b c d e f 矩形cdfe和矩形abfe所在的平面相交 ef 5 ad 13 求平行线ab和cd的距离 返回 点 面 从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离 线面垂直 点的射影 点面距离 返回 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o oa ob oc o为三角形abc的外心 返回 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc两两垂直 试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o为三角形abc的垂心 d o 返回 已知三棱锥p abc的顶点p到底面三角形abc的三条边的距离相等 试判断点p在底面abc的射影的位置 p a b c o为三角形abc的内心 o e f 返回 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc试判断点p在底面abc的射影的位置 外心 已知三棱锥p abc的三条侧棱pa pb pc两两垂直 试判断点p在底面abc的射影的位置 垂心 已知三棱锥p abc的顶点p到底面三角形abc的三条边的距离相等 试判断点p在底面abc的射影的位置 内心 p a b c o 返回 a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 d 1 a到面a1b1cd 返回 a b c a1 b1 d1 c1 正方体ac1的棱长为1 求下列距离问题 d 1 a到面a1b1cd 2 a到平面bb1d1 返回 棱长为1的正四面体p abc中 求点p到平面abc的距离 a b c o p 返回 4 如图 已知p为 abc外一点 pa pb pc两两垂直 且pa pb pc 3 求p点到平面abc的距离 返回 3 如图 ab是 o的直径 pa 平面 o c为圆周上一点 若ab 5 ac 2 求b到平面pac的距离 返回 直角三角形acb确定平面 点p在平面 外 若点p到直角顶点c的距离是24 到两直角边的距离都是6 求点p到平面 的距离 p a b c e f o 返回 a b e f d c p z 返回 线 面 一条直线和一个平面平行时 直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 返回 例 已知一条直线l和一个平面 平行 求证 直线l上各点到平面 的距离相等 a a b b l 返回 l a a b 返回 如果一条直线上有两个点到平面的距离相等 则这条直线和平面平行吗 判断题 返回 空间四面体abcd 问和点a b c d距离相等的平面有几个 a b c d 4 a b c d 3 返回 5 如图 已知在长方体abcd a b c d 中 棱aa 5 ab 12 求直线b c 到平面a bcd 的距离 练习 返回 a b c d p f e 已知 abcd是边长为4的正方形 e f分别是ad ab的中点 pc 面abcd pc 2 求点b到平面pef的距离 g o h 点 线 点 面 线 面 综合练习 返回 例3 如图 已知abcd是边长为4的正方形 e f分别是ab ad的中点 pc垂直平面abcd 且pc 2 求点b到平面efp的距离 解 连ac bd 设交于o 设ac交ef于h o h 连ph 因为bd 平面pef 所以求b到平面的距离 可转化为求bd到平面的距离 过o作ok 平面pef 可证明ok就是所要求的距离 k 此时 得用 okh pch 容易求得ok的值 返回 两个平行平面的距离 a b a b 和两个平行平面同时垂直的直线 叫做这两个平面的公垂线 公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段 直线aa bb 都是它们的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 返回 返回 题型讲练 思考 在边长为1的正方体中 m n e f分别 放飞思维的翅膀 是棱的中点 1 求证 平面面 2 求 平面与面的距离 返回 思考题 1999 如图 已知正四棱柱abcd a b c d 中 点e在棱dd 上 截面eac d b 且面eac与底面abcd所成的角为450 ab a 1 求截面eac的面积 2 求异面直线a b 与ac的距离 返回 二 例 例1 在600二面角m n内有一点p p到平面m 平面n的距离分别为1和2 求p到直线a距离 解 设pa pb分别垂直平面m 平面n与a b pa pb所确定的平面为 且平面 交直线a与q 设pq x 在直角 paq中sin aqp 1 x在rt pbq中sin aqp 2 x cos600 cos aqp aqp 由此可得关于x的方程 最后可解得 返回 例2 菱形abcd中 bad 600 ab 10 pa 平面abcd 且pa 5 求 1 p到cd的距离 2 p到bd的距离 3 p到ad的距离 4 求pc的中点到平面pad的距离 1 过p作cd的垂线 交cd的延长线于e 连ae e 2 连bd 交ac于o 连po o 返回 1 是两个平行平面 a b a与b之间的距离为d1 与 之间的距离为d2 则 a d d2 b d d2 c d1 d2 d d d2 基础题例题 d 2 一副三角板如图拼接 使两个三角板所在的平面互相垂直 如果公共边ac a 则异面直线ab与cd的距离是 a b a c d c 返回 3 abc中 ab 9 ac 15 bac 120 abc所在平面外一点p到三个顶点a b c的距离都是14 那么点p到平面 的距离为 a 7 b 9 c 11 d 13 a 基础题例题 4 在长方体 中 已知ab 4 aa1 3 ad 1 则点c1到直线a1b的距离为 返回 5 已知rt abc的直角顶点c在平面 内 斜边ab ab 2 6 ac bc分别和平面 成45 和30 角 则ab到平面 的距离为 2 基础题例题 6 在二面角 l 的半平面 内有一点a到棱l的距离为2 到半面 所在平面的距离等于1 则这个二面角的度数为 30o或150o 返回 2 已知四面体abcd ab ac ad 6 bc 3 cd 4 bd 5 求点a到平面bcd的距离 练习 a b d 返回 7 平面 内的 mon 60 po是平面 的斜线段 po 3 且po与 mon的两边都成45 的角 则点p到 的距离为 a b c d a 基础题例题 8 直线ef平行于平面 内的两条直线ab和cd ef与 的距离为15 与ab的距离为17 又ab与cd的距离是28 则ef与cd的距离是 25或39 返回 9 已知平面 ab ab a b 直线a b a b a到a的距离为2 b到b的距离为5 ab 4 则a b间的距离为 基础题例题 a b a b a b a b 返回 11 在棱长为1的正方体中 1 求点a到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线ab与平面的距离 能力 思维 方法 a c d b a1 b1 d1 c1 o 解析 连ac bd交于o ao bd 又ao dd1 ao 平面bd1 ao的长即为所求 返回 11 在棱长为1的正方体中 1 求点a到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线ab与平面的距离 能力 思维 方法 a c d b a1 b1 d1 c1 o e 易知平面a1acc1 平面ab1d1在矩形aa1cc1中 易知a1c o1a设a1e ao1于e a1e 平面ab1d1 a1e为所求 返回 11 在棱长为1的正方体中 1 求点a到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线ab与平面的距离 能力 思维 方法 a c d b a1 b1 d1 c1 e f 易知a1c 平面ab1d1a1c 平面bc1d设直线a1c分别交平面ab1d1 平面bc1d于点e f 则ef的长为所求 返回 11 在棱长为1的正方体中 1 求点a到平面的距离 2 求点到平面的距离 3 求平面与平面的距离 4 求直线ab与平面的距离 能力 思维 方法 a c d b a1 b1 d1 c1 g 因为直线ab 平面cda1b1 点b到平面cda1b1的距离bg就是所求的距离 g是bc1与b1c的交点 bg b1c bg cd 直线bg 平面a1b1cd 此距离为 返回 解题回顾 1 求距离的一般步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它就是要求的距离 然后再计算 其中第二步的证明易被忽视 应引起重视 2 求距离问题体现了化归与转化的思想 一般情况下需要转化为解三角形 能力 思维 方法 返回 12 已知如图 边长为a的菱形abcd中 abc 60 pc 平面abcd e是pa的中点 求e到平面pbc的距离 能力 思维 方法 解 e是pa的中点 e到平面pbc的距离等于a到平面pbc的距离的一半 由pc 平面abcd 得到平面pbc 平面abcd 在平面abcd内作ah bc 交bc于h 则ah h 所求距离为 返回 12 已知如图 边长为a的菱形abcd中 abc 60 pc 平面abcd e是pa的中点 求e到平面pbc的距离 能力 思维 方法 g o 返回 距离离不开垂直 因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系 平面与垂直 与解三角形的过程 值得注意的是 作 证 算 答 是立体几何计算题不可缺少