数论讲义第七节无穷递降法

数论讲义第七节无穷递降法一. 基础知识1659年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡尔卡维，称自己创造了一种新的数学方法由于费马的信并汶有发表，人们一直无从了解他的这一方法直到1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法无穷递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法其证明模式大致是：先假设方程存在一个最小正整数解，然后在这个最小正整数解的基础上找到一个更小的解，构造某种无穷递降的过程，再结合最小数原理得到矛盾，从而证明命题无穷递降法在解决问题过程中，主要有两种表现形式：其一，由一组解出发通过构造得到另一组解，并且将这一过程递降下去，从而得出矛盾；其二，假定方程有正整数解，且存在最小的正整数解，设法构造出方程的另一组解(比最小正整数解还要小)，从而得到矛盾无穷递降法的理论依据是最小数原理二.无穷递降法的应用1.无理数的证明例1.证明：是无理数.2.方程解的判定例2.证明：方程无正整数解.例3.证明方程除了解外没有其它整数解.例4.找出满足方程（其中是正整数）的所有正素数.（2000年匈牙利）3.存在性的证明例5.设是给定的正整数，记.证明：存在正整数，使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数.例如：例6.设为一个正整数的平方，并且.证明：至少有一个.4.典型问题例7.设有个整数，在其中任意取出一个数，其余的个数总可以分为两个无公共元素的子集，使每个子集中各数之和相等，那么必全为零.例8.证明： 没有正整数解。证 假如 有正整数解，那么 也一定有正整数解，所以，要证明 没有正整数解，只要证明 没有正整数解就可以了。 下面用“无穷递降法”来证明： 假设 有正整数解，那么，在这些正整数解中，一定可以找到一组解、 ，使得 ，而且其中的 是各组解的 中最小的一个。 显然 、 没有大于1的公约数。因为，假如有公约数 ，则有 ，可见 、 是 的另一组正整数解，而且 ，这就与“ 是各组解的 中最小的一个”发生矛盾，所以不可能有大于1的公约数。 由于 、 没有大于1的公约数，所以 、 也没有大于1的公约数。由于 ，可见 、 是一组互素的勾股数。根据“勾股数公式”，这时必有互素的正整数 、 使得（不妨设 是奇数） ， ， 。由于 ，而且 与 没有大于1的公约数（假如 与 有公约数 ，则 也应该有约数 ，这就与 、 互素发生矛盾），可见 、 是一组互素的勾股数。根据“勾股数公式”，这时必有互素的正整数 、 使得（前面已设 是奇数） ， ， 。 这时有 。 因为 、 互素，所以 、 两两之间都没有大于1的公约数，而它们的乘积却是一个完全平方数，可见 、 三个数本身都必须是完全平方数，即一定有正整数 、 ，使得 ， ， 。 这样，就有 ，可见 、 是 的一组解。而且有 ，这就与“ 是各组解的 中最小的一个”发生矛盾，所以假设“ 有正整数解”不成立。由此可见，“ 有正整数解”也不成立。例9.正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正.若其中三个相连顶点相应的整数依次为，而中间的，则要进行如下的操作：整数分别换为.只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行.问：是否这样的操作进行有限次后必定终止.例10.设，求证：如果是素数，那么数都是素数.三.课后练习1.证明：四元二次不定方程没有非零整数解.2.求方程的整数解.3.求证：除外，方程没有别的整数解.4.设正整数满足，求证：.5.证明：两个平方数的和与差无正整数