2019_2020学年新教材高中数学第三课考点突破素养提升新人教A版必修第一册.docx

第三课考点突破素养提升素养一数学运算角度1求定义域、值域【典例1】(1)已知函数f(x)的定义域为0,1,则函数f(2x-1)的定义域为()A.-1,1B.C.0,1D.(2)函数f(x)=+的定义域为_.(3)求函数y=2x-3-的值域.【解析】(1)选B.f(x)的定义域为0,1,所以f(2x-1)需满足02x-11,所以x1,所以f(2x-1)的定义域为.(2)要使函数有意义,需满足:即解得:-3x且x-,所以函数的定义域为x-3x且x-.答案:x-3x且x-(3)由13-4x0,解得x,函数y=2x-3为实数集上的增函数,y=-为上的增函数,所以y=2x-3-在上为增函数,则ymax=2-3-=,所以y=2x-3-的值域为.【类题通】关于函数定义域、值域的求法(1)定义域:关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义;抽象函数的定义域一般用代入法求解.(2)值域:首先考查函数类型,再确定函数在定义域上的单调性,最后计算最值.解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法,含字母的要分情况讨论.【加练固】求下列函数的值域:(1)y=3x2-x+2,x1,3.(2)已知函数y=x2+1(xa,2),求该函数的值域.【解析】(1)(配方法)因为y=3x2-x+2=3+,所以函数y=3x2-x+2在1,3上单调递增,所以当x=1时,函数取得最小值4;当x=3时,函数取得最大值26.所以函数y=3x2-x+2,x1,3的值域为4,26.(2)函数y=x2+1,xa,2,其对称轴为x=0.当0a2时,可得f(x)的最小值为f(a)=a2+1,最大值为5,其值域为a2+1,5.当-2a0时,可得f(x)的最小值为f(0)=1,最大值为5,其值域为1,5.当a-2时,可得f(x)的最小值为f(0)=1,最大值为f(a)=a2+1,其值域为1,a2+1.角度2求解析式【典例2】(1)已知函数f(2x+1)=4x2,则f(-3)=()A.36B.16C.4D.2(2)已知幂函数f(x)的图象过点(,3),函数g(x)是偶函数且当x0,+)时,g(x)=x.求f(x),g(x)的解析式.【解析】(1)选B.方法一:函数f(2x+1)=4x2,令2x+1=-3,解得x=-2,所以f(-3)=4(-2)2=16.方法二:设2x+1=t,则x=,所以f(t)=4=(t-1)2,所以f(-3)=(-3-1)2=16.(2)设f(x)=x,因为其图象过点(,3),故3=(),即()3=(),所以=3,故f(x)=x3.令x(-,0),则-x(0,+),所以g(-x)=.因为g(x)是偶函数,故g(-x)=g(x),所以g(x)=,x(-,0),所以g(x)=故g(x)=,xR.【类题通】求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数、二次函数或幂函数),使用待定系数法.(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f,使用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.【加练固】已知f(x)是对称轴为x=-的二次函数,且f(0)=-1,f(1)=3.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在(-1,1)上的值域.【解析】(1)由题意设f(x)=a+b,因为f(0)=-1,f(1)=3.所以所以故f(x)的解析式为f(x)=2x2+2x-1.(2)由(1)可知f(x)=2x2+2x-1,当x(-1,1)时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)的最小值为f且f=-,f(-1)=-1,且f(1)=3,所以f(x)在(-1,1)上的值域为.素养二直观想象角度函数的图象及其应用【典例3】已知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,它们的定义域均为-3,3,且它们在x0,3上的图象如图所示,则不等式0的解集是_.【解析】因为f(x)是奇函数,所以由图象知,当0x2或-3x0,当-2x0或2x3时,f(x)0,因为g(x)是偶函数,所以当1x3或-3x0,当-1x0或0x1时,g(x)0,则不等式0等价于或即或得0x1或2x3或-2x-1,即不等式0的解集为x|0x1或2x3或-2x-1.答案:x|0x1或2x3或-2x0,k0).对称:y=f(x)y=f(-x);y=f(x)y=-f(x);y=f(x)y=-f(-x).【加练固】已知函数y=f(x)是定义在区间-3,3上的偶函数,它在区间0,3上的图象是如图所示的一条线段,则不等式f(x)+f(-x)x的解集为_.【解析】由题意,函数f(x)过点(0,2),(3,0),所以y=-x+2,x0,3.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)关于y轴对称,所以f(x)=f(-x),所以2f(x)x.作出函数f(x)在-3,3上的图象如图所示,当x-3,0)时,y=2f(x)的图象在y=x的上方,当x0,3时,令2f(x)=x,得x=,所以满足2f(x)x的x的范围为0xx恒成立.即当x时,满足2f(x)x,故f(x)+f(-x)x的解集为.答案:素养三逻辑推理角度函数的单调性与奇偶性【典例4】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式.(2)画出函数f(x)的图象,并根据图象写出f(x)的单调区间.(3)若关于x的方程f(x)=2a+1有三个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0.当x0,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x.综上:f(x)=(2)函数f(x)的图象如图所示:单调增区间:(-,-1,1,+),单调减区间:(-1,1).(3)因为方程f(x)=2a+1有三个不同的解,所以-12a+11,所以-1a0.【延伸练】本例中若关于x的方程f(x)=2a+1有一个解,求a的取值范围.【解析】由函数的图象,可知,若关于x的方程f(x)=2a+1有一个解,则2a+11,解得a0.【类题通】函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小,解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.【加练固】已知函数f(x)=x+4x.(1)证明:函数f(x)=x+4x在x2,+)上是单调递增的.(2)求f(x)在4,8上的值域.【解析】(1)设x1,x2为2,+)上的任意两个实数,且x1x12,所以x1-x20,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x+4x在x2,+)上是单调递增的.(2)因为函数f(x)=x+4x在x2,+)上是单调递增的,所以f(x)在4,8上是单调递增的,则f(x)min=f(4)=5,f(x)max=f(8)=8+=.所以f(x)在4,8上的值域为.素养四数学建模角度函数的应用【典例5】某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:x4550y2712(1)确定y与x的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数定义域).(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润?【解析】(1)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b,由表格得方程组解得所以y=f(x)=-3x+162.又y0,所以30x54,故所求函数关系式为y=-3x+162,x30,54.(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432,x30,54.当x=42时,最大的日销售利润为432元,即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.【类题通】解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型.(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.(3)求模:求解数学模型,得出数学结论.(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.【加练固】共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h(x),其中h(x)=x是新样式单车的月产量(单位:件