抛物线及其标准方程27995

抛物线及其标准方程 2 当时轨迹为过F点且与L垂直的直线 一 定义 注意 1 一动三定 一动即为动点M 一定指定点F 即抛物线的焦点 一条定直线L 及抛物线的准线 一个定值 平面内与一个定点F和一条定直线L FL 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线L叫做抛物线的准线 在二次函数中研究的抛物线 有开口向上或向下两种情形 求曲线方程的基本步骤是怎样的 想一想 抛物线标准方程的推导 1 建 建立直角坐标系 3 列 根据条件列出等式 4 代 代入坐标与数据 5 化 化简方程 2 设 设点 x y 回顾求曲线方程一般步骤 设焦点到准线的距离为常数P P 0 如何建立坐标系 求出抛物线的标准方程呢 抛物线标准方程的推导 试一试 K K 设 KF p 设动点M的坐标为 x y 由抛物线的定义可知 解 如图 取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴 线段KF的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导 p 0 抛物线标准方程的推导 如图 若以准线所在直线为y轴 则焦点F P 0 准线L x 0 由抛物线的定义 可导出抛物线方程为y2 2p x p 0 比较之下 显然方程y2 2px p 0 更为简单 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 注意p意义是 1 表示焦点到准线的距离 2 P为正实数 3 p值等于一项系数绝对值的一半 抛物线的标准方程 但是 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 方程y2 2px p 0 表示的抛物线 其焦点位于X轴的正半轴上 其准线交于X轴的负半轴 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程还有哪些形式 想一想 抛物线的标准方程 其它形式的抛物线的焦点与准线又如何呢 怎样把抛物线的位置特征 标准位置 和方程特征 标准方程 统一起来 抛物线的标准方程 想一想 抛物线方程 左右型 标准方程为y2 2px p 0 开口向右 y2 2px x 0 开口向左 y2 2px x 0 标准方程为x2 2py p 0 开口向上 x2 2py y 0 开口向下 x2 2py y 0 抛物线的标准方程 上下型 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图形 x轴的正半轴 x轴的负半轴 y轴的正半轴 y轴的负半轴 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py F 不同位置的抛物线 2 一次项的变量如为X 或Y 则焦点就在X轴 或Y轴 上 抛物线的特征 3 一次项的系数的正负决定了开口方向 即 焦点与一次项变量相同 正负决定开口方向 1 左边是二次且系数是1 右边是一次 无常数项 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 解 方程可化为 故焦点坐标为 准线方程为 例题讲解 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 练习 注意 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 解 y2 12x 解 y2 x 解 y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 练习 反思研究 先定位 后定量 例2 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 1 设抛物线的标准方程为x2 2py 把A 3 2 代入 得p 2 设抛物线的标准方程为y2 2px 把A 3 2 代入 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 例题讲解 已知抛物线经过点P 4 2 求抛物线的标准方程 提示 注意到P为第四象限的点 所以可以设抛物线的标准方程为y2 2px或x2 2py 练习3 例3 已知抛物线方程为x ay2 a 0 讨论抛物线的开口方向 焦点坐标和准线