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2.5 不等式的证明一、比较法比较法有两种：（1）比差法：求差与比.（2）比商法：求商与比，要注意讨论分母的符号.例1 求证：（1）. （2）.证明：（1）因为，所以，.（2）因为，所以，.说明本例的几何意义.（1）的图像在的下方，如图所示（A点比B点低1个单位）.（2）的图像在的图像上方，如图所示（A点比B点高）.例2 设，求证：.（补充）证明： 因为，又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.故 .另证：因为，所以，则.当且仅当时等号成立.又，故 .当且仅当时等号成立.说明 此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.二、综合法从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.例3 已知、均为正数，求证：.证明： ，因为、均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：即，.当且仅当时等号成立.所以，不等式成立.例4 已知、，求证：.证明：.当且仅当时等号成立.所以不等式成立.例5 求证：.证明：因为，由基本不等式得，.当且仅当时等号成立.所以，不等式成立.说明 此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.例6 求证：.证明：一方面， .当且仅当时等号成立.另一方面，.当且仅当时等号成立.所以，当且仅当等号同时成立.说明 利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.三、分析法从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.分析法也可以如下叙述为：欲证结论，需先证得，欲要证得，需先证得， 欲要证得，需先证得， 欲要证得，需先证得.当成立时，若以上步步可逆，则结论成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立：，因为成立，所以结论成立.说明分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求证：.证明：因为，则要证成立，即证成立，即证成立.即证成立，即证成立，即证成立.因为成立，且以上步步可逆，所以，.例8 已知：，求证：.证明：要证成立，即证成立即证成立，即证成立， 由成立，且以上步步可逆，故有.例9 设、，求证：，并指出等号成立的条件.证：先证“”.注意到，则对于任意、，要证成立，即证成立，即证成立，即证成立，由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立.再证；“”.由，则对于任意、，要证成立，即证成立，即证成立，即证成立，即证成立，由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立；综上可得，任意、，不等式成立. 例9证明的不等式对任意的实数、成立，以换得到的不等式，即也成立，此时，右端等号成立，左端等号成立.以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式 对于任意、，（1），左端等号成立，右端等号成立.（2），左端等号成立，右端等号成立.
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