（通用版）2020版高考数学复习专题三三角函数3.2解三角形基础题练习文.docx

3.2解三角形基础题高考命题规律1.与解三角形的解答题相互补充,按年份交替出现.2.小题以填空题或选择题形式出现,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表:2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形4159111615167111115命题角度2与三角形有关的最值和范围、实际应用题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2019全国11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3答案A解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cosA=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选A.2.(2018全国7)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A解析cosC=2cos2C2-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25+21535=32.AB=42.3.(2018全国11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C解析由S=a2+b2-c24=12absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,sinC=cosC,即C=4.4.(2017全国11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=()A.12B.6C.4D.3答案B解析由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sinC=12,所以C=6,故选B.5.(2016全国4)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.3答案D解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b23,即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.6.(2019全国15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.答案34解析由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0.A(0,),B(0,),sinA0,sinB+cosB=0,即tanB=-1,B=34.7.(2018全国16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案233解析由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cosA0,0A2,因为asinA=2R,所以sinA=12,A=30,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.8.(2017全国15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.答案75解析由正弦定理得bsinB=csinC,即sinB=bsinCc=6323=22.因为bc,所以BC,所以B=45,故A=180-B-C=75.9.(2017全国16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案3解析由题意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=12.又因为B(0,),所以B=3.典题演练提能刷高分1.(2019河北保定高三二模)ABC中,内角A、B、C的对边a、b、c依次成等差数列,且B=3,则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形答案A解析因为a、b、c依次成等差数列,所以b=a+c2,由余弦定理可得:cosB=a2+c2-b22ac=12,将b=a+c2代入上式整理得:(a-c)2=0,所以a=c,又B=3,可得ABC为等边三角形,故选A.2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C+c=2a,且b=13,c=3,则a=()A.1B.6C.22D.4答案D解析已知2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,sinC=2cosBsinC,sinC0,cosB=12.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,又知b=13,c=3,解得a=4.故选D.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60,且ABC的面积为53,则ABC的周长为()A.8+21B.9+21C.10+21D.14答案B解析由题意,根据三角形面积公式,得12absinC=53,即12a532=53,解得a=4.根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=16+25-24512,c=21,所以ABC的周长为9+21.故选B.4.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos2A+B2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为()A.13B.7C.37D.6答案A解析2cos2A+B2=2cos2-C2=2cos22-C2=2sin2C2=1-cosC,1-cosC-cos2C=1.cos2C=-cosC.2cos2C+cosC-1=0,解得cosC=12.因为a-b=1,4b=3a,故得到b=3,a=4.根据余弦定理得到12=a2+b2-c22ab,解得c=13.5.(2019安徽合肥高三质检)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B=2bsin C,b=3,cos B=14,则ABC的面积为()A.915B.91516C.31516D.916答案B解析由asinB=2bsinC,结合正弦定理可得ab=2bc,则a=2c.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得9=(2c)2+c2-22cc14,解得c=32,则a=3.又sinB=1-cos2B=154,所以SABC=12acsinB=12332154=91516.故选B.6.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+3=32a,CACB=20,c=7,则ABC的内切圆的半径为()A.2B.1C.3D.3答案D解析由csinB+3=32a及正弦定理得2sinC12sinB+32cosB=3sinA,整理得sinBsinC+3cosBsinC=3sinA.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinBsinC+3cosBsinC=3sinBcosC+3cosBsinC,sinBsinC=3sinBcosC,又sinB0,sinC=3cosC,故tanC=3,C=3.CACB=abcosC=20,ab=40.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即49=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-120,解得a+b=13.a+b+c=20.设ABC的内切圆半径为r,SABC=12absinC=12(a+b+c)r,r=3.选D.7.(2019安徽示范高中皖北协作区高三模拟)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3,a=6,1b4,则sin A的取值范围为.答案39331,1解析C=3,a=6,1b4,由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC=36+b2-6b=(b-3)2+27,c2=(b-3)2+2727,31.c33,31.由正弦定理可得,asinA=csinC,即sinA=asinCc=632c=33c39331,1.故答案为39331,1.8.(2019山东栖霞高三模拟)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),则B=.答案3解析由三角形面积公式可得:S=12acsinB=34(a2+c2-b2),14sinB=34a2+c2-b22ac=34cosB,tanB=3.B(0,),B=3.9.(2019河北衡水二中高三三模)在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=3,则a+b的取值范围是.答案(1+3,4+23)解析由asinA=bsinB=csinC,可得a=csinAsinC=3sinC,b=csinBsinC=2sin(23-C)sinC,所以a+b=3sinC+3cosC+sinCsinC=1+3(1+cosC)sinC=1+23cos2C22sinC2cosC2=1+3tanC2.由ABC是锐角三角形,可得0C2,023-C2,则6C2,所以12C24,2-3tanC21.所以1+3a+b1+32-3=4+23.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案4 062.5解析由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在ABC中,由余弦定理有cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=132+142-15221314=513,B为锐角,sinB=1-cos2B=1213.设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有bsinB=2R,R=b2sinB=750021213=4062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和范围、实际应用题高考真题体验对方向(2014全国16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.答案150解析在RtABC中,由于CAB=45,BC=100m,所以AC=1002m.在MAC中,AMC=180-75-60=45,由正弦定理可得ACsinAMC=MAsinMCA,于是MA=10023222=1003(m).在RtMNA中,MAN=60,于是MN=MAsinMAN=100332=150(m),即山高MN=150(m).典题演练提能刷高分1.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站北偏东30,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A,B间的距离为()A.500米B.600米C.700米D.800米答案C解析由题意,ABC中,AC=300米,BC=500米,ACB=120,利用余弦定理可得:AB2=3002+5002-2300500cos120,AB=700(米).2.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,b=2,则ABC面积的最大值是()A.1B.3C.2D.4答案B解析2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,cosB=12.B=60,由余弦定理,得ac=a2+c2-4,故ac=a2+c2-42ac-4,有ac4,故SABC=12acsinB3.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=3,a=22,则ABC面积的最大值为()A.2B.23C.6D.3答案B解析在ABC中,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,即8=b2+c2-2bccos3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc8,当且仅当b=c时,等号成立,所以ABC面积的最大值为S=12bcsinA=128sin3=23,故选B.4.如图所示,从气球A测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(3-1) mB.180(2-1) mC.120(3-1) mD.30(3+1) m答案C解析如图所示,在ABC中,C=30,ABC=180-75-30=105.在RtADC中,AC=ADsin30=120.由正弦定理可得BCsin45=ACsin105.故BC=602sin(60+45)=6023222+1222=120(3-1)m.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为3,且cos(A+B)cosB=c2a+b,则c的最小值是()A.2B.22C.23D.4答案C解析cos(A+B)cosB=c2a+b,-cosCcosB=c2a+b,根据正弦定理可得-cosCcosB=sinC2sinA+sinB,即-2sinAcosC=sinA.sinA0,cosC=-12.C(0,),C=23.ABC的面积为3,SABC=12absinC=3,即ab=4.cosC=a2+b2-c22ab=-12,c2=a2+b2+ab2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b时取等号.cmin=23,故选C.6.已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,BCD=90,则四边形ABCD面积的最大值为()A.6B.2+23C.2+22D.4答案C解析如图,设DAB=,BC=CD=x,则BD=2x.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos,即(2x)2=4+4-8cos=8-8cos,x2=4-4cos.四边形ABCD的面积为S=1222sin+12x2=2sin+(2-2cos)=22sin-4+2.0,-4-434,当-4=2,即=34时,S有最大值,且Smax=22+2.选C.7.在ABC中,AB=2,C=6,则AC+3BC的最大值为()A.7B.27C.37D.47答案D解析由正弦定理可得,ABsinC=ACsinB=BCsinA=2sin6=4,A+B=56.AC+3BC=4sinB+43sinA=4sinB+43si