高三数学总复习知能达标训练第七篇第七节立体几何中的向量.doc

高三数学总复习知能达标训练第七章第七节 立体几何中的向量方法(时间40分钟，满分80分)一、选择题(65分30分)1(2012福州模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为A.，4B.，4C.，2,4 D4，15解析，0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得.答案B2长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为A. B.C. D.解析建立坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos ，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin ，的值等于A. B.C. D.解析以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知(1,1,1)，.故cos ，从而sin ，从而选B.答案B4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是A平行B相交C异面垂直D异面不垂直解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案C5在直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为A. B2C3 D4解析设A、B在x轴上的射影分别为C、D，则AC3，BD2，CD5，又，60，易求得|2.答案B6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是A相交B平行C垂直D不能确定解析分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案B二、填空题(34分12分)7已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析|a|3，|b|3，ab22(1)2214，cos a，b，sin a，b，S平行四边形|a|b|sin a，b.答案8(2012丽水模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos ，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为_解析设PDa，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，由cos ，a ，a2.E的坐标为(1,1,1)答案(1,1,1)9正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为_解析如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0.n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0.a0，y0，xz.令xz1，则n(1,0,1)同理平面B1BD1的法向量m(1，1,0)cos n，m，而二面角ABD1B1为钝角，故所求角为120.答案120三、解答题(38分)10(12分)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE2，BF.(1)求证：CFC1E；(2)求二面角ECFC1的大小解析解法一(1)证明由已知可得CC13，CEC1F2，EF2AB2(AEBF)2，EFC1E，于是有EF2C1E2C1F2，CE2C1E2CC，所以C1EEF，C1ECE.又EFCEE，所以C1E平面CEF.又CF平面CEF，故CFC1E.(2)在CEF中，由(1)可得EFCF，CE2，于是有EF2CF2CE2，所以CFEF.又由(1)知CFC1E，且EFC1EE，所以CF平面C1EF.又C1F平面C1EF，故CFC1F.于是EFC1即为二面角ECFC1的平面角由(1)知C1EF是等腰直角三角形，所以EFC145，即所求二面角ECFC1的大小为45.解法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3)，E(0,0,2)，F(，1，)(1)证明(0，2，)，(，1，)，0220.所以CFC1E.(2)(0，2,2)，设平面CEF的一个法向量为m(x，y，z)，由m，m，得即解得可取m(0，1)设侧面BC1的一个法向量为n，由n，n，及(，1,0)，(0,0,3)，可取n(1，0)设二面角ECFC1的大小为，于是由为锐角可得cos ，所以45.即所求二面角ECFC1的大小为45.11(12分)(2011陕西)如图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值解析(1)证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(2)由BDC90及(1)，知DA，DB，DC两两垂直不妨设|1，以D为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，(1,0,0)，与夹角的余弦值为cos，.12(14分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长解析(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD.所以BD平面PAC.(2)设ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)