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第一章结构动力学概述 结构动力学是结构力学的一个分支 着重研究结构对于动荷载的响应 如位移 应力等的时间历程 以便确定结构的承载能力和动力学特性 或为改善结构的性能提供依据 动荷载的特性结构的动力特性结构响应分析 大小方向作用点 大小方向作用点时间变化 数值 时间函数 结构动力体系 1 2动荷载的定义和分类 荷载 荷载三要素 荷载分类 作用在结构上的主动力 大小 方向和作用点 作用时间 作用位置 对结构产生的动力效应 恒载活载 固定荷载移动荷载 静荷载动荷载 大小 方向和作用点不随时间变化或变化很缓慢的荷载 静荷载 动荷载 大小 方向或作用点随时间变化很快的荷载 是否会使结构产生显著的加速度 快慢标准 质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比是否可以忽略 显著标准 动荷载的定义 荷载在大小 方向或作用点方面随时间变化 使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时 则把这种荷载称为动荷载 问题 你知道有哪些动荷载 动荷载的分类 概念 动荷载是时间的函数 分类 动荷载 突加荷载 冲击荷载 确定性荷载 例如 简谐荷载 荷载的变化是时间的确定性函数 非确定性荷载 例如 风荷载 地震作用 平均风 脉动风 荷载随时间的变化是不确定的或不确知的 又称为随机荷载 结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为结构振动分析 结构在随机荷载作用下的响应分析 被称为结构的随机振动分析 本课程主要学习确定性荷载作用下的结构振动分析 与结构静力学相比 动力学的复杂性表现在 1 3动力问题的基本特性 动力问题具有随时间而变化的性质 数学解答不是单一的数值 而是时间的函数 惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解 需考虑结构本身的动力特性 刚度分布 质量分布 阻尼特性分布的影响 1 4离散化方法 1 集中质量法 把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上 成为一系列离散的质点或质量块 适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构 例如 房屋结构一般简化为层间剪切模型 例如 适用于质量分布比较均匀 形状规则且边界条件易于处理的结构 例如 右图简支梁的变形可以用三角函数的线性组合来表示 2 广义坐标法 假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示 则组合系数Ak t 称为体系的广义坐标 定义 假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为y x t 可用一系列位移函数的线性组合来表示 广义坐标表示相应位移函数的幅值 是随时间变化的函数 广义坐标确定后 可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线 以广义坐标作为自由度 将无限自由度体系转化为有限个自由度 所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数 3 有限单元法 先把结构划分成适当 任意 数量的单元 对每个单元施行广义坐标法 通常取单元的节点位移作为广义坐标 对每个广义坐标取相应的位移函数 插值函数 由此提供了一种有效的 标准化的 用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系 要点 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题 对分布质量的实际结构 体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点 是最灵活有效的离散化方法 它提供了既方便又可靠的理想化模型 并特别适合于用电子计算机进行分析 是目前最为流行的方法 已有不少专用的或通用的程序 如SAP ANSYS等 供结构分析之用 包括静力 动力和稳定分析 大型桥梁结构的有限元模型 1 5运动方程的建立 在结构动力分析中 描述体系质量运动规律的数学方程 称为体系的运动微分方程 简称运动方程 定义 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础 常用方法 直接平衡法 虚功法 变分法 建立体系运动方程的方法 直接平衡法 又称动静法 将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题 根据达朗贝尔原理 把惯性力作为附加的虚拟力 并考虑阻尼力 弹性力和作用在结构上的外荷载 使体系处于动力平衡条件 按照静力学中建立平衡方程的思路 直接写出运动方程 虚功法 根据虚功原理 即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件 导出以广义坐标表示的运动方程 变分法 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程 根据理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导出以广义坐标表示的运动方程 单自由度体系模型 质量块m 用来表示结构的质量和惯性特性自由度只有一个 水平位移y t 无重弹簧 刚度为k 提供结构的弹性恢复力无重阻尼器 阻尼系数c 表示结构的能量耗散 提供结构的阻尼力随时间变化的荷载F t 第二章运动方程的建立 单自由度体系运动方程的建立 直接平衡法 建立计算模型 直接平衡法 又称动静法 将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题 根据达朗贝尔原理 把惯性力作为附加的虚拟力 并考虑阻尼力 弹性力和作用在结构上的外荷载 使体系处于动力平衡条件 按照静力学中建立平衡方程的思路 直接写出运动方程 直接平衡法 根据所用平衡方程的不同 直接平衡法又分为刚度法和柔度法 平衡方程 根据d Alembert原理 等于弹簧刚度与位移的乘积 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积 由此得到体系的运动方程 2 3 惯性力 弹性力 阻尼力 刚度法 取每一运动质量为隔离体 通过分析所受的全部外力 建立质量各自由度的瞬时力平衡方程 得到体系的运动方程 平衡方程 试用刚度法建立图示刚架的运动方程 解 1 确定自由度数 横梁刚性 柱子无轴向变形 2 确定自由度的位移参数 3 质量受力分析 取刚梁为隔离体 确定所受的所有外力 4 列动平衡方程 1个自由度 其中各力的大小 位移法 柱子一端产生单位平移时的杆端剪力 等效粘滞阻尼力 柱端发生平移y时产生的梁 柱间剪力 由此得到体系的运动方程 惯性力 弹性力Fs Fs1 Fs2 比较 2 3 运动方程与 2 3 的形式是一样的 柔度法 以结构整体为研究对象 通过分析所受的全部外力 利用结构静力分析中计算位移的方法 根据位移协调条件建立体系的运动方程 例 试用柔度法建立图示简支梁的运动方程 解 1 确定自由度数 集中质量 仅竖向位移 2 确定自由度的位移参数 质量m的位移 3 体系受力分析 取梁整体为隔离体 确定所受的所有外力 1个自由度 d为自由度方向加单位力所引起的位移 即柔度 惯性力 阻尼力 位移方程 比较 含义 等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与实际动荷载产生的位移相等 令 FE t 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力 其通用表达式 2 3 已经知道柔度d和刚度k之间的关系为 结论 任何一个单自由度体系的运动方程都可以抽象成为一质量 弹簧 阻尼器体系的运动方程 一般形式为 2 5广义单自由度体系 刚体集合 刚体的集合 弹性变形局限于局部弹性元件中 分布弹性 弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成 只要可假定只有单一形式的位移 使得结构按照单自由度体系运动 就可以按照单自由度体系进行分析 1 确定自由度数 1个自由度 2 体系受力分析 E2 1 令体系产生虚位移 所有力在虚位移上产生的总虚功 广义质量 广义阻尼 广义刚度 广义荷载 简化形式 令 有 虚位移 轴向力所做虚功 考虑轴向力的广义刚度 讨论 轴向压力使广义刚度减小 轴向拉力使广义刚度增大 轴向力越大 广义刚度越小 广义刚度为零时 刚体集合的各部件间有着复杂的关系 但因为约束条件使得两个刚性杆只可能有一种位移形式 所以它是一个真实的单自由度体系 如果杆件可以发生弯曲变形 这时体系将具有无穷多个自由度 如果由假定只能产生单一的变形形式 包括有一个合适的产生弯曲变形的部件 那么 这样的体系仍可作为一个单自由度体系来分析 分布弹性 弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成 只要 可假定只有单一形式的位移 使得结构按照单自由度体系运动 2 6广义单自由度体系 分布柔性 假定唯一变形曲线后 成为单自由度体系 广义坐标Z t 变形曲线y x 虚功原理 杆件产生变形时 外力所做的虚功等于内力所做的虚功 地面运动引起的等效荷载 外力 轴力N 惯性力 地面运动引起的等效荷载 惯性力 外力所做的虚功 惯性力 地面运动引起的等效荷载 轴力 N 关系式 虚功 内力所做的虚功 关系式 变形 变形速度 令 令 E2 3 假定变形曲线 刚度和质量均匀分布 运动方程 考虑轴向力时结构的几何刚度 综合广义刚度 临界屈曲荷载 2 7广义体系特性的表达式 任意单自由度体系的运动方程 广义质量的标准形式 广义阻尼的标准形式 广义刚度的标准形式 广义刚度的标准形式 考虑几何刚度 广义荷载的标准形式 第三章自由振动反应 表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性 又称自振特性 定义 结构的振动反应 结构的动力特性与结构的质量 刚度 阻尼及其分布有关 定义 结构受外部干扰后发生振动 而在干扰消失后继续振动 这种振动称为结构的自由振动 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用 这种振动称为结构的强迫振动 又称受迫振动 结构的自由振动与受迫振动 固有频率 质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期 单位时间内完成的循环次数称为频率 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率 对大部分工程结构 结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关 阻尼 结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统 阻尼原因复杂 内摩擦 连接摩擦 周围介质阻力等 3 1运动方程的解 最简单的由刚体 弹簧和阻尼器组成的单自由度体系 已经得到单自由度体系的运动方程 3 1 这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应 运动方程 等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动 定义 自由振动产生的原因 初始时刻的干扰 初始位移 初始速度 初始位移 初始速度 结构受外部干扰后发生振动 而在干扰消失后继续振动 这种振动称为结构的自由振动 去掉外荷载 p t 0 上式称为 二阶线性常系数 齐次方程 齐次方程的求解 可设齐次方程解的形式为 3 3 其特征方程为 或 代入 3 2 可得 3 4 3 2 称为 二阶线性常系数 齐次方程 式中w2 k m w是体系振动的圆频率 根据阻尼系数c值的不同 解出的特征参数s值将具有不同的特性 3 2 3 2无阻尼自由振动 Ifc 0 特征方程 自由振动方程 3 7 引入Euler方程 代入 3 2 得 3 9 A和B是由初始条件决定的常数 得无阻尼自由振动的位移反应 3 10 3 2 设t 0时 代入 代入 单自由度无阻尼体系运动方程的解 3 11 或写成 3 14 位移反应 3 10 三角关系 对比 3 11 显然有 3 13 成为 3 11 3 14 物理意义 3 11 3 14 物理意义 3 11 定义 对于无阻尼体系 运动完全是反复进行的 运动的最大位移称为振幅 运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期 由于对应每个角增量2p便发生一个完整循环 自振周期就是 单位时间内的循环次数称为自振频率 运动的角速度称为自振圆频率 3 3阻尼自由振动 对于有阻尼的单自由度体系 特征方程 自由振动方程 则 随着根号中值的符号的不同 这个表达式可以描述临界阻尼 低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式 本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况 3 2 1 临界阻尼 当根式中的值为零时 对应的阻尼值称为临界阻尼 记作cc 显然 应有cc 2m w 即 特征方程 这时 对应的s值为 自由振动方程 临界阻尼自由振动方程的解为 3 19 3 20 3 2 由初始条件 得到临界阻尼体系反应的最终形式 临界阻尼位移解 临界阻尼体系反应不是简谐振动 体系的位移反应从开始时的 依照指数规律衰减 回复到零点 临界阻尼的物理意义是 在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值 速度 3 20 2 低阻尼 特征方程 自由振动方程 如果体系的阻尼比临界阻尼小 则显然有c 2m w 这时 特征方程根式中的值必然为负值 则s值成为 引入符号 其中x表示体系阻尼与临界阻尼的比值 称为阻尼比 则 3 2 成为 引入Euler方程 引入符号 其中wd称为有阻尼振动频率 则 利用初始条件 得到低阻尼体系动力反应的最终形式 3 25 写成矢量表达式 运动的振幅 矢量的模 和初相位分别为 3 27 低阻尼体系动力反应 物理意义 低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率wd 并围绕中心位置振荡 而其振幅则随时间呈指数e xwt衰减 如果反应的时间足够长 最终会衰减到零 2 超阻尼体系 特征方程 自由振动方程 如果体系的阻尼比临界阻尼大 则显然有c 2m w 这时 特征方程根式中的值为正值 则s值成为 3 2 3 38 超阻尼体系反应不是震荡的 体系的位移反应从开始时的 依照双曲函数规律衰减 回复到零点 返回速度较临界阻尼时更快 确定体系阻尼比的一种方法 体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到 阻尼体系动力反应 体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为 取对数后 3 35 阻尼很小时 体系阻尼的测试 2 计算阻尼比 确定结构体系阻尼的其它方法 1 实测体系经过个周期后的位移幅值比 3 计算阻尼系数 3 36 计算图示刚架的阻尼系数 已知 柱子无重 刚性梁 F 90kN使大梁产生5mm的初位移 摆动1周后的位移4mm 周期为1 4s 解 确定梁的有效质量 计算阻尼系数 阻尼特性 确定体系的自振频率 六周以后振幅 单自由度体系受迫振动 单自由度受迫振动体系的运动方程 二阶常系数非齐次微分方程 通解由补解和特解组成 补解yc t 由体系的自由振动反应确定 受迫振动 结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动 注意 对于受迫振动体系 补解中的常数的A B应由微分方程的通解 补解 特解 而不能仅由补解确定 荷载p t 不同 微分方程的特解vp t 的形式是不同的 第四章谐振荷载反应 谐振荷载 简谐荷载作用下结构体系的运动方程 p0为荷载的幅值 为荷载的圆频率 4 1无阻尼体系 谐振荷载作用下的无阻尼体系运动方程 补解 齐次方程的解 特解 由动力荷载引起的特别解 设 代入 1 式得 所以特解的振幅 b 频率比 表示荷载频率与体系自振频率的比 特解 通解 常数A B由初始条件确定 假设 解得 简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为 p0 k Dst 将荷载p0静止地放在体系上所产生的位移 动力放大系数 表示简谐荷载的动力放大效应 bSinwt 按体系自振频率振动的反应分量 瞬态反应 体系的动力反应由两部分组成 按荷载作用频率振动的反应分量 稳态反应 物理意义 bSinwt 按体系自振频率振动的反应分量 瞬态反应 总反应 按荷载作用频率振动的反应分量 稳态反应 动力放大系数 思考 b 1时 体系的动力反应如何 4 2阻尼体系 阻尼体系运动方程 补解 齐次方程的解 特解 由动力荷载引起的特别解 设 4 15 4 16 由c 2mxw w2 k m 上式可写作 4 14 4 14 4 16 对vp t 求导 运动方程 代入运动方程 变量t为任意值时 等式均恒成立的条件 即 由此可解出系数 4 19 代入方程的特解 方程的通解 4 20 第一项按自振频率wd振动 由初始条件确定的自由振动反应 由于阻尼 这一项很快会衰减为零 即瞬态反应 第二项按荷载频率振动 即稳态反应 有些场合 如冲击荷载 地震等 应分析瞬态反应 一般情况下 瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大 这里主要讨论稳态反应的特性 谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为 4 23 反应振幅 相位差 这个强迫振动的解由正弦和余弦两个三角函数组合而成 它同样描述了一个简谐运动 也就是位移随时间呈正弦变化 这个运动也可以用矢量表示 物理意义 稳态反应 与外荷载同频率但存在一定相位差q 这里的相位差表示反应的相位比荷载相位所落后的角度 p0 k Dst 荷载p0产生的静位移 反应的振幅与所引起的静位移的比值称为动力放大系数 3 32 动力反应 动力放大系数是频率和阻尼的函数 x 0时 反应与外荷载同步 b1 动力放大系数 相频特性 x越小 体系反应越大 D 1 加载很慢 惯性力和阻尼力很小 接近静力反应 q 0 D 0 质量振幅很小 惯性力很大 q接近于180度 D增加很快 q接近于90度 反应的峰值出现在频率比接近1的地方 当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态 称体系发生共振 远大于w时 b 1 接近于w时 b 1 远小于w时 b 1 4 3共振反映 发生共振时 D的极值 动力系数与阻尼成反比 时出现极值 对包括瞬态项和稳态项的一般反应方程进行讨论 4 20 共振干扰频率时 b 1 假设体系由静止开始运动 即 考虑 正弦项影响小 阻尼频率与无阻尼频率几乎相等则定义反应比 无阻尼时 通过L Hospital法则得到 共振可能导致结构破坏 在工程设计时 应通过调整结构的刚度和质量控制频率 避免接近荷载频率 防止共振发生 在共振区 外荷载主要由阻尼平衡 共振时 外荷载主要由阻尼平衡 4 4加速度计和位移计 故 当x 0 7 0 b 0 6 m接近常量 即r与基础加速度成正比 当x 0 5 b 1 b2m接近常量 即r与基础振幅成正比 故 x 0 5 4 5隔振 基础作用力 基础最大作用力 基础最大作用力 定义 传导比 b与TR的关系 有减振效果 地基振动 m相对地基振动 合成振动 进行隔振设计时 用1 TR表示隔振效率 仅当b 1 414时 有隔振作用 只是阻尼比越大 隔振效果越不好 故采用隔振体系应小阻尼比 当阻尼比为零时 第五章对周期性荷载的反应 周期荷载 对于任意周期性荷载 可展开成傅里叶级数 5 1 静荷载分量 余弦分量 正弦分量 周期荷载 简谐荷载是任意周期荷载的一个特例 是级数中的一项 5 1荷载的傅立叶级数表达式 不考虑阻尼时 对第n项正弦和余弦分量 体系的运动方程为 周期荷载的傅里叶级数 其中 体系的总位移可利用叠加原理求得 对应的解为 可设特解为 代入 a 解得 解为 有阻尼体系 考虑阻尼时 对用傅里叶级数表示的周期荷载 体系的运动方程为 对正弦项 对余弦项 体系的稳态解可用利用叠加原理求得 5 4 其中 正弦解 余弦解 5 3傅里叶级数解的指数形式 Euler方程 和分别为以角速度按逆时针和顺时针方向旋转的单位矢量 单谐振荷载反应方程的指数形式 仅考虑方程的稳态解时 解的形式 代入方程 5 8 解得 5 8 5 9 5 10 已知 对于干扰力频率 其中 总反应 5 12 5 13 比较 第六章对冲击荷载的反应 正弦波脉冲突加荷载矩形脉冲三角形脉冲 持续时间短不需考虑阻尼 6 1冲击荷载的一般性质 性质 内容 阶段I 承受谐振荷载 从静止开始运动 包含瞬态反应和稳态反应 6 2正弦波冲击 阶段II 自由振动 与阶段I最终时刻的位移和速度有关 结构反应的大小与冲击荷载持续时间有关 分两种情况进行讨论 最大响应 由 仅在时 上式才有意义 强迫振动阶段出现最大值 荷载仅在第一阶段作用 最大反应出现在荷载作用期间内的条件 荷载频率趋近于结构自振频率时 容易导得 当b 1时 最大反应出现在第二阶段 幅值 其初始条件由代入第一阶段的解确定 动力放大系数 6 3 1突加荷载 突加荷载 特解 全解 初始条件 突加荷载作用下零初始条件的解 如不考虑阻尼影响 则 无阻尼 有阻尼 最大动位移 位移动力放大系数 工程中实际阻尼很小 一般认为突加荷载的位移动力放大系数为2 6 3 2矩形脉冲 矩形脉冲荷载 短时间滞留在结构上的荷载 由于作用时间短 一般不考虑阻尼 0 t t1时 t t1时 突加荷载 自由振动 矩形脉冲荷载作用下结构位移响应 当t1 T 2时 最大动位移ymax 2vst总是出现在第一阶段 当t1 T 2时 wt一定可以达到p 当t1 T 2时 最大动位移将在第二阶段自由振动期间出现 当t1 T 2时 wt就达不到p 当wt p时 极值出现在t t1时 位移放大系数 对于给定的冲击荷载 位移放大系数依赖于脉冲的持续时间与结构固有周期的比值t1 T 表3 1矩形脉冲荷载的动力放大系数 表3 2三角形脉冲荷载的动力放大系数 6 4三角形脉冲 三角形脉冲荷载 6 5震动谱或反应谱 脉冲长度比t1 T 无阻尼单自由度体系中 给定的冲击荷载形式所引起的最大反应仅仅依赖与脉冲的持续时间与结构的固有周围的比值t1 T 反应谱可用来求结构对作用在基底的加速度脉冲的反应 6 6冲击荷载反应的近似分析 结论1 对于长持续时间的荷载 动力放大系数主要依赖于荷载达到最大值的增加速度 具有足够持续时间的单阶荷载 动力放大系数为2 缓慢逐渐增加的荷载 动力放大系数为1 结论2 对于短持续时间的荷载 最大位移幅值主要依赖于作用冲量的大小 而脉冲荷载的形式对它影响不大 但是 动力放大系数十分依赖于荷载的形式 与脉冲面积与荷载峰值的比成比例 第七章对一般动力荷载的反应 7 1脉冲荷载作用下的动力响应 瞬时冲量 脉冲荷载在极短时间t 0内给予振动物体的冲量 动量增值 t 0时 瞬时冲量I作用于质点上m 使其增加动量 记作 假设冲击之前的初始位移和初始速度均为零 则冲量I全部传给质点m 即I D 就有 瞬时冲量I作用下质点获得的初速度 由于瞬时冲量I作用时间很短t 0 质点获得初速度后还未来得及产生位移冲量即行消失 体系将产生自由振动 自由振动方程 位移反应 因为v0 0 脉冲荷载作用下体系的位移反应为 7 2任意荷载作用下的动力响应 任一时刻t t时的脉冲作用下 体系的位移反应 根据叠加原理 体系在任意荷载下的反应可以看作是一系列脉冲连续作用的结果 任意荷载 From 即对单自由度受迫振动体系的运动方程 的一个特解是 称为Duhamel积分 定义单位脉冲响应函数 a 则 a 式成为卷积积分 方程的通解 b Duhamel积分的物理意义 整个荷载时程可以看作是由一系列连续的短脉冲所组成 所有的脉冲反应均按同样的圆频率 同样的衰减规律振动 体系的动力反应可以将0 t t时段内所有荷载时程FP t 所激励的在时刻t的全部微分反应相加获得 每个短脉冲都激起结构的振动 每个短脉冲的幅值是不同的 问题 Duhamel积分的使用条件 每个脉冲在t时刻都有反应 周期性荷载傅里叶级数的指数形式 7 3利用频域进行的反应分析 令 非周期性荷载 傅里叶级数的指数形式 这个式子的优点在于 积分限可以任意长 以致它可以把整个荷载周期包括在内 当 成为傅里叶积分变换对 任意荷载可以用无穷多个简谐分量的和表示 定义了频率为处的单位的荷载分量的幅值 乘以 得到频率为处的单位的反应分量的幅值 系统的总反应 7 24 频域反应分析的物理意义 整个荷载时程可以看作是由一系列连续的频率分量所组成 每个频率分量按照各自的衰减规律振动 体系的动力反应可以将所有荷载分量所激励的在时刻t的全部反应相加获得 每个频率都激起结构的振动 每个频率荷载分量的幅值是不同的 每个频率分量在t时刻都有反应 与Duhamel积分的对比 第八章非线性结构反应的分析 8 2平衡的增量方程 在任一瞬间 质量m上力的平衡方程 经过Dt时间后 成为 运动方程的增量形式 运动增量平衡方程的最终形式 8 3逐步积分法 在逐步积分法中 采用一系列短时间增量 计算结构的反应 且为了计算方便起见 多取 对于非线性分析 最有效的方法是逐步积分法 逐步积分法中 采用一系列短时间增量计算结构的反应 且为了计算方便起见 多取为等步长 在每个时间间隔 时段 的起点和终点建立动力平衡条件 并以一个假定的反应机理为根据 近似地计算时段范围内体系的运动 计算过程中 通常忽略在短时段内产生的不平衡 体系的时变特性可以由每个时段起点系统当前的新特性来说明 利用所求得的本时段终点的速度和位移作为计算下一时段的初始条件 从而可以求得体系的整个反应 这个过程可以逐步地从加载开始起 进行到任何所需要的时间 而体系的时变特性可以由一系列相继改变的时不变体系来逼近 线性加速度法 假定在每个时间增量内加速度线性变化 而且体系的