凸函数的判别和应用

毕 业 论 文（设计） 论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2004104509 姓 名： 林 庆 指导教师： 娄祖安 时 间： 2008年5月25日 河 池 学 院毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告系别: 数学系 专业:数学与应用数学论文题目凸函数的判别和应用学生姓名林庆学 号2004104509选题意义凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。研究综述(前人的研究现状及进展情况)凸函数理论的奠基工作可以追溯到20世纪初前后 Hlder,Jensen和 Minkowski的工作，但引起人们广泛重视的工作则是20世纪4050年代 Von Neumann,Dantxig,Kuhn和Tucker等人关于对策论和数学规化的研究。此后，人们对凸函数进行了大量深入细致的研究，60年代中期产生了凸分析，凸函数的概念被按多种途径进行推广，提出了许多广义凸性的概念。其中影响较大，应用较广的有拟凸（严格拟凸，强拟凸）函数，（严格）伪凸函数等。此后，鉴于凸性和广义凸性在最优化中的应用，出现了一致不变凸函数，严格（半严格）不变凸函数，不变预凸函数等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在兴起并成为最优化理论的一个活跃方向。研究的主要内容 以教学方向为主，从凸函数的定义出发，研究凸函数的判别方法。然后应用凸函数的性质去证明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函数在初等数学和高等数学中的一些应用。拟采用的研究方法、步骤研究方法：1文献资料查阅法；2讨论交流法；3网络查询法研究步骤：1拟定论文题目；2收集文献资料；3拟定论文提纲；4填写毕业论文开题报告；5撰写论文初稿；6审批论文初稿;7定稿打印研究工作进度安排（1）1月份，听毕业论文撰写指导讲座；（2）1月上旬-2月下旬，选定毕业论文题目；（3）2月下旬-3月上旬，收集整理相关资料及论文提纲；（4）3月上旬-3月中旬，填写毕业论文开题报告；（5）3月中旬-4月上旬，撰写论文初稿；（6）4月上旬-4月下旬，审批论文初稿；（7）4月下旬-6月上旬，修改、定稿打印、论文答辩参考文献目录华东师范大学数学系数学分析（上册）第三版M北京：高等教育出版社，2001裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京：高等教育出版社，1993李远新，刘长春凸函数在证明不等式中的应用J辽宁师专学报，1999，(2) 张雄，李得虎数学方法论与解题研究M北京：高等教育出版社，2003 贾凤山走向高考数学M北京：人民日报出版社，2006 吉米多维奇数学分析习题集题解（二）M济南：山东科学技术出版社，1980 朱志嘉判定凸函数的几个充分条件及其应用J中学教研（数学），1985，（02）指导教师意见选题符合要求、进度安排合理、同意开题.签字： 年 月 日教研室主任意见 准备充分，同意开题. 签字： 年 月 日毕业论文（设计）成绩评定表一学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学指导教师意见：林庆同学所写论文凸函数的判别和应用，选题有意义，文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮助和实用价值.该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出一般的情形.该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文. 初评成绩： 签字： 年 月 日毕业论文（设计）答辩记录学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用其中三种凸函数的判别方法中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常用不等式，如Jensen不等式,H lder不等式和Cauchy不等式；第二是通过七个例子说明凸函数在初等数学和高等数学中的一些应用论文的亮点：在例中，利用凸函数的判别方法中的定理通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型【答辩】：1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？答：首先要求判别的函数是连续的函数，另外就是要给出函数定义域上具体的某个区间因为同一个函数在不同的区间上可以具不同的凸性，如在上是凹函数在上是凸函数2、问：就论文第一页的定义说明凸函数的几何意义答：凸函数的定义为，（0，1），在定义域上取两点，那么当时，表示点，当时，表示点，当取遍中的数时，表示点到之间的线段对应的函数值为区间上曲线上的弧同样，表示点到点之间的连线段（弦），那么就表示曲线上两点和的连线段都在的上方3、问：是不是每个函数都具有凸性？答：不一定，要对具体的函数进行分析由定义知，只要满足对，都有这样的函数都具有凸性如在上是凹函数在上是凸函数但在上没有凸性可言签字： 年 月 日毕业论文（设计）成绩评定表二学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学专业答辩小组意见： 林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文结果正确，有自己的东西，有一定的价值，可续性较强，达到学士学位论文的要求.成绩： 签字： 年 月 日系答辩委员会意见：总评成绩： 签字：年 月 日凸函数的判别和应用学生：林 庆河池学院数学系， 数学与应用数学专业 2004级4班， 广西宜州 546300指导教师：娄祖安 摘 要 有的甚至不在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，能解决由于凸函数的定义本身就是一个不等式，再就是凸函数的性质方便实用，对不等式的证明起到非常重要的作用鉴于此，本文主要给出了凸函数的三个定义及其三种判别方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式，如Jensen不等式，Hlder不等式和Cauchy不等式，用以解决一些不等式的证明，最后给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用关键词 凸函数；不等式；判别；证明；应用凸函数是一类非常特殊的函数，它在最优化理论，判别函数极值，研究图象和证明不等式等方面都有广泛的应用这里给出凸函数的三个定义及三种判别方法，并应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式然后从教学的角度出发，给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用1 凸函数的定义由于凸函数的重要性，许多学者对此进行过深入的研究，并由此得出凸函数的多种不同定义这里给出凸函数的三个常见定义定义1 设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任意实数（0，1）总有 ， （1）则称为上的凸函数反之，如果总有 （2） 则称为上的凹函数如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数定义2 ()在区间上有定义若对 ， ，有 ()()+() 则称为上的凸函数定义3 在区间上有定义，当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下，则称为上的凸函数由于凸函数与凹函数是对偶的概念，前一个有什么结论，后一个亦有相应的结论所以只需对函数判别凹凸，即可运用凸函数的有关性质在判别函数凸性和解题过程中,可以根据具体的函数和题目选择合适的定义2 凸函数的判别方法在解题的过程中，我们常常会碰到一些不等式的证明，而这些不等式的证明往往又与凸函数有关要想运用凸函数的有关性质，首先就要判别该函数的凸性所以掌握凸函数的一些基本判别方法，有利于提高解题速度下面先从凸函数的定义出发，探讨判别凸函数的几种基本方法21 利用定义判别函数的凸性有些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性例如要判别的凸性由定义1，对有 ，即 所以为上的凸函数22 利用定理判别函数的凸性 下面给出判别函数凸性的三个定理定理1 为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点，总有 这是斜率表达式该定理的几何意义如图1所示：如果用表示曲线上的弦，那么它的几何意义即：例如判别函数的凸性，在其定义域上，可取，则，从几何意义（如图2）上明显有所以为上的凸函数定理2 若在上满足： (， ， 且)，则称为上的凸函数注 此定理即是定理1中前一个不等式 两边同乘，并移项得 ，即 例如判别函数的凸性，则可在其定义域上任取，且，由该定理得 即 ，所以为上的凸函数定理3 设为区间上的二阶可导函数，则 为上的凸函数的充要条件是 ， 例如 判别的凸性 分析 由该定理求的二阶导数得 ，由于分母已经大于，所以该函数的凸性由分子决定当分子，即 时，有则为上的凸函数；从而在区间上为凹函数23 利用几何意义判别函数的凸性在凸函数的定义1中，取 ，这表示轴上由点到点的线段，而，这表示由点到点，的线段（如图3所示）于是定义1表示：凸函数图形上任意一段弧的所有点在该弧所对应的弦下面，至多在该弦上而凹函数的几何意义为，凹函数图形上任意一段弧的所有点都在该弧所对应的弦上面，至多在该弦上（如图4所示）这样利用函数的几何意义，做出该函数某定义区间内的图象，假如向下凸，便是凸函数，如果向上凸，便是凹函数如此对一些基本初等函数的凸性便可快速判别了如：（1），为（0，）上的凹函数（2），为（0，）上的凹函数（3）（且），为上的凸函数 （4），当时，为上的凸函数；当时，为上的凸函数（5），当，为上的凹函数；当，为上的凸函数（6） (，)，为上的凹函数以上判别凸函数的三种方法中，方法2中的定理3由于形式简单，应用方便，成为判别函数凸性的首选方法但在解题过程中，如对有些既难以求导又难以画出图象的函数，运用其它方法倒是不错的选择所以灵活选用适当的方法，便能提高解题的速度 凸函数的应用由于凸函数有许多重要的性质，所以它的应用极为广泛其中在不等式的证明中，如能巧妙地应用凸函数的定义和性质，便能收到意想不到的效果这里对凸函数的应用主要是用定义去证明詹森(Jensen)不等式，然后用詹森不等式去证明赫尔德(Hlder)不等式，进而得出柯西(Cauchy)不等式最后应用这些性质去证明一些常见的不等式，并通过例子说明凸函数在高等数学和初等数学里的一些应用31 用凸函数证明Jensen不等式Jensen不等式的形式：若为上的凸函数，则对任意，有证明 应用数学归纳法，当时，由定义1知命题成立；设时，命题成立，即对及，都有 现设及 ， ，令， ， 则，由数学归纳法假设可推得即当时，命题也成立这就证明了对任何正整数，Jensen不等式成立我们看到在以上的证明过程中，第一个不等号的上一步将整体看成凸函数定义1中的，看成，利用凸函数定义1得到第一个不等号，这是利用凸函数证明Jensen不等式最重要的一步第二个不等号是根据归纳中的假设得到的，然后代换，整理便完成了证明这里最巧妙的是令，这是完成证明的关键所在32用凸函数证明Hlder不等式Hlder不等式的形式:设，有，其中，分析 先将Hlder不等式两边次方得，从这个不等式联想到要找的凸函数为，而这个不等式的形式与Jensen不等式的形式相似难点是不容易看出该不等式的是什么而从问题的已知条件知，然后从Jensen不等式的证明过程中的巧妙设法得到启发，将上面的不等式再变形为，这样到此不等式的左边已经出现了，为了消去中的次方，可以令，从而不等式的左边就是最后经过整理便可完成Hlder不等式的证明证明 令，因为，由凸函数判别定理3知在上是凸函数由Jensen不等式，得，今设为非负实数且，在上述表达式中以代替，得到 由已知知，令，不妨设，代入上式便得Hlder不等式： 33 用凸函数证明Cauchy不等式Cauchy不等式的形式：若，则，其中等号当且仅当与成比例时成立分析 Cauchy不等式最简单的证法是构造一个非负的二次函数，由其判别式不大于零获证即，因为判别式 ，即而Cauchy不等式的形式和Hlder 不等式的形式相似，由Hlder不等式的证明过程得到启发，可设，根据凸函数的性质去证明证明 设 ，因为，根据定理3知 是上的凸函数，由Jensen不等式得 令， 且，代入上式得，化简得 在高等代数和初等数学中，都会遇到许多不等式证明的问题，下面通过一些例子说明凸函数的定义和以上三个重要不等式在证明一些特殊不等式中的应用在证明某些不等式的过程中，重要的是选取合适的凸函数，凸函数选好了，证明也就比较容易地得到解决了例1 证明（1）对任意实数有； （2）（）分析 观察（1）中的不等式的形式，很容易联想到指数函数，而（2）中的不等式，也容易联想到幂函数，再由凸函数的判别方法2中的定理3，易知函数和都是某定义上的凸函数根据相关定义及定理，问题得到解决证明 （1）令，因为，所以由定理3知为上的凸函数取，由凸函数的定义得，即 （2）令，由知为上的凸函数取，对于有，即 例2 证明 设，有 分析 观察不等式，不容易直接找到合适的凸函数，如取或者不等式两边次方后有,这样形如的函数都不合适因此，要对不等式进行一定的变形不妨对不等式两边取对数，则有，再运用Jensen不等式知道这是可行的由于是上的凹函数，所以取，则就是上的凸函数，问题便迎刃而解证明 令，由于，所以为上的凸函数由Jensen不等式知， ，即 所以 同理有：，即 所以 对于最后一个不等式，由Cauchy不等式，取，由得 ，再两边乘上，然后开平方便得综上有这是关于调和平均，几何平均，算术平均和平方平均的不等式下面看一个特例证明: 分析 应用 有，即 =取即得证例3 在中，求证： ；证明 令，则，所以是上的凸函数，取，由Jensen不等式得，即 所以 令u在上是凸函数，所以是上的凸函数，取，由Jensen不等式得：，即 例4 设都是实数，且满足条件：，试确定的取值范围；已知求的取值范围分析 这两个问题都是求取值范围的问题，观察第一个问题，看到有，和可想到设函数为要求的取值范围，应该用凸函数的性质，可取，平方后会出现再应用已知条件，可列出有关的方程，进而可求e的取值范围用同样的方法思考问题（2）就容易多了解 设，则是R上的凸函数，取（），由Jensen不等式得 ， 又 ，从而 ， 解此不等式得的取值范围为： 由例2平方平均不等式知：，从而 令，则，解此不等式得：，所以的取值范围是：在中学数学证明不等式中，基本不等式应用较多，这是例2的重要不等式取时的情形例5 比较与+的大小分析 由于和都开3次方，考虑把2也写成开3次方的形式，即 =，而，开次方有所以想到用函数的凸性来求解此题证明 因为=，令，由凸函数判别方法3之（6）知为上的凹函数，所以 取，即得 注 此问题可归纳为：均为正数，且，有 证明过程如下：设，则由凸函数判别方法3之（6）知为上的凹函数，则由凸函数的定义直接得例6 （1）比较与的大小； （2）比较与的大小分析 对这类问题，可由凸函数的判别方法2的定理1来解设凸函数的定义域上四点，满足：且，应用，则有因，所以（简括为“两端大于中间”）；假如是凹函数，则只需改变不等号的方向，有（简括为“两端小于中间”）有了这两个结论，对这两个问题就比较容易解决了解 设 为凹函数，则马上有： 设 为凸函数，则也有：注 对于正数满足且，则有以下不等式成立： ； ；例7 已知为ABC内的一点，点到ABC的三边距离分别为，求证：（第届试题）分析 要证明的不等式 是面积与边的关系，可考虑把面积变成边的关系，由题意可把大的三角形变成三个小的三角形，而，分别是三个小三角形的高，所以，则所证不等式变为：，这形式和Cauchy不等式相似，可考虑用Cauchy不等式去证明证明 因为，则所证不等式变为由Cauchy不等式：，取；，则即知命题不等式成立在这个例题的证明过程中，虽然没有直接用到凸函数的知识，但在前面我们已经用凸函数的知识去证明了Cauchy不等式，所以在这里给出Cauchy不等式的一个应用，间接地说明了凸函数的重要性4 结束语 凸函数在高等数学和初等数学方面的应用的例子还有很多其实，初等数学和高等数学的知识及一些常用方法是相互联系，相辅相成的高等数学在运算和推理过程中常常会得到一些形式十分初等且浅显易懂的结论有些问题仅仅依靠初等数学的方法解决往往是十分困难的，甚至根本不可能，如果借用高等数学的方法来解决显得更加简单明了凸函数在这方面起到一个很好的示范作用参考文献：华东师范大学数学系数学分析（上册）第三版M北京：高等教育出版社，2001裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京：高等教育出版社，1993李远新，刘长春凸函数在证明不等式中的应用J辽宁师专学报，1999，(2) 张雄，李得虎数学方法论与解题研究M北京：高等教育出版社，2003 贾凤山走向高考数学M北京：人民日报出版社，2006 吉米多维奇数学分析习题集题解（二）M济南：山东科学技术出版社，1980 朱志嘉判定凸函数的几个充分条件及其应用J中学教研（数学），1985，（02）Distinction and Application of the Convex FunctionLIN Qing (Department of Mathematics，Hechi University，Yizhou G