2-2极限的基本性质09[1].09.24

第二节 极限的基本性质,第二章,一、收敛数列的性质,唯一性有界性 保号性、保序性,4. 收敛数列与其子列的关系,二、函数极限的性质,唯一性局部有界性 局部保号性函数极限与数列极限的关系,第二章,一、收敛数列的性质,1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性),即若,则必有,若极限,则极限唯一.,( 用反证法),及,且,取,因, N1 N+,使当 n N1 时,假设,即当 n N1 时,证法1,同理, 因,故 N2 N+,使当 n N2 时, 有,从而,使当 n N2 时, 有,则当 n N 时,矛盾！,故假设不真 !,例1 证明数列,是发散的.,证 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,对于,则存在 N ,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,于是推得,矛盾！,区间长度为1,这与,2. 有界性,例如:,有界,无界,即若,使,(n =1,2,).,定理2.2 (收敛数列的有界性),收敛的数列必定有界.,证 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,即收敛数列必有界.,有,注,有界性是数列收敛的必要条件，,但不是充分条件.,收敛 有界,关系：,例如,虽有界，但不收敛 .,数列,推论 无界数列必发散.,3. 保号性、保序性,定理2.3 (收敛数列的保号性),(1) 若,则,使当n N 时，,(),(),(2) 若,则 a 0.,( 0 ,取,证 (1),(2) 用反证法证明.,注,如：,推论2.3 (保序性),使当n N 时，恒有,(2) 若,时, 有,证 ( 用反证法),取,因,故存在 N1 ,使当 n N1 时,假设,从而,当 n N1 时,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,则当 n N 时,便有,与已知矛盾, 于是定理得证.,当 n N1 时,4. 收敛数列与其子数列的关系,(1) 子数列的概念,称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。,例如, 从数列,中抽出所有的偶数项,是其子数列. 它的第k 项是,组成的数列：,(2) 收敛数列与其子数列的关系,定理2.4,也收敛，且,证 设,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,注,定理,1 某,收敛,例如，,但,发散.,2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，,则原数列一定发散 .,例如，,发散 !,二、函数极限的性质,1. 唯一性定理2.1 ( 函数极限的唯一性),2. 局部有界性,如：,(2) 若,则 X 0,函数 f (x) 有界.,3. 局部保号性定理2.3 (函数极限的局部保号性),(1) 如果,且 A 0 ,则存在,( A 0,(或 0),时, 恒有,f (x) g(x),(或,推论2.3,(函数极限的局部保序性),时, 恒有,问题:,若,f (x) 0 时, 有 f (x) g (x),但是,不能！,内容小结,1. 收敛数列的性质:,唯一性 , 有界性 , 保号性, 保序性;,任一子数列收敛于同一极限,2. 函数极限的性质:,唯一性 , 局部有界性 , 局部保号性, 局部保序性;,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;