数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径.docx

垂直于弦的直径教学设计吉林省集安市凉水朝鲜族乡学校 车海晶1、 教材分析垂径定理是圆这一章的重要内容，它揭示了垂直于弦的直径与这条弦以及这条弦所对的两条弧的内在联系，是圆的轴对称性的精彩演绎；它是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也是进行圆的有关计算和作图的依据。所以它在教材可中处于非常重要的地位。 教学重点：探究垂径定理及其推论，并运用这些结论解决一些与圆有关的证明和计算问题。 教学难点：分清垂径定理及其推论的题设和结论；能从生活问题中抽象、构造出符合垂径定理的基本模式图形。 关键：圆的轴对称性。2、 教学目标 1知识与技能：（1）通过观察实验，使学生直观理解圆的轴对称性。（2）掌握垂径定理，理解其证明过程，学会利用垂径定理解决有关证明与计算问题。（3）掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。 2过程与方法：通过定理的探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳的能力。 3情感态度与价值观：（1）学生感受探索数学问题的兴趣，获得解决数学问题的成就感。（2）体会数学图形的对称美，知识的内在美和形式美，激发其对数学的热爱。三、教学过程导语：我们前面学习了圆的有关概念，知道圆的半径都相等，任意两条半径(同一直线上的两条半径除外)都能引出等腰三角形，等腰三角形有很多重要的结论，这些结论在圆中又会绽放怎样的光彩呢？活动一：探究垂径定理师生活动：学生在所给的圆形纸片中画两条半径OA和OB（老师在黑板上画），并画出以这两条半径为腰的等腰三角形。师：我们知道等腰三角形是轴对称图形，那么你能画出这个组合图形的对称轴吗（如图1）？学生作出对称轴CD，找一个学生到黑板上画，此时教师提问CD与弦会有怎样的位置关系呢？生：垂直（如图2）。 师：利用电子白板，通过动态演示将这个图形沿直径CD折叠，在折叠的过程中学生观察、猜想并发现相等的线段和相等的弧，说说你的理由。教师提问后留给学生思考证明的时间，结合教师巡视的过程，让一位思路正确的学生回答自己所找到的等量关系并简述证明方法。 注：下图为ppt动态演示折叠过程的效果图及其制作方法。 ppt制作两个图形 给右图制作动画效果 将右图与左图重合即可 设计意图：上面的方法只是通过直观感知圆轴对称性而得到 AM=BM 以及 ， 这样的结论，但不够严谨，这就必须证明出圆的轴对称性才可以。现提供两种证明圆的对称性的方法如下：证法1: 如图2所示 CD AB，垂足为M. AMO= BMO=90.又 OA=OB，OM=OM. RtAOM RtBOM（HL） AM=BM.证法2:如图2所示OA=OB ，OAB 是等腰三角形.又 ABCD ，AM=BM （三线合一）. 教师引导学生整理垂径定理： 垂径定理 : 条件: 过圆心 ； 垂直于弦， 结论： 平分弦 ； 平分优弧；平分劣弧。 几何语言： CD是直径；CDAB， AM=BM ； ； 设计意图：结合圆的轴对称性，学生在图形的动态演示过程中，通过观察、猜想并发现了垂径定理。教师为学生创造了探究问题情境和实践活动，让他们亲身历经探究结论的过程，能理解并分清垂径定理的条件和结论，掌握垂径定理的几何语言。 定理辨析：判断下列图形，哪些能够使用垂径定理，为什么？设计意图：由本题可以看出“垂直于弦的直径”还可以改为“垂直于弦的半径”。 因此想到需要进一步分析垂径定理条件，于是以适当的方法诱导学生考察上图所示的各种可能情况，以认识到垂径定理条件中的“直径”可以改为任意的线段，于是定理中条件的根本要素不在于“直径”，而在于“过圆心，垂直于弦”。活动二：探究垂径定理的推论猜想：在一个圆中，如果一条直径平分弦，那么这条直径会不会垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧呢？ 师生活动：学生回答“不一定”，教师引导学生在圆形纸片上画线操作（画图、图4两种情况），让学生观察、思考，得出垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。教师一定要强调被平分的弦不是直径。根据条件，用图形的直观分析，降低学习的难度，让学生在不同条件下的两个图形得到不同结论的鲜明对比中得出垂径定理的推论，并真正理解推论中的条件“平分弦（不是直径）的直径”。 直径CD平分弦AB 直径CD平分弦AB 弦AB不是直径 弦AB是直径 图3 图4引导学生学习垂径定理推论的符号语言（如图3）：CD直径，AB不是直径；AMBM； CDAB ； 设计意图：垂径定理涉及的五个“基本条件”： 过圆心； 垂直于弦； 平分弦（上述推论时弦不是直径）； 平分优弧； 平分劣弧。由垂径定理及其推论我们可将其总结为：知二推三。进而还可以提出如果变换定理的条件与结论中的位置，是否也依然成立？ 通过猜想，让学生形成新旧知识的碰撞中生成思维的火花。 活动三：学以致用 例：如图，在 O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求O的半径.设计意图：学生刚刚学了垂径定理的内容，本题能让学生初步掌握理的简单应用。教师还可以利用本题引导学生总结使用垂径定理解决与圆有关问题的解题思路：构造直角三角形，把与圆有关的问题转化到直角三角形中；使用垂径定理和勾股定理求解。另外，这个解题思路可以为例题变式中利用垂径定理解决实际问题做好铺垫。 例题变式：某居民小区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶的距离为10cm，问：修理人员应备内径多大的管道？设计意图：本题意在圆中常添加的辅助线，将垂径定理与勾股定理有机结合，寻找“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形。活动四：知识梳理1.本课从轴对称的角度研究了圆，你对垂径定理有怎样的认识？2.在利用垂径定理解决问题时，你会积累哪种模式图形呢？（ 预设： 如图5，弦长a、弦心距d、半径r及弓形高h之间的关系. ） 图5 设计意图：课堂小结能够让学生对本节课学习的内容有一个比较完整的知识结构框架，也有利于培养学生善于及时总结知识的良好学习习惯。 活动五：能力提升 如图 ，已知在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于 C、D 两点。求证：AC=BD 设计意图：在学习垂径定理之前，证明线段相等常用的方法就是证明三角