第2讲几何光学和眼睛(1)

第一章几何光学 参见书第一章内容 GeometricalOpticsGeo 几何 RayOpticsBasics Postulates 基本假设 ofRayOpticsLighttravelsinformofraysAnopticalmediumischaracterizedbytherefractiveindexntimeittakeslighttotraveldistanced d c nd cvacopticalpath ndAninhomogeneousopticalmedium n r r x y z timetakenbythelighttotravelfromAtoBisproportionaltoopticalpathlengthFermat sPrinciple opticalraystravelbetweentwopointsA Bonthepathwheretheopticalpathlengthisanextremuminmostcasesaminimumlighttravelsthepathofshortesttimehomogeneousmedium lighttravelsonstraightlines Opticalpathlengthandtimedelay光程与时差 Q P的传播时间 介质中光速用真空光速和折射率代替 光程的另一角度认识 光经历Q和P两点的光程等于传播时间乘以真空光速 Opticalpathdescription SupposewehaveknownSnell slawalready inasteppedindexstack wehave Noticethat or Wederive Opticalpathequation Thesecondderivativewillbe Fromtheequation wemayderivetheopticalpathtrace 其中利用了 pathequation Example gradientindexfiber Fortheindexofafiberas inradialdirection径向 Inthecaseof Substitutingintothepathequation wehave Verymuchlikeaharmonicoscillatorequation Thenthetracewillbelikeawaveasafunctionofx Solution Oscillationperiod Solution Dependentontheangle Forsmallincidentangle Oscillationperiodisapproximatedas Gradientindex NaturalindexgradientIndexabovethesea Thehigheristheaptitudes thesmallertheindexis Howeverinthecontinent ifthesurfacetemperatureisveryhigh theindexdistributionmaybeinversed Thehighertheindexislarger Mirage海市蜃楼 海市蜃楼 Gradientindex ArtificialgradientindexGradientindexfiberIntenselaserresultedindexgradientSelf focusing Self defocusingThermallensing Geometricopticsofrainbow Geometricopticsofrainbow 费马原理Fermatprinciple 原理表述 数学表达 导出反射定律 折射定律 费马原理与成像 费马原理的评述 光程的概念对几何光学的重要意义体现在费马原理中 几何光学的基础是前面所提到三个实验定律 费马却用光程的概念高度概括地把它们归结成一个统一的原理 17世纪的一位法国数学家 提出了一个数学难题 使得后来的数学家一筹莫展 这个人就是费马 1601 1665 这道题是这样的 当n 2时 xn yn zn没有正整数解 在数学上这称为 费马大定理 为了获得它的一个肯定的或者否定的证明 历史上几次悬赏征求答案 一代又一代最优秀的数学家都曾研究过 但是300多年过去了 至今既未获得最终证明 也未被推翻 即使用现代的电子计算机也只能证明 当n小于等于4100万时 费马大定理是正确的 由于当时费马声称他已解决了这个问题 但是他没有公布结果 于是留下数学难题中少有的千古之谜 费马生于法国南部 在大学里学的是法律 以后以律师为职业 并被推举为议员 费马的业余时间全用来读书 哲学 文学 历史 法律样样都读 30岁时迷恋上数学 直到他64岁病逝 一生中有许多伟大的发现 不过 他极少公开发表论文 著作 主要通过与友人通信透露他的思想 在他死后 由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想 好在费马有个 不动笔墨不读书 的习惯 凡是他读过的书 都有他的圈圈点点 勾勾画画 页边还有他的评论 他利用公务之余钻研数学 并且成果累累 后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅 赞誉他为 业余数学家之王 费马对数学的贡献包括 与笛卡尔共同创立了解析几何 创造了作曲线切线的方法 被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱 通过提出有价值的猜想 指明了关于整数的理论 数论的发展方向 他还研究了掷骰子赌博的输赢规律 从而成为古典概率论的奠基人之一 Description表述 平稳值的三种基本的含义 极小值 常见情况 常数 成像系统的物像关系极大值 个别现象 光线沿光程为平稳值 stationary 的路径而传播 书上 OpticalraystravelbetweentwopointsA Bonthepathwheretheopticalpathlengthisanextremum inmostcasesaminimumlighttravelsthepathofshortesttime 英语表达 S S Anydifference 费马原理的数学表达式mathematicalexpression 路径积分integrationofopticalpathlength 是路径 l 的函数 平稳值要求变分为零 路径 l 的值就有极大 极小和常数这三种情况 极大 极小 折射反射定律常数 成像 变分值为极大和常数情况maximumorconstant AD B ADBButAD BviolentthereflectionlawLighttakesthelongestpath 极大 常数 费马原理与三个实验定律 experimentverification 1 光在均匀介质中直线传播 直线距离最短 2 反射定律 反射角 入射角 3 折射定律 life guardproblem 要点 反射光线在入射面 反射角等于入射角 光程最短 M 1 救生员应该在最短的时间内到达被救者 2 在海滩上和在海水里奔跑速度不一样 因此要选择最佳入水地点 3 计算路径 时间 并变分为零 得到折射定律 3 折射定律Lifeguardproblem救生员问题 1 折射光线在入射面内 方法和反射定律推导一样 2 入射角和折射角的关系 Q M P的光程 根据费马原理 L对x的一阶导数为零 3 费马原理推导折射定律 cont d 费马原理推导折射定律 cont d 导出折射定律 因为 费马原理与成像 等光程与成像 其中 严格等光程 严格成像 近似等光程 近似成像 非等光程 不成像 费马原理应用例题 导出单球面折射傍轴成像公式 等光程 傍轴条件 单球面 界面两边折射率不同 不是半径 代入等光程 值得指出的两点 1 单球面傍轴成像公式的获得没有使用折射定律 结果和利用折射定律所得结果一致 2 傍轴条件 s r x 单球面傍轴成像公式 即 思考题 反射光束 折射光束的等光程性 折射光束 L A1AA2 L B1BB2 L C1CC2 反射光束 L A1AA 1 L B1BB 1 L C1CC 1 反过来 等光程性可以推出折射定律和反射定律 费马原理评述 费马原理的使用限度 费马原理是几何光学的理论基础 几何光学使用限度也是费马原理的使用限度 费马原理属一种猜想 推导出折射定律等纯属巧合 现代电磁理论才是折射定律反射定律和成像理论的科学根基 费马原理在物理学发展史上的贡献 开创了以 路径积分 变分原理 表述物理规律的新思维方式 理论力学 最小作用原理或哈密顿原理和费马原理有相同的数学表达式 WhyYouDon tBelieveFermat sPrinciple LaurenceHecht Theprincipleyoutakeasabasisforyourproof towit 智慧 智者 thatnaturealwaysactsbytheshortestandsimplestpath isonlyamoralprinciple notaphysicalone itisnotandcannotbethecauseofanyeffectinnature Thissameprinciplemustmakenatureirresolute 无决断的 notknowingwhichwaytogowhenitmakesarayoflightpassfromalessdensetoamoredensemedium byClerselier anexpertinopticsandleadingspokesman onAug 31 1936 Summaryofthissection Homework作业090924 现代光学基础 1 21 51 6 费马原理 光线沿光程为平稳值 stationary 的路径而传播 OpticalraystravelbetweentwopointsA Bonthepathwheretheopticalpathlengthisanextremum inmostcasesaminimumlighttravelsthepathofshortesttime GeometricalOptics Matrixexpressions ParaxialApproximationRaymatricesandrayvectorsMatricesforvariousopticalcomponentsTheLensMaker sFormula ImagingandtheLensLawMappingangletopositionCylindricallensesAberrationsTheEye Whymatrix 实际光学系统常常含有多个光学元件 对于多个光学元件 只需做矩阵相乘运算 itissosimple O1 O3 O2 注意元件顺序与矩阵顺序不一样 RayOptics傍 bang 轴近似 We lldefinelightraysasdirectionsinspace corresponding roughly tok vectorsoflightwaves Eachopticalsystemwillhaveanaxis andalllightrayswillbeassumedtopropagateatsmallanglestoit ThisiscalledtheParaxialApproximation 傍轴近似 axis TheOpticAxis Amirrordeflectstheopticaxisintoanewdirection This ringlaser hasanopticaxisthatscansoutarectangle Opticaxis Wedefineallraysrelativetotherelevantopticaxis TheRayvector Alightraycanbedefinedbytwoco ordinates xin qin xout qout itsposition xitsslope q Opticalaxis opticalray x q Theseparametersdefinearayvector whichwillchangewithdistanceandastheraypropagatesthroughoptics RayMatrices光线矩阵 Formanyopticalcomponents wecandefine2x2raymatrices Anelement seffectonarayisfoundbymultiplyingitsrayvector Raymatricescandescribesimpleandcom plexsystems Thesematricesareoftencalled ABCDMatrices Raymatricesasderivatives Wecanwritetheseequationsinmatrixform Sincethedisplacementsandanglesareassumedtobesmall wecanthinkintermsofpartialderivatives 各矩阵元素的意义 Forcascadedelements wesimplymultiplyraymatrices 对于多个光学元件 只需做矩阵相乘运算 Noticethattheorderlooksoppositetowhatitshouldbe butitmakessensewhenyouthinkaboutit O1 O3 O2 注意元件顺序与矩阵顺序不一样 Raymatrixforfreespaceoramedium自由空间与均匀介质中的矩阵 Ifxinandqinarethepositionandslopeuponentering letxoutandqoutbethepositionandslopeafterpropagatingfromz 0toz Rewritingtheseexpressionsinmatrixnotation RaymatrixforanInterface界面矩阵 Attheinterface clearly xout xin Nowcalculateqout Snell sLawsays n1sin qin n2sin qout whichbecomesforsmallangles n1qin n2qout qout n1 n2 qin Raymatrixforacurvedinterface曲面矩阵 Attheinterface again xout xin Tocalculateqout wemustcalculateq1andq2 Ifqsisthesurfaceslopeattheheightxin thenq1 qin qsandq2 qout qs IfRisthesurfaceradiusofcurvature thesurfacezcoordinatewillbe qin n1 qout n2 xin xout q1 q2 qs R z qs z Raymatrixforacurvedinterface cont d Nowtheoutputangledependsontheinputposition too Snell sLaw n1q1 n2q2 q1 qin xin Randq2 qout xin R Athinlensisjusttwocurvedinterfaces 薄透镜看成两个曲面的组合 We llneglecttheglassinbetween it sareallythinlens andwe lltaken1 1 Thiscanbewritten TheLens Maker sFormula where RaymatrixforaLens透镜矩阵 Thequantity f isthefocallengthofthelens It sthesinglemostimportantparameterofalens Itcanbepositiveornegative Inahomeworkproblem you llextendtheLensMaker sFormulatolensesofgreaterthickness Iff 0 thelensdeflectsraystowardtheaxis Iff 0 thelensdeflectsraysawayfromtheaxis R1 0R2 0 R10 Alensfocusesparallelraystoapointonefocallengthaway Atthefocalplane allraysconvergetothezaxis xout 0 independentofinputposition Parallelraysatadifferentanglefocusatadifferentxout Alensfollowedbypropagationbyonefocallength Assumeallinputrayshaveqin 0 Typesoflenses典型透镜 Lensnomenclature透镜术语 Whichtypeoflenstouse andhowtoorientit dependsontheaberrationsandapplication 双凸透镜 平凸透镜 凹凸透镜 双凹透镜 平凹透镜 半月型透镜 RaymatrixforacurvedMirror反射镜矩阵 Likealens acurvedmirrorwillfocusabeam ItsfocallengthisR 2 NotethataflatmirrorhasR andhenceanidentityraymatrix Consideramirrorwithradiusofcurvature R withitsopticaxisperpendiculartothemirror Miscellaneousmatrices矩阵元总结 空间传播矩阵 透镜变换矩阵 反射镜镜变换矩阵 曲面变换矩阵 平面界面变换矩阵 Consecutivelenses透镜组合 Supposewehavetwolensesrightnexttoeachother withnospaceinbetween Sotwoconsecutivelensesactasonewhosefocallengthiscomputedbythe resistivesum 类似电阻并联定律 Asaresult wedefineameasureofinverselensfocallength thediopter 屈光度 orthepower1diopter 1m 1 If AsystemimagesanobjectwhenB 0 成像条件 矩阵元B 0 WhenB 0 allraysfromapointxinarriveatapointxout independentofangle xout Axin WhenB 0 Aisthemagnification 与入射角无关 TheLensLaw透镜成像定律 Fromtheobjecttotheimage wehave 1 Adistancedo2 Alensoffocallengthf3 Adistancedi 1 M 根据成像条件 令B 0 像距 物距 透镜 TheLensLaw cont d 透镜成像定律 where Moreonmatrixoptics thicklensandprincipleplane Primaryprincipleplane第一主平面 Secondaryprincipleplane第二主平面 V1 H1 V2 H2 d2 n1 n 2 n2 例题 用矩阵法求解直径27mm 折射率1 54的玻璃球的焦距和主平面位置 已知 n1 n3 1 n2 1 54 r1 13 5 r2 13 5 d2 27 利用 n2 Homework090924 Wanda sworldYourgoldfishWandalivesinasphereofwater refractiveindexn 1 3 radiusR 20cm Atoneinstance Wandahaswanderedtothecenterofherewaterworld seeFig 1below ModelWandaasastickperpendiculartotheopticalaxisandthewatersphereasathicklens YoumayignoretheeffectoftheglasscontainerofWanda sworlda WhereisWanda simageformed b Istheimagerealorvirtual c Istheimageerectorinverted d Whatisthemagnification R water air Wanda Fig 1 Homework090924 Cont d Aparallelraybundleofwidtha1isincidentfromtheleftonatwo lenssystemcomposedoftwolensesL1 focallengthf1 andL2 focallengthf2 asshowninFigure2 Whatshouldtheseparationbetweenthetwolensesbeinorderforaparallelraybundletoemergefromthesystem Whatisthewidthofthisoutgoingraybundle L1 L2 f2 f1 Fig 2 a1 Homework090924 Cont d 3 WorkoutthesystemmatrixforthecompositeelementshowninFigure3anduseittoanswerthefollowingquestions