一类热传导方程的多点源反演研究硕士毕业论文.doc

研 究 生 毕 业 论 文论文题目一类热传导方程的多点源反演研究 摘 要本文主要研究热传导方程的多点源反演问题唯一性、稳定性和反演算法, 其中热传导方程的源项与Dirac分布的线性组合有关, 即源项为。 首先, 在第一类Dirichlet边界条件下, 研究了由表面热流密度来反演热传导方程多点源的唯一性和稳定性, 即反演点源个数、热源强度组合系数和点源位置的唯一性和稳定性。利用热变换方法将热传导方程反问题转化为等价的双曲型方程反问题，然后通过分析等价的双曲型方程反问题得到原反问题的唯一性和条件稳定性结论。其次，根据本文得到的由热流密度反演多点源的唯一性和稳定性结果，以及已有的由内部某个点的温度值和由某个时刻的温度场反演多点源的唯一性和稳定性结果，采用遗传算法对上述三个反问题进行数值模拟。数值模拟结果表明，遗传算法对由某个时刻的温度场多点源的反问题是有效的，而对另外两个反问题则不够理想。 进一步，分析了产生这种现象的原因。再次，利用非数值优化中影响显著的模拟退火算法对本文涉及的三个反问题进行了数值模拟。与利用遗传算法模拟的结果相同，数值模拟结果显示模拟退火算法对由某个时刻的温度场多点源的反问题是有效的，而对另外两个反问题则不够理想。 最后，针对本文的研究内容和数值模拟结果，结合热传导反问题的研究现状，提出一些待解决的问题和进一步研究的思路。关键词：热传导方程，源项反问题，遗传算法，模拟退火算法T THESIS：Reconstruction of Point Sources for a Class of Heat Conduction Equation SPECIALIZATION: Computational MathematicsPOSTGRADUATE: WangYanSUPERVISOR: XuDingHua WangZeWenABSTRACTThis thesis mainly studies the uniqueness, conditional stability and inverse algorithms of the inverse point sources problems for a class of heat conduction equation, where the source term is related with the linear combination of the Dirac-distribution, that is, the source term is .First, the uniqueness and stability of the inverse point sources problem, that is to reconstruct the numbers of point sources, the combination coefficients and the locations, is studied for a heat conduction equation with the Dirichlet boundary condition. Using the method of the heat transformation, the inverse problem is transformed into an equivalent problem which is an inverse hyperbolic equation problem. Then, the uniqueness and conditional stability are obtained by analyzing the inverse hyperbolic equation problem.Secondly, based on the results of the uniqueness and conditional stability for the above three inverse problem, the simulations are given by the method of genetic algorithm. The results of the numerical simulation show that genetic algorithm can reconstruct effectively the point sources from the measurements of, but it is not ideal for the other two inverse problems. Furthermore, the reason which causes the above results is given.Thirdly, simulated annealing algorithm, which is a famous non-numerical optimization method, is used to recover the above three inverse point sources problem of heat conduction equation. Finally, in view of the content of the paper and the results of the numerical simulation, which combine with the status quo of the inversion problem of the heat conduction equation, some conclusions are proposed as to as some problems which need to be researched in the future work.Keywords: Heat conduction equation, Inverse source problem, Genetic Algorithm, Simulated Annealing Algorithm 目录摘要IABSTRACTII第一章 引言及问题的提出1 1.1 反问题的研究意义1 1.2 抛物型方程源项反演的研究动态21.3 本文所要研究的主要内容21.4 本文的整体框架5第二章 反问题(1.3.2)的理论结果6 2.1 反问题(1.3.2)的等价转化6 2.2 反问题的辅助定理8 2.3 反问题的唯一性11 2.4 反问题的稳定性12第三章 基于遗传算法的多点源反演15 3.1 遗传算法15 3.2 遗传算法的原理15 3.3 遗传算法的步骤16 3.4 遗传算法的算法设计16 3.5 基于遗传算法的多点源反演20 3.6 结论28第四章 基于模拟退火算法的多点源反演29 4.1 模拟退火算法的基本理论29 4.1.1 模拟退火算法原理29 4.1.2 算法具体步骤29 4.1.3 目标函数与控制条件30 4.2 基于模拟退火算法的多点源反演30 4.3 结论34第五章 结论与展望35 致谢36参考文献37附录40 第一章 引言及问题的提出1.1 反问题的研究意义数学物理反问题是一门前沿研究学科，最近几十年该学科发展非常迅速。数学物理反问题在众多实际领域都有非常广泛的应用，来源于地球探测、油藏模拟、无损探伤、CT技术、军事侦察、环境治理、遥感遥测、信号处理、图像处理、控制论、经济学等的许多问题都可从数学上归结为数学物理方程反问题。同时，反问题研究的发展直接受其它学科和众多工程技术领域的应用所产生的迫切需求所驱动。 反问题在数学上的难点往往是不适定性和非线性,不适定性是指至少不满足以下三个条件中的一个：（1）解是存在的；（2）解是唯一的；（3）解是连续依赖于数据的。尤其是上面的第(3)条件解不连续依赖于输入的测量数据, 即很小的测量误差或计算误差将导致解的急剧变化。所以通常的求解方法往往不适用, 常用的方法有Tikhonov正则化法、Landweber迭代法等，但对于具体的反问题需要发展不同求解方法，例如热传导逆时反问题的拟逆法以及本文将用反演点源的遗传算法等非经典优化方法。 因此，反问题的研究将丰富计算数学、应用数学研究内容和研究成果，为实际工程应用领域提供数学理论支持和新方法。下面我们以环境污染和地球物理勘探为例，说明反问题研究的实际意义。当前，我国亟待解决的许多大规模科学计算问题中，很大一部分是地球探测中的不适定问题。例如，石油勘探开发是高风险产业，需要精细了解地下构造、确定油藏规模、定量掌握地下油气流动过程，以制定合理的开发方案。 又如，我国生态环境先天脆弱，水土流失、污染严重，经常蒙受多种自然灾害。加强大气、海洋和环境的数值模拟和预测，将可找到更多有效的措施减灾防灾，这些都是属于地球科学范畴的。 然而，这些问题处理都将归结为数学物理方程的各种各样定解问题，特别是其中的反问题尤其难处理。例如，油气勘探中的很多问题是波动方程的反演问题，而反演问题往往是不适定问题。通过建立的数学模型在计算机上再现含油气盆地的沉积发育史，对油气资源评价和勘探开发有重要的指导意义。油藏模拟就是通过在高性能计算机上数值求解大规模非线性方程组的初边值问题来模拟石油与天然气中复杂流体的流动过程，为了解与控制油气田的开采开发动态、降低成本、选择与决定合理的开发方案提供科学的依据。发展精细油藏数值模拟技术，实现百万结点以上规模的整体油田的精细油藏模拟已成为今后一段时期的国家目标。再如，在水污染控制工程中，污染物的运移往往归结为各种抛物型方程或耦合方程组的定解问题，对其中参数的辨识或源项反演都是反问题研究。有效地解决污染物浓度控制方程的反问题，将有利于环境污染的治理和环境保护部门的正确决策。总之，反问题的研究将丰富现有的计算数学、应用数学及实际应用领域的研究成果，特别是对一些关键实际问题的研究（例如石油勘探、医学成像、遥感遥测等）将直接提升国家的科学技术水平，推动数学及相关学科领域的发展，推动科学、技术、经济、社会的全面进步与可持续发展。 1.2 抛物型方程源项反演的研究动态对于抛物型方程源项反演问题，已经有了很多的结果，对于一般的源项，通过边界的测量数据来反演它是非常困难的。因此，许多学者21-33对于源项的一些特殊类型进行了研究，即在源项的一些先验假设下得到反演识别是可行的。 例如，Cannon在文23-24中利用谱理论研究了热传导方程中的一种与时间无关的源项。Yamamoto等在文25-27中研究了反演源项的稳定性问题，其中，为已知且。Hettlich和Rundell在文28中考虑了二维热传导方程的源项反演识别问题，其中是圆盘的一个子集。他们证明了已知边界上的两个不同点的热流密度测量值可以识别源项的所在区域，并给出了数值计算方法。李功胜等在文29-30研究了一维扩散方程的源项反演问题,应用积分恒等式方法建立了非线性源项反演的稳定性。文31-33在研究了对应地下水污染问题的抛物型方程只与空间变量有关的源项反演算法。关于抛物型方程点源反演，这方面的研究相对较少。文34-40分别研究了不同条件下抛物型方程的点源反问题。文34, 36, 37研究的单点源反演问题, 即源项为的形式，在源项的先验假设下获得了源项的识别的唯一性和反演算法，其中文37还将有限模型推广到无限长模型。文38, 39考虑了对流扩散方程点源反演问题，利用某个时刻或某些空间位置上的测量数据，将稳恒点源反演转化为优化问题进行求解。1.3 本文所要研究的主要内容假设在所考察的区间内部有个热源，不妨设（如图1.1所示），同时假设边界处的温度场和初始温度为已知，则对应的热传导定解问题为： （1.3.1）当时，定解问题（1.3.1）在泛函空间：内有唯一解，即所谓的正问题. 0图1.1 多点源示意图本文主要研究定解问题（1.3.1）的一类源项反问题，即假设已知，且的前提下。当源项个数，位置和反应强度的未知时，如何根据附加的在处的测量数据（即处的热流密度）反演。不失一般性，总是可以假定，否则总可以通过线性变换将定解问题变换为的情形。因此，将反问题重新写成如下定解问题的形式：（1.3.2）其中未知。 如果反问题（1.3.2）中附加信息是在处的测量数据, 则得到另一个反问题（1.3.3）其中未知。再如反问题（1.3.2）中附加信息是在处的测量数据, 则得到反问题（1.3.4）其中未知。 文40研究了反问题的(1.3.3)的唯一性和稳定性, 文49则研究了反问题的(1.3.4)的唯一性和稳定性。对于反问题(1.3.2)是由在处的测量数据（即处的热流密度）来反演未知源项, 由于是已知的定解条件，这就相当于是由物体表面温度信息（温度场及热流密度）来反演位置源项。因此，在某种程度上本文研究的反问题具有实际意义和应用价值。本文主要研究反问题（1.3.2）的唯一性和稳定性问题，然后基于本文所得到的唯一性和稳定性, 以及反问题(1.3.3)和(1.3.4)的唯一性和稳定性的前提下, 寻求用遗传算法、模拟退火算法对反问题(1.3.2)-(1.3.4)进行数值反演。因此，本文主要围绕下述三个问题展开：（1）反问题(1.3.2)的唯一性：测量数据是否可以唯一确定每个热源的具体位置和该热源的组合系数，以及热源的个数？（2）反问题(1.3.2)的稳定性：反演所得到的每个热源的具体位置和该热源的组合系数，以及热源的个数是否连续地依赖于测量数据？（3）反问题(1.3.2)-(1.3.4)的数值解法：如何用可行的数值方法反演热源的具体位置和该热源的组合系数，以及热源的个数？1.4 本文的整体框架本文共分五章：第一章 引言及问题的提出第二章 反问题（1.3.2）的理论结果第三章 基于遗传算法的多点源反演第四章 基于模拟退火算法的多点源反演第五章 结论与展望最后是致谢、参考文献和附录 第三章 反问题（1.3.2）的理论结果 在本章中，我们通过运用偏微分方程反问题的理论（包括热传导方程源项反问题、双曲型偏微分方程点波源反问题）和相关方法，以及积分方程的理论、热变换技巧、弱意义下的Duhamel原理、Volterra积分方程可解性定理等等。将原反问题进行一系列的等价转化，然后再结合广义函数理论，以及泛函分析中的结果（特别是Sobolev空间理论），并利用偏微分方程非齐次边值问题的处理方法和相关结果。从而得到了反问题的唯一性和稳定性。2.1 反问题（1.3.2）的等价转化运用线性偏微分方程的叠加原理，则可以将反问题（1.3.1）分解为一个非齐次定解条件定解问题和一个齐次定解条件定解问题的叠加，即分解为（2.1.1）和（2.1.2）则，且。 因此，只需考虑如下齐次定解条件的反问题，即 （2.1.3）的唯一性和稳定性，其中未知。 引进变换，记 ，称变换为热变换40，其中是的热变换像。并假设存在某时刻，使得当时，即某时刻后热源熄灭了。引理2.1.140 在弱意义下，(2.1.3)所对应的正问题的解是双曲型方程定解问题（2.1.4）的解在热变换下的像，即如果，则有.注意到热变换实质上也是Laplace变换。事实上，如果引入参数，那么,故热变换实际上是以为参数的Laplace变换。所以，在弱意义下(2.1.3)所对应的正问题与定解问题（2.1.4）等价，即可看作的Laplace逆变换。因此，反问题（2.1.3）的唯一性和稳定性等价于（2.1.5）的唯一性和稳定性，其中未知, 满足. （2.1.6）因此，已知则可经逆变换求出。2.2 辅助定理为了证明反问题(2.1.5)的唯一性与稳定性，我们首先给出几个辅助定理。首先，我们定义一些函数空间的定义和记号。 记是上平方可积函数空间，且对偶空间是其本身。 记，且其上范数定义为 . (2.2.1)记为的对偶空间，即。进一步记 (2.2.2)并定义其上的范数为 (2.2.3)显然关于范数(2.2.3)是一个Hilbert空间，且范数(2.2.3)与范数(2.2.2) 在空间中是等价的。 同时记的对偶空间为, 则 (2.2.4)其中嵌入和是有界的并且是稠密的。 记和之间的对偶内积为，显然有， (2.2.5)由的定义，我们有 (2.2.6)下面，我们考虑这样一个辅助模型： (2.2.7)其中,而表示（下同）。 则（2.2.7）存在唯一的弱解. 上述结论见Komornik在文43中的定理1.1，以及Lions和Magenes文44定理3.8.2.进一步，与Grasselli 和Yamamoto45证明方法相同，容易证明如下引理（也可见47中的引理1）。引理2.2.1 设，则存在一个不依赖于常数，使得对有 (2.2.8)对于，定义，则是一个从到自身的有界算子。引理2.2.2 设，则可以将算子唯一延拓到上。仍记延拓后的算子为，则存在常数使得， (2.2.9)证明：首先我们证明下述结论成立。 对于，定义映射，则映射是满的且是从到的一个同构映射。因为是一个第二类Volterra算子14-15，易得， (2.2.10)其中是不依赖于的正常数。显然当时，。 因此，是满射且是到的一个同构映射。 现在我们来证明引理2.2.2，给定和，有 (2.2.11)交换积分顺序。因此，重新定义一个得到另一方面，对于和，因为，由分步积分得.因此， ， (2.2.12)由式（2.2.5）和式（2.2.6），对于有 .由 (2.2.10)知存在一常数，使得 (2.2.13)另一方面，由式（2.2.3）和（2.2.12），我们有因此，由式（2.2.13），我们可以得到， (2.2.14)因为在中稠密，不等式（2.2.14）表示可以唯一地把算子延拓为上的有界算子。因此对任意，（2.2.14）式是成立的，引理2.2.2证毕。接下来我们考虑：对于，(2.2.15)其中. 则(2.2.15)存在唯一的弱解44定解问题（2.2.15）的解与问题（2.2.7）的解之间的关系述如下： 引理2.2.3 对于，有，证明: 对于光滑的，Duhamels准则显然成立。事实上，如果，我们可以直接验证（2.2.15）中方程的左右两端成立。对于，注意到在中稠密，由和的正则性，即可知引理2.2.3成立。2.3 反问题的唯一性为了行文方便，我们将（2.1.5）重写如下（2.1.5）其中未知。本小节主要研究由测量数据是否能唯一的确定，？首先，定义两个向量和为： （2.3.1）且设，其中 （2.3.2）性质146,47 对于给定的和，（2.1.5）存在唯一的一个弱解.性质247 . 为了证明(2.1.5)的唯一性和稳定性，我们还需要假设观测的时间足够长，即必需大于等于波从传播到的时间。为方便，以下总是假定，且设，.（2.3.3）定理2.3.1 在（2.3.1）、（2.3.2）和（2.3.3）的条件下，如果，则有，也就是。 证明：由Sobolevs嵌入定理11,12，我们可知，由引理2.2.1和引理2.2.3，有 （2.3.4）因为，也就是,在中应用引理2.2.2即得。 因此由引理2.2.1知在意义下。 由（2.3.1）和（2.3.2），知即等价于.，定理2.3.1结论成立。 根据（2.1.5）和（2.1.3）的等价性，即可得热传导反问题（2.1.3）也是唯一的。2.4 反问题的稳定性为了简单起见，在此仅考虑点源位置的稳定性。也就是，假设 （2.4.1）我们目标是希望得到个点源和之间的一种距离。 规定， （2.4.2）因此，我们可以把看成是已知的点源，而把分别看成是未知的点源。我们希望由来估计。选择任意一个满足: （2.4.3）为了得到一个精确估计，我们假设的一个先验假设 （2.4.4）条件（2.4.4）表明了和是分离的，但不是相差很远。由式（2.4.3），我们可以得到 （2.4.5）因此，我们就可以在依赖于和估计式是常数的情况下阐述条件稳定：定理 2.4.1（条件稳定） 在满足（2.3.3）和（2.4.1）-（2.4.4）的条件下，存在一个常数使得其中当时是递增的。 证明：给定，在（2.3.4）中应用引理2.2.2可得 （2.4.6）因此，由引理2.2.1和（2.4.6）知存在一个与和无关的常数，使得 （2.4.7）对于构造测试函数 （2.4.8）注意到和，由（2.4.3）和（2.4.4）我们可以验证，且 （2.4.9） （2.4.10）和， （2.4.11）根据的定义，对于任意的，有所以当，应用（2.4.9）式得到.由式（2.4.10），（2.4.11）和（2.4.5）即得最后，根据（2.4.7）就证明了定理2.4.1。 根据（2.1.5）和（2.1.3）的等价性，即可得热传导反问题（2.1.3）也是条件稳定的。第三章 基于遗传算法的多点源反演3.1 遗传算法生物在自然界中的生存繁衍，显示出其对自然环境的优异自然适应能力。 生物的进化是一个奇妙的优化过程，它通过选择淘汰、突然变异、基因遗传等规律产生适应环境变化的优良物种。 受其启发，人们致力于生物各种生存特性的机理研究和行为模拟，为人工适应系统的设计和开发提供了广泛的前景。 遗传算法17 (Genetic Algorithms,简称GAs)就是这种生物行为的计算机模拟中令人瞩目的重要成果。 遗传算法17是模拟自然界的生物演化过程，借鉴生物界的自然选择和自然遗传机制而发展起来的一类问题求解的策略和随机计算模型。它采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构，并通过对一组编码表示进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索的方向。由于演化计算本身具有自组织、自适应和自学习等智能特征以及本质的并行性和易于操作、通用性强等特点，已被成功地应用于机器学习、模式识别、经济预测、优化控制及其各种复杂数据的分析和计算等16,17，但把遗传算法用于反问题求解的文献32,38,39尚不多见。 3.2遗传算法的原理遗传算法GA把问题的解表示成“染色体”，在算法中也即是以二进制编码的串。并且，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也即是假设解。然后，把这些假设解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉，变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群。这样，一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解。 很明显，遗传算法是一种优化方法，它通过进化和遗传机理，从给出的原始种群（解群）中，不断进化产生新的解，最后收敛到一个特定的串处，即求出最优解。遗传算法的原理可以简要给出如下:choose an initial population determine the fitness of each individual perform selection repeat perform crossoverperform mutation determine the fitness of each individual perform selectionuntil some stopping criterion applies这里所指的某种结束准则一般是指个体的适应度达到给定的阀值。遗传算法中的结束准则，一般依据问题的不同有不同的确定方式. 例如，可以采用以下的准则之一作为判断条件:(1) 种群中个体的最大适应度超过预先设定值;(2) 种群中个体的平均适应度超过预先设定值;(3) 世代数超过预先设定值。3.3 遗传算法的步骤遗传算法将问题的解表示成字符串，并把这样的字符串当作人工染色体或称为个体，多个个体构成一个种群，随机产生若干个个体构成初始种群，通过对种群的不断进化，利用“优胜劣汰”的自然选择机制，使种群中的个体不断朝着最优解的方向移动，最终搜索到问题的最优解。遗传算法的一般流程如图3.1所示：产生初始种群计算适应度是否满足优化准则最佳个体选择交叉变异开始no yes 图3.1 遗传算法的一般流程3.4 遗传算法的算法设计1. 构造遗传算法参数 反问题遗传算法处理的对象主要是个体。运行参数包括:种群的大小，变量个数nvars，最大进化代数，交叉概率，变异概率。这些参数在运行开始时由使用者输入。2. 初始化，产生初始种群 为产生初始种群设计的函数为。对每一个个体的每一个变量，利用函数产生一个随机数，而后利用如下公式即可得到以实数编码表示的变量值。其中假设第个变量的取值范围为: 由于，故易知，即为该变量范围内的一个随机产生的数。3. 计算个体的适应值为此设计的函数是。对每一个个体，求解微分方程，从而求得各个点上的数值解，再求出其与给定点的数值的某种平均残差(在本程序中，是对各个点上的计算值和给定值的差值的平方求和，然后再取其平均值)。在程序中用到了几个全局变量(有几个优化变量就有几个全局变量)，由于本文的目标函数是平均残差最小，所以可将适应值直接取为平均残差的负数。4. 保持最优个体子程序为此设计的函数是。求出初始个体中的最优个体(适应值最高的个体)，并将其复制为第个个体。5. 选择操作子程序为此设计的函数是。采用二人联赛选择方法:每次从种群中随机选出两个个体，将上述过程重复比较其适应值，选出适应值较大的一个作为新个体，直到新种群填满为止。6.交叉操作子程序 为此设计的函数是。对种群中的每个个体都产生一个是实数编码方法，故采用算术交叉，它是指由两个个体的线性组合而产生的两个新个体。算术交叉定义如下:给定两个个体和按照如下方式得到新个体和：进一步可以表示为：式中，为一随机数。7变异操作子程序为此设计的函数是，变异采用的是非均匀变异，其基本操作如下：对于给定的个体，若它的元素被选来变异，则生成的新的个体为，其中，随机地按照如下两种可能的机会变化：或这里，和分别为的上下界。函数给出内的一个值，使得随着进化代数的增加而趋于0。可取为：，这里，是内的随机数，为进化代数，是最大代数，为确定非均匀度的参数，一般取。8. 精华模型子程序为此设计的函数是。1、群体中适应值最高的个体和适应值最低的个体。2、若当前群体中的最优个体的适应值大于新的迄今为止的最优个体的适应值，则以当前群体中的最优个体的适应值作为新的迄今为止的最优个体，同时用先前的最优个体代替本代的最差个体。3、若当前群体中的最优个体的适应值小于或等于新的迄今为止的最优个体的适应值，则用迄今为止的最优个代替本代中的最优个体。9.主程序主程序设计了多次运行遗传算法的过程，每次运行前由使用者输入不同的参数设置，运行结束时将有关进化过程的统计结果写入输出数据文件中。作为一次的遗传算法运行，首先，运行初始化，初始化的工作指代用实数编码产生初始种群。其次，求各个体的适应值。然后，进入共代的进化计算。每一代进化计算调用函数对适应值大的个体进行选择操作，调用函数完成交叉操作，调用函数进行变异操作，再调用函数计算经交叉后的新种群中个体的适应值，调用精华模型函数，选取最优个体。遗传算法优化结束时，得到最优个体。3.5 基于遗传算法的多点源反演在此我们利用遗传算法分别考虑下面三个反问题,由第二章的讨论知，实际我们只需考虑齐次边界条件和零初始条件的情形, 即（3.5.1）和（3.5.2）和（3.5.3）其中都是待求的未知量。根据本文第二章和文30，49的分析，我们已经知道该反问题是唯一的且条件稳定。 在此，我们利用遗传算法对该反问题进行求解。实际应用中，测量数据往往含有误差，所以我们记含有误差的测量数据为，其中为误差水平, 分别构造适应度函数为（3.5.4）（3.5.5）（3.5.6）其中误差按,， 其中为区间上服从均匀分布的一个随机数。为检验算法的有效性，进一步简化方程，即设（3.5.1）-（3.5.3）中且假设源项个数已知。此时，由于（3.5.1）-（3.5.3）中方程的固有值为，固有函数为，所以按固有函数展开法可求得所相应正问题的解。 令把方程右端源项也按固有函数展开，得其中那么可得满足的方程为：解得其中。 最后求出（3.5.1）-（3.5.3）所对应正问题的解为： （3.5.7）反问题的反演算法即是利用遗传算法近似求得，使适应度函数（3.5.4）-（3.5.6）取极小。它是一高度非线性优化问题，如用现有方法例如梯度法、单纯形法求解难度非常大，有时无法实现。由于遗传算法的诸多优点, 因此本文将这一算法应用于上述热传导方程源项反演。计算结果表明此方法精度高，适应性强，并易于计算机实现。 取, , , 群体大小为30, 参数范围, ，交叉概率取, 变异概率取, 终止代数取500,分不同情况进行数值模拟。算例1: , 为已知时, 反演.三个反问题的反演结果如下：精确解2.34.51.62.34.51.6近似解2.29354.64040.00325172.29714.060146.834相对误差(%)0.2833.1299.790.1269.77562827.125表3.1 反问题(3.5.1)的计算结果.将表3.1所得近似解代(3.5.1)的第一个方程计算和, 并与真值进行对比, 见图3.2和图3.3, 其中图3.2是由的反演值计算得到, 图3.3是由的反演值得到。从图中可以看出, 的近似解与真值几乎相同, 但是与真解形成很大差异, 说明表3.1中得到的反演值精确解的最优近似 图3.2 近似解和精确解的对比图.星线为近似值, 实线为精确值, 左图为, 右图为.图3.3 近似解和精确解的对比图.星线为近似值, 实线为精确值, 左图为, 右图为.精确解2.34.51.62.34.51.6近似解2.4064.07275.86922.40934.05126.3701相对误差(%)4.6099.50266.834.75210.77298.13表3.2 时，反问题(3.5.2)的计算结果.将表3.2所得近似解代(3.5.2)的第一个方程计算和, 并与真值进行对比, 见图3.4和图3.5, 其中图3.4是由的反演值计算得到, 图3.5是由的反演值得到. 图3.4 近似解和精确解的对比图.星线为近似值, 实线为精确值, 左图为, 右图为.图3.5 近似解和精确解的对比图.星线为近似值, 实线为精确值, 左图为, 右图为.精确解2.34.51.62.34.51.6近似解2.29814.50271.59472.30124.49271.6156相对误差(%)0.08260.060.33150.052170.16220.975表3.3 时，反问题(3.5.3)的计算结果 (终止代数为200).将表3.3中对应的反演值代(3.5.3)的第一个方程计算, 和, 并与真值进行对比, 见图3.6 图3.6 近似解和精确解的对比图.星线为近似值, 实线为精确值, 左图为, 中图为, 右图为.从算例1可以看出遗传算法, 为已知时, 对反问题(3.5.3)的反演效果最好。所以, 如果均未知时, 遗传算法对于反问题(3.5.1)- (3.5.2)和将得不到理想结果。因此, 下面我们针对反问题(3.5.3)来反演。算例2: ，已知, 终止代数取500, 经反问题(3.5.3)反演.反演结果如下：精确解0.20.50.752.34.51.6近似解0.196190.496420.751282.30094.4931.6121相对误差(%)1.9050.7160.1710.0039130.15560.756表3.4 时反问题(3.5.3)的反演结果.精确解0.20.50.752.34.51.6近似解0.199890.501350.752122.30194.4941.6042相对误差(%)0.0550.270.2830.08260.13330.2625表3.5 时反问题(3.5.3)的反演结果.精确解0.20.50.752.34.51.6近似解0.203710.503680.752982.3014.51431.5988相对误差(%)1.8550.7360.39730.043480.37180.7000表3.6 时反问题(3.5.3)的反演结果.算例3: 二维热传导方程考虑由反演. 这里我们取, , , , , 进行数值模拟。利用古典差分格式得到作为真实值，如图