浅谈数学中的变形技巧论文.doc

成绩： 学 年 论 文题 目： 浅谈数学中的变形技巧 学 院：专 业：班 级： 学 号： 姓 名： 指导教师： 2012年12月20 目录 1. 引言32. 数学变形的概述33. 变形技巧在初等数学中的应用34. 结论105. 参考文献11浅谈数学中的变形技巧摘 要：变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。本文主要介绍了变形技巧在初等数学中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。关键词：初等数学；代数；变形；技巧1 引言近些年来，在中学数学考试中的考试题目越来越新颖，特别是在中考，高考的试题当中，有些试题的技巧性又非常强，考生一味的在上面钻牛角尖的话，这不但会浪费很多时间，甚至到最后还可能得不到正确的答案。所以有必要针对有些题研究解题技巧，对有些题作出一些变形。随着国内外数学工作者对数学变形技巧的研究，使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，增加了我们的解题信心，更提高了对数学的兴趣。本文从先对数学中变形进行概述性介绍，接着主要从变形技巧在初等数学中的一些具体的应用加以阐述说明。2 数学变形的概述 什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，总而言之，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段。它属于技能性的知识，所以它存在着技巧和方法，需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，才能够灵活应用。在中学数学中的基本方法中大致可以分为三类：1、逻辑学中的方法：例如分析法、综合法、反证法等。这些方法既要遵循从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。2、数学中的一般方法， 3、数学中的特殊方法：例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法、拆项补项法、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用。而变形也是数学中一种重要的方法之一，了解并掌握这些变形技巧不仅能够帮助我们解题，激发我们对于数学的学习兴趣，而且由于变形技巧的灵活多变性，有助于思维的锻炼。3 变形技巧在初等数学中的一些应用很多式子中的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为，亦可表述为，等。若问3(1/3)=?，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如，等。可见“变形”实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。接下来将主要给大家介绍一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到举一反三的功效。3.1 一元二次方程变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简。下面列举例子说明：例1 已知是方程的两根，求的值。解：因为是方程的根 ， 则， 所以， 又因为，是方程的两根， 分析：如果要求出，的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发这样可以提高解题的效率，节省时间。例2 若，是一元二次方程的两个根，求 的值。解：由题设得，及，= =分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决，不必求出和的值。例3 设实数、分别满足，并且， 求 的值解：由题设可得，.两式相除，得由比例的基本性质，得，整理得，即 因为，所以， = 分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件，进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题。我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察他们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题。特别是要灵活应用韦达定理：即如果，为方程的两个根，则，在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手。关键是要善于观察所要求式子的特点。3.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等函数、初等几何的关系十分密切。特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征。除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件。例1 已知，求的值。解：原式= = = = =0分析：除了这里的外，还有以下等式也经常用到：，灵活运用这些等式，可以使许多三角函数问题得到简化。例2 已知，求的值.解：= = = =2分析：对于正切和角公式可正用也可逆用。而，为变形形式。这里是公式的变形应用。例3 试求的值。解：原式=构造，使,外接圆直径，则由正弦定理，得，.又由余弦定理，得，即故=分析：注意到，我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度。再观察所求三角函数式，不难发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决。三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识。它包括化简三角函数式，三角函数式的变形公式。变形中要注意三角函数定义域和值域的要求，以及符号的变化和选择。3.3 “0”的变形技巧恩格斯在自然辩证法一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容零乘以任何一个数，都使这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数，都等于零，”由于零具备许多特殊的性质，因此，在解题活动中我们若能多这些特性加以注意，对于解题的顺利进行是大有帮助的，下面我们举例几个“0”的特性在解题中的应用：例1 若，求证 证明：因为，又因为，故分析：通过观察可发现可以变形为，即式子加了。则再利用不等式的性质可方便解决这道题。例2 在等差数列和等比数列中，求证：当时，证明：（分子上加“0”）=分析：本题主要在变形，即分子加上0，再利用不等式和等差数列的有关知识去解即可。“0”是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题。如果有些题目可以借助“0”来解决，我们应该充分利用“0”的有关特性去解决。这样可以很快确定解题方向，提高解题效率。3.4 “1”的变形技巧众所周知“1”的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们善于捕捉“1”，恰当地用“1”来解决数学问题，会使问题的解决显得十分的简洁明了。下面我们来看它的应用： 例1 化简解：原式=1 说明：本题充分利用使问题巧妙解决。本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦。 例2 在等差数列中，公差，设，则=（ ）.解：因为所以 故 =分析：这里巧妙的运用1使问题得以解决。即式子变形为而这里的例3 设，求证解：（1）若，中有两个或三个为负， 不妨设，则，即矛盾，因而，中至多有一个为负。（2），中只有一个为负时不等式显然成立（3）当，均为非时， = 同理故分析:这道题如果不认真去思考，那么将很容易遗漏（1）和（2）这两种情况。即要讨论，这三个数的正负情况。而第三种情况用到了1和0的变形技巧，即用到了1的变形技巧，而用到了0的变形技巧。然后再利用不等式的性质便可解决这道题。通过以上的例子可以看出，如果借助“1”来解决有关的数学问题，则效率非常高，因为“1”的变形是多种多样的，对不同的题目，“1”的变形是不同的。有些题目若能利用“1”来求解，那么我们应该灵活应用“1”去解决。4 结论通过对中学数学中的初等数学的一些变形技巧加以梳理、归类，发现变形在我们的初等数学中应用的形式和空间非常的广泛，合理地运用变形技巧于数学学习中，是学习者学好数学、提高能力的一种重要方法和手段。运用得好不但能使学习者在数学学习过程中触类旁通、举一反三，而且能使学习者在数学学习中产生无穷的乐趣甚至有所创新。学习变形技巧在数学学习中有广泛的应用，特别是培养创造性思维能力和分析问题、解决问题的能力具有重要的现实意义， 因此，去研究和掌握一些变形技巧是很有必要的。 参考文献 1徐德义.一元二次方程变形的应用.初中数学教与学J，2002,10:14-152汪江松.高中数学解题方法与技巧M.武汉：湖北教育出版社,2006:17-223殷堰工.数学解题策略精编M.上海:上海科技教育出版社，1990:50-634袁良佐.加“0”与乘“1”.中学生数学J，2002,6：15-235董开福.中学数学教材分析（第一版）M.昆明:云南教育出版社，1999,1:45-566朱德祥.方法、能力、技巧M.昆明:云南教育出版社，1989:87-99 江西科技师范大学数学与计算机科学学院学年论文成绩评定表学生姓名 学号 专业 班级 学年论文选题 成绩 一级指标 二级指标 (A级) (B级) (C级) (D级) 项目 小计 选题质量 (16分) 选题指导思想 4 3 2 1 题目难度 43 2 1 选题工作量 43 2 1 结合实际程度 43 2 1 能力水平 (32分) 综合运用知识能力 8 6 4 2 调研及应用资料能力 8 64 2 文献检索能力