第八讲_三元一次方程组解法(教师用)初一数学.doc

第八讲 三元一次方程组解法举例教学目标：（1）了解三元一次方程组的概念. （2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组 （3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路 （4）通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路.教学重、难点：（1）会解简单的三元一次方程组 (2)通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想 (3)针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法知识梳理： 方程组含有3个相同的未知数，每个方程式中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组整体上要含有三个未知数.解题思路：思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.步骤:利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 4:解三元一次方程组同解二元一次方程组类似,消元时,选择系数较简单的未知数较好.灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组.典型例题：一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组分析：方程是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程里缺z,因此利用、消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2：消z.类型二：缺某元，消某元型.例2：解方程组分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由+典型例题举例：解方程组 解：由+得类型三：轮换方程组，求和作差型.例3：解方程组分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由得y=2x，z=7x ，并代入分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由设x=k,y=2k,z=7k，并代入典型例题举例：解方程组分析1：观察此方程组的特点是方程、中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由得x = y； 由得z=.从而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将、转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现、中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由5得y:x=15:10 ，由3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。解法2：由、得 x:y:z=10:15:12.设x=10k,y=15k,z=12k，并代入类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型例4：解方程组分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。解：（明确消z，并在方程组中体现出来画线）+ 得5x+2y=16， (体现第一次使用在后做记号)+ 得3x+4y=18， (体现第二次使用在后做不同记号)由、得解得把x=2 ，y=3代人，得 z=1. 是原方程组的解.典型例题举例：解方程组分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：2 得 6x4y+10z=22， 2x +4y+ 3z=9， + 得 8x +13z=31 . 3 得 9x6y+15z=33 ， 5x6y+7z =13， 得 4x +8z =20 . x +2z=5 . 由、得解得把x=-1 ，z=3代人 ，得 . 是原方程组的解.三、三元一次方程组的相关变式题型例五、解方程组解：原方程组可化为由（1）+（3），得（4）由（1）+（2），得（5）由（4）和（5）组成方程组，得解这个方程组，得把代入（1），得是原方程组的解例六、已知，求的值。解：由题意，得解这个方程组，得当，时， 所求代数式的值为例七、 已知方程组的解使代数式的值等于，求的值。解：（2）（1），得（4）（3）+（4），得把代入（2）和（3），得，把代入，得 所求的值为例八、甲、乙两同学解方程组，已知甲的正确解答是，乙由于看错了，求出的解是，则求的值。解：把代入原方程组，得由满足，得和（1）组成方程组，得 解得 所求的值分别为在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。四、三元一次方程组的实际应用例一:甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少?解：设从甲地到乙地上坡为Xkm，平路为Ykm，下坡为Zkm，则X+Y+Z=3.3 X/3 + Y/4 + Z/5 = 51/60 Z/3 + Y/4 + X/5 = 53.4/60 由式得到20X+15Y+12Z=51 由式得到20Z+15Y+12X=53.4 由式-式得到Z-X=0.3,那么Z=X+0.3 将式带入式，得到X+Y+X+0.3=3.3,那么Y=3-2X 将式带入式，得到20X+15(3-2X)+12(X+0.3)=51,那么，X=1.2,所以Y=0.6,Z=1.5所以，从甲地到乙地，上坡1.2千米，平路0.6千米，下坡1.5千米。练习 1.甲、乙、丙三数的和是41，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为3:2。求这三个数。聚焦中考：1.（2011重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了4380朵分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆由题意，有15x+10y+10z=290025x+25z=3750，由得，3x+2y+2z=580，由得，x+z=150，把代入，得x+2y=280，2y=280-x，由得z=150-x4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6730=4380故黄花一共用了4380朵点评：本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用解题的关键是发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，然后代入所求黄花的代数式2. 某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为150元分析：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x个、y个、z个根据该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，可以列方程组，根据题意，