黑龙江省齐齐哈尔市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）.docx

齐齐哈尔市2018-2019学年度高二下学期期末考试数学试卷（文科）本试卷分第卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷共150分，考试时间120分钟。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】则本题选择C选项.2.若复数满足（其中为虚数单位），在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算求得，根据复数的几何意义可得对应的点的坐标，从而得到结果.【详解】由题意得：对应的点的坐标为：，位于第四象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数的几何意义，关键是利用复数除法运算求出复数，属于基础题.3. “pq为假”是“pq为假”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】pq为假，则p，q皆为假，pq为假；pq为假，则p，q中至少一个为假，pq不一定为假，所以“pq为假”是“pq为假”的充分不必要条件，选A.4.高中数学课程标准(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.5.函数的图象的大致形状为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取特殊值排除得到答案.【详解】，排除ACD故答案选B【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.6.如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据： 3456 2.53m4.5若根据如表提供数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（ ）A. 4B. 4.5C. 3D. 3.5【答案】A【解析】由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以，解得。选A。7.抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为A. B. 6C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义可知点到准线距离为，从而可求得其到轴的距离.【详解】由抛物线定义知，点到抛物线准线的距离为点到轴的距离为：本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.8.已知，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性可知，；根据幂函数的单调性可判断出，从而得到结果.【详解】 ，则最大由在上单调递增可知：，即本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小的问题，关键是能够熟练掌握初等函数的单调性，属于基础题.9.将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最大值为B. 函数的最小正周期为C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：横坐标伸长到原来的倍得：最大值为，可知错误；最小正周期为，可知错误；时，则不是的对称轴，可知错误；当时，此时单调递增，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.10.设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将作为基向量，其他向量用其表示，再计算得到答案.【详解】设是边长为的正三角形，是的中点，是的中点，故答案选D【点睛】本题考查了向量的乘法，将作为基向量是解题的关键.11.设双曲线的左、右焦点分别为，且过的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若，则双曲线C的离心率是A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】设，根据双曲线定义和已知中比例关系可求得且，可得到，从而知，通过勾股定理可建立关于的方程，从而求得结果.【详解】设， 则，由双曲线定义可知：，即：又 又， 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够通过双曲线的定义得到各个焦半径的长度，通过勾股定理可构造出关于的齐次方程，通过求解齐次方程得到离心率.12.若函数（a为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，将问题转化为与存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.【详解】由题意得：定义域为，且设切点坐标为：，则过原点的切线斜率：，整理得：存在两条过原点的切线 存在两个不同解设，则问题等价于与存在两个不同的交点又当时，单调递增；当时，单调递减 又当时，；当时，若与存在两个不同的交点，则解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结合的方式来确定交点个数，从而得到参数范围.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案写在答题卡相应题的横线上13.已知等差数列的前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列故答案为【点睛】本题考查了等差数列的性质，前N项和，利用性质可以简化运算.14.若，满足约束条件，则的最大值是_【答案】3，3【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式.由图可知，当直线过，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为；当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为.的取值范围为3，3.故答案：3，3.点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 15.已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用解得答案.【详解】当时，是定义在上的奇函数是在上单调递增故答案为【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在上单调递增是解题的关键.16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的面积相等，则此圆柱的体积为_【答案】【解析】【分析】利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积，进而求得圆柱的体积.【详解】表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是，所以区域的面积为，所以圆柱的体积.【点睛】本题考查数学文化以及简单几何体的体积，考查利用几何意义计算定积分，考查空间想象能力和运算求解能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721题为必答题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）把边角关系转化为角的关系为，从而有即.（2）利用余弦定理有，解得，从而面积为.解析：（1）因为，所以，而，故，所以.（2）由，得，化简得，解得，或（舍去），所以.18.某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图产品质量/毫克频数（165，1753（175，1852（185，19521（195，20536（205，21524（215，2259（225，2355（）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；（）从甲流水线样本中质量在的产品中任取2件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计（）由以上统计数据完成下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？下面临界值表仅供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中na+b+c+d【答案】（）（）（）不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关【解析】【分析】（）求出前三组的频率之和及前四组的频率之和，则可判断中位数在第四组，设其大小为，由解得；（）甲流水线样本中质量在的产品共有5件，其中合格品有2件，设为；不合格品3件，设为，再利用列举法以及古典概型概率公式可得；（）先得列联表，再根据表中数据，计算出观测值，结合临界值表可得【详解】（）因为前三组的频率之和前四组的频率之和所以中位数在第四组，设为由，解得（）甲流水线样本中质量在的产品共有5件，其中合格品有2件，设为；不合格品3件，设为从中任取2件的所有取法有，共10种，恰有一件合格品的取法有共6种，所以两件产品中恰有一件合格品的概率为 （）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200所以，22列联表是： 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关【点睛】对于独立性检验问题，应该根据22列联表计算的值，然后根据临界值表进行判断而古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件19.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接AF，与CD交于点H，连接GH，由中位线定理可得BFGH，从而得证；（2）由点H为AF的中点，可知点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，再利用，即可得解.【详解】(1)连接AF，与CD交于点H，连接GH，则GH为ABF的中位线，所以BFGH，又BF平面CDG，GH平面CDG，所以BF平面CDG.(2)由点H为AF的中点，且点平面CDG可知，点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，由四边形是正方形，可得是三棱锥的高，由题意得，所以，在CDG中，设点A到平面CDG的距离为h，则，由得，所以点F到平面CDG的距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知椭圆的一个焦点为，点在C上.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，过F作直线l交椭圆于A、B两点，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，利用和求得，从而得到椭圆方程；（2）当垂直于轴时，显然成立；当不垂直于轴时，设直线方程，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用两点连线斜率公式表示出，代入韦达定理整理可证得，从而可知直线，倾斜角互补，得到所证结论.【详解】（1）由题意知：在椭圆上 又，解得：，椭圆的方程为：（2）当与轴垂直时，直线恰好平分，则当与轴不垂直时，设直线的方程为：联立，消去得：恒成立 设，由韦达定理得：，直线，的斜率之和为： 故直线，的倾斜角互补 综上所述：【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆中的等量关系的证明问题，解决问题的关键是能够通过利用斜率和为定值来进行结论的证明；证明斜率和为定值的常用方法是直线与椭圆方程联立，通过韦达定理表示出斜率，通过化简、消元证得结果；易错点是忽略了直线斜率不存在的情况的讨论.21.已知函数（1）当时，判断函数零点的个数；（2）当时，不等式恒成立，求正实数a取值范围【答案】（1）函数的零点个数为1（2）【解析】【分析】（1）通过导数可知在上单调递增，在上单调递减，从而可得，可知零点个数为；（2）将问题转化为在时恒成立；设，分别在和两种情况下确定导函数的符号，从而得到的单调性，可知时不等式恒成立，时，不等式不恒成立，从而可得结果.【详解】（1）， ，当时，单调递增；当时，单调递减极大值为：，即的零点个数为：（2）当时，不等式恒成立等价于：恒成立设，则令则当时， ，即单调递增 单调递增当时，恒成立当时，若，则，单调递减 因此在上单调递减，即，此时不符合题意综上所述，正实数的取值范围为：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数零点个数的求解、根据不等式恒成立求解参数取值范围的问题；恒成立问题的处理关键是能够通过构造函数的方式，通过分类讨论得到所构造函数的单调性，从而得到恒成立的不等式成立的条件.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分