2.5.1 平面几何中的向量方法(使用)ppt课件.ppt

2 5平面向量应用举例2 5 1平面几何中的向量方法 复习 3 已知a 5 10 b 3 4 c 2 3 且c la kb 则l k 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 平面几何图形的许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 因此 可用向量方法解决平面几何中的一些问题 下面我们通过几个具体实例 说明向量方法在平面几何中的运用 1 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面 1 证明线段相等 平行 常运用向量加法的三角形法则 平行四边形法则 有时也用到向量减法的意义 2 证明线段平行 三角形相似 判断两直线 或线段 是否平行 常运用向量平行 共线 的条件 a b a b 或x1y2 x2y1 0 3 证明线段的垂直问题 如证明四边形是矩形 正方形 判断两直线 线段 是否垂直等 常运用向量垂直的条件 4 求与夹角相关的问题 往往利用向量的夹角公式 5 向量的坐标法 对于有些平面几何问题 如长方形 正方形 直角三角形等 建立直角坐标系 把向量用坐标表示 通过代数运算解决几何问题 a b a b 0 或x1x2 y1y2 0 思考1如图 在平行四边形ABCD中 已知AB 2 AD 1 BD 2 那么对角线AC的长是否确定 思考2 在平行四边形ABCD中 设向量则向量等于什么 向量等于什么 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图2 5 1 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗 A 图2 5 1 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 3 把运算结果 翻译 成几何元素 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 总结 变式2 例2 如图2 5 2 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于R T两点 你能发现AR RT TC之间的关系吗 A B D E F R T C 猜想 AR RT TC 图2 5 2 由于与共线 故设因为 又因为共线 所以设 因为所以 A B D E F R T C 图2 5 2 利用待定系数法 结合向量共线定理和平面向量基本定理 将问题转化为求m n的值 是处理线段长度关系的一种常用手段 总结 变式3 例3 若正方形OABC的边长为1 点D E分别为AB BC的中点 试求 A B C O 解 以O为坐标原点 以OA OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系 分析 建立坐标系 利用向量的坐标运算求夹角 探究二 角度问题 E D A B C O E D 建立适当的坐标系 利用向量运算的坐标形式 可使解题思路明确 过程简洁 总结 如右图所示 在正方形ABCD中 P为对角线AC上任一点 PE AB PF BC 垂足分别为E F 连接DP EF 求证 DP EF A 1 用向量方法证明几何问题时 首先选