线性控制系统状态方程求解.ppt

第二章线性控制系统状态方程求解 第二章线性控制系统状态方程求解 线性定常齐次状态方程的解状态转移矩阵线性定常非齐次状态方程的解线性离散系统状态方程的解 2 1线性定常系统齐次状态方程的解 2 1线性定常连续系统状态方程的解 问题的提出 如何知道 嫦娥一号 运动状态 系统性能分析 定量分析 运动分析定性分析 能控性分析能观性分析稳定性分析 线性定常系统的运动 1 自由运动 线性定常系统在没有控制作用 即u 0时 由初始状态引起的运动称自由运动 齐次状态方程的解 满足初始状态的解是 一 直接求解 1 标量齐次微分方程 满足初始状态的解是 满足初始状态的解是 2 齐次状态方程 线性定常齐次状态方程的求解方法 直接求解 拉氏变化求解 设齐次状态方程的解为 当时 由上式可得 此处 式 1 左右求导得 式 1 2 代入状态方程得 求解过程 仿标量方程求解 式 3 左右两边t的同次幂的系数两两相等得 将式 4 代入式 1 即可得到通解为 5 4 3 1 2 标量齐次状态方程 2 2状态转移矩阵 由于是由转移而来 又称为状态转移矩阵 记为 即 定义为矩阵指数函数 齐次方程的解为 状态转移矩阵的物理意义 从时间角度看 状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移在不断地作坐标变换 也就是不断地在状态空间中作转移 故称为状态转移矩阵 状态转移矩阵的性质 1 对于线性定常系统 说明 此性质的含义是 从t0到t0的转移 相当于不转移 转移后的状态转移矩阵仍是它自己 2 对于线性定常系统 3 对于线性定常系统 传递性 说明 此性质表明 从t0到t2的转移可以分为两步 先从t0转移到t1 再从t1转移到t2 不变性 说明 由定义证明 说明 由定义证明 4 对于线性定常系统 可逆性 说明 此性质表明 状态转移过程在时间上可以逆转 由性质1 3证明 6 对于线性定常系统 8 若则 例2 1已知状态转移矩阵为 试求和 解根据状态转移矩阵的运算性质有 二 状态转移矩阵的计算方法 直接求解法 根据定义拉氏变换求解 标准型法求解 对角线标准型和约当标准型 非奇异变换待定系数法 凯莱 哈密顿 简称C H 定理 求出的解不是解析形式 适合于计算机求解 1 根据状态转移矩阵的定义求解 对所有有限的t值来说 这个无穷级数都是收敛的 2 拉氏变换求解 齐次状态方程 两边取拉氏变换得 整理得 初始状态为 拉氏反变换得 与直接求解的结果比较 由解的唯一性得 例2 2设系统状态方程为 试用拉氏变换求解 解 状态方程的解为 其中 P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵 1 当A的特征值为两两相异时 对角线标准型 3 标准型法求解 有二种标准形式 对角线矩阵 约当矩阵 证明 当A阵有n个特征值时 经线性变换可将A阵化为对角形矩阵 这时阵对应的矩阵指数函数为 由于 故矩阵A的矩阵指数函数 例2 5已知 求状态转移矩阵 解 系统特征方程式为 可解出系统特征值为 变换矩阵为 2 当A具有n重特征根 约当标准型 当A阵的特征值均相同 且为时 经过线性变换 可化为约当形矩阵 系统状态转移矩阵为 例2 6已知 求状态转移矩阵 解 系统特征方程式为 可解出系统特征值为 变换矩阵为 故系统的状态转移矩阵为 4 凯莱 哈密顿 以下简称C H 定理法 将化为A的有限项多项式来求解 说明 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时 凯莱 哈密尔顿定理是非常有用的 设n n维矩阵A的特征方程为 1 则矩阵A满足其自身的特征方程 即 并令即可得到如下的结论 根据C H定理 可将化为A的有限项表达式 即封闭形式 其中 为t的标量函数 可按A的特征值确定 2 将化为A的有限项多项式来求解 由定理可知 A所有高于 n 1 次的幂都可以由A的0 n 1 次幂线性表出 将此式代入的定义中 即 1 A的特征值两两相异时 求解上式 可求得系数 例2 3已知 求状态转移矩阵 解 2 A的特征值为 n重根 3 当矩阵A的特征值有重特征值和互异特征值时 待定系数可以根据式 2 25 和式 2 24 求得 然后代入式 2 21 求出 对于 按式 2 25 计算 对于按式 2 24 计算 于是有 例2 4已知 求状态转移矩阵 解 可求得 例 求以下矩阵A的状态转移矩阵 解 1 用第一种方法 定义求解 2 用第二种方法 拉氏变换法求解 3 用第三种方法 标准型法求解 得 具有互异特征根 用对角线标准型法 且A为友矩阵形式 先求特征值 4 用第四种方法 待定系数法求解 在第3种方法中已经求得特征根 所以得 求得状态转移矩阵如下 或者 由和得到 从而求出系数 小结 状态转移矩阵的8个性质 4种计算方法 2 3非齐次状态方程的求解 若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在 则解形式如下 一 直接求解法 初始状态引起的响应 零输入响应 输入引起的响应 零状态响应 说明 与线性定常系统齐次状态方程的解不同 齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成 3 对上式在区间内进行积分 得 2 两边左乘 利用的性质 1 先把状态方程写成 证 直接求解法的关键 求状态转移矩阵或矩阵指数函数 对非齐次状态方程两边进行拉氏变换得 二 拉氏变换求解法 整理得 结论 例2 7设系统状态方程为 且 试求在 作用下状态方程的解 解由例2 2已知 分析在不同情况下电路中电容上电压和电流的变化 综合例题 1 设输入电压为0V 电容上电压和电感上电流初始值分别为1V和0A 2 设电容上电压和电感上电流初始值为零 输入电压为1V 3 设输入电压为1V 初始值分别为1V和0A 取状态变量 有 解 1 建立状态方程 由微分方程 2 求状态转移矩阵 3 求状态解 第一种情况 零输入响应 零输入响应电容上电压和电流的变化曲线如图所示 3 求状态解 第二种情况 零状态响应 零状态响应电容上电压和电流的变化曲线如图所示 3 求状态解 第三种情况 全响应 2 4线性定常离散系统的运动分析 2 4 1线性定常连续系统的离散化 考虑系统 其状态方程的解为 假设 1 等采样周期T 则有 令 则线性定常系统离散状态方程为 令 归纳 将连续状态方程离散化步骤 例求下列连续系统的离散化方程 解 当 时 离散化方程为 如果采样周期T很小 一般地说 当其值为系统最小时间常数的1 10左右时 离散化系统方程可近似为 也即是说 例2 9试求例2 8的近似离散化方程 当 时 近似离散化方程为 比较例2 8和例2 9的结果 可看出当采样周期T较小时 系统离散化的状态空间方程近似相等 解 则有 2 4 2线性离散系统状态方程的解 1递推法 定常情形 上式称为线性定常离散系统的状态转移方程 和都是常值矩阵 于是可得 3 7 2Z变换法 考虑离散时间系统 取Z变换得 取Z反变换得 由解的唯一性可得 例3 7 1 考虑离散时间系统 其中 试求时系统的状态解 解法1 由此递推下去 可得到状态的离散序列表达式 解法2 用Z变换法 先计算则有 则有 因所以 Z反变换得 2 5MATLAB在状态方程求解中的应用 2 5 1矩阵指数函数的计算 MATLAB中提供了矩阵指数函数的多种运算函数 通常我们使用expm 例2 12已知 用MATLAB求状态转移矩阵 symst 定义时间变量 A 01 2 3 输入系统系数矩阵 Ft expm a t 求矩阵指数函数运行结果为Ft 2 exp t exp 2 t exp 2 t exp t 2 exp 2 t 2 exp t exp t 2 exp 2 t 2 5 2线性定常非齐次状态方程在典型信号作用下的解 例2 13设系统状态方程为 且 试用MATLAB求系统在单位阶跃信号作用下状态方程的解 symst 定义时间变量t为符号 A 01 2 3 B 0 1 x0 0 1 输入系统状态方程和初始值 Ft expm a t 求矩阵指数函数 xt Ft x0 int Ft B 1 t 0 t 应用公式 2 29 求非齐次解结果为xt 1 2 exp 2 t 1 2exp 2 t 如果绘出对单位阶跃响应的系统状态轨迹图 可用下列语句实现 clear 清空工作空间 t 0 0 1 10 定义时间范围和间隔 plot t 1 2 exp 2 t 1 2 t exp 2 t 绘制系统状态轨迹图结果为 连续系统离散化可采用函数c