常微分方程在有阻尼自由振动中的应用.doc

盐城师范学院毕业论文（设计） 常微分方程在有阻尼自由振动中的应用羊士林（数学科学学院,2008（4）班,08211439号）1 引言 在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支.这不是偶然的,因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达.实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中.比如物理学科中的许多公式的推导以及一些题目的计算,就需用到微分方程的有关知识.微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的就在于掌握他所反应的客观规律,能动的解释所出现的现象并预测未来可能发生的情况.下面我们将简单的介绍常微分方程的几种解法及其在物理学中的应用.2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1特征方程法 例1 求微分方程的通解. 解 特征方程的根,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解,故通解为 （为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状 （为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根,则该方程的通解具有形状 （为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.1 特征根是两个实根的情形 设是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解, 我们指出这两个解在上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 , 而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于.由于假设,故此行列式不等于零,从而,于是 线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为 （其中为任意数）. 如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设是一特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解 , . 根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解 .2 特征根有重根的情形 设特征方程有重根则众所周知 , 先设,即特征方程有因子,于是 , 也就是特征方程的形状为 , 而对应的方程变为 . 易见它有个解1,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解1,.如果这个重根,我们作变量变换,注意到 ，可得 ,于是对应方程化为 , 其中仍为常数,而相应的特征方程为 , 直接计算易得 ,因此 ,从而 ，,这样,问题就化为前面讨论过的情形了.2.2常数变易法对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.例2 求常微分方程 的通解. 解 方程对应齐次方程为 ,其特征方程为 . （1） 由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解. 情形1：若为方程（1）的实根,则是方程的解.由常数变易法设的一个解为,代入原方程并化简得 , 这是关于 的一阶线性微分方程,其一个特解为,从而得方程（1）的一个特解为. 情形2：若为方程（1）的复根,我们可以设且，则是方程的解，根据常数变易法可设其一个特解为，与情形1的解法类似得方程的一个特解为由于是特解,则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简单.由积分 .所定义的确定于复平面（）上的复变数的函数,称为函数的拉普拉斯变换,我们称为原函数,而称为像函数. 拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数. 例3 求解方程 . 解 先使，将问题化为,再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到,因此 ,查拉普拉斯变换表可得 ,从而 ,这就是所要求的解. 当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了.3常微分方程在有阻尼自由振动中的简单应用 一般求解物理问题主要是分三步：1.分析问题建立方程并确定定解条件;2.求出方程满足初始条件的特解或讨论解的性质;3.对解做定性分析,反过来解释原问题,其中关键在于列出方程,主要有两种方法:1.瞬时变化率;2.微元分析法.在研究阻尼振动时,运动方程的求解问题较为复杂,一般教科书没有给出求解过程.下面分别用特征值法,常数变易法,拉普拉斯变换法来求动力学方程.3.1特征方程法 例4 一弹簧振子系统，物体的质量,弹簧的劲度系数,阻尼系数，设质点由静止开始运动,求位移方程. 解 根据牛顿第二运动定律有 , （2） 或 , （3） 对一给定的振动系统,均为常量.若令,则上式可写成 , （4）将数据代入（4）得 . （5） 根据观察可以用特征值法求解.这里特征方程为,有两个根,则(5)的两个根为 . （6）计算可得振动子固有角频率数值为，而阻尼系数数值为,即,则方程(5)的解为 （由初始条件决定）. （7） 上式是一个非振动状态的,这种情况下质点仅仅是从非平衡位置恢复到平衡位置,而不具备周期振动的特点.我们更关心的是情况下,质点的衰减振动.由于阻尼的作用,一个自由振动系统的振动不能维持很久,它要逐渐衰减直至停止.要使振动持续不停,就需要不断地从外界获得能量,这种受到外部持续作用而产生的振动就称为强迫振动 例5 设有一个外力作用在上面振动系统上,式中为驱动力的幅值,为驱动力的圆频率,为驱动力的频率. 解 将驱动力加到质点振动系统,得到系统振动方程为 , (8)或写成 . (9) 式中为作用在单位质量上的外力幅值.方程(8)和方程(9)都是质点强迫振动方程.强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程,其一般解为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和.我们已经获得了对应的自由振动方程的一般解,关键就是寻找(9)的一个特解.将数据代入（9）得 , （10）我们设（10）有形如的特解，将它代入（10）并化简得到,比较同类项系数得,于是,而原方程的通解为. 上式中由初始条件决定,前两项项称为瞬态解,它描述了系统的自由衰减振动,仅在振动的开始阶段起作用,当时间足够长以后,它的影响逐渐减弱并最终消失.后二项称为稳态解,它描述了系统在驱动力的作用下进行强制振动的状态,因为它的幅值恒定,因此称为稳态振动.从上式可以看到,当外力施加到质点振动系统以后,系统的振动状态比较复杂,它是自由衰减振动和稳态振动的合成,这种振动状态描述了强迫振动中稳态振动逐步建立的过程.当一定时间以后,瞬态振动消失,系统达到稳态振动.3.2 常数变易法情形1 已知为上面例5中特征方程的实根,则是方程（10）的一根.由常数变易法设,则也是方程的一个解.代入（10）并化简得.这是关于的一阶线性微分方程,其一个特解为,从而得出（10）的一个特解为（取） ,从而可得（10）的通解.情形2 例6 一弹簧振子系统，物体的质量，弹簧的劲度系,阻尼系数，有一个外力.作用在上面振动系统上,设质点由静止开始运动.求位移方程. 解 由例5可知 . （11）代入数据得 . （12）根据观察可以用常数变易法求解，首先求（12）的齐次线性方程的根.有前面的研究可得（12）齐次线性微分方程的特征方程为.我们可设特征方程的根为.则是（12）的一个解.由常数变易法可设为.与情形1中的解法类似，将代入（12）并化简得.由于是特解,则积分常量可以都取零.3.3 拉普拉斯变换法 若仍然以例6为例，由牛顿第二运动定律得,代入数据得 , (13)由于质点由静止开始运动.则 ,对方程(13)施行拉普拉斯变换,得到,即,把上式右端分解为部分分式 ,由拉普拉斯变换表可得 .参考文献1王高雄.周之铭.宋思铭.等.常微分方程.北京高等教育出版社.2001.2美R.布朗森.（全美经典学习指导）微分方程.北京科学出版社.1998.3同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社.2002.4常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.2004.5复旦大学物理系.上海师范大学物理系.物理学.上海科技出版社.199