人教A版选修22 2.3数学归纳法 课件 ( 31张).ppt

第二章推理与证明 2 3数学归纳法 问题1 袋中有5个小球 如何证明它们都是绿色的 问题2 完全归纳法 不完全归纳法 问题3 某人看到树上乌鸦是黑的 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的 情景导学 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法 归纳法 概念解析 思考 归纳法有什么优点和缺点 优点 可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律 缺点 仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的 概念辨析 思考1 某人姓王 其子子孙孙都姓王吗 某家族所有男人世代都姓王的条件是什么 1 始祖姓王 2 子随父姓 第1代姓王 如果第k代姓王 则第k 1代也姓王 问题探究 思考2 有若干块骨牌竖直摆放 若将它们全部推倒 有什么办法 一般地 多米诺骨牌游戏的原理是什么 条件是什么 第一块骨牌倒下 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 两个条件的作用 条件 奠基 条件 递推关系 原理分析 概念解析 例题解析 总结升华 1 用数学归纳法证明1 2 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式是 a 1b 1 3c 1 2 3d 1 2 3 4 答案 c 解析 当n 1时 2n 1 2 1 1 3 所以左边为1 2 3 故应选c 当堂检测 答案 d 答案 b 4 试问等式2 4 6 2n n2 n 1成立吗 某同学用数学归纳法给出了如下的证明 请问该同学得到的结论正确吗 解 设n k时成立 即 这就是说 n k 1时也成立 2 4 6 2k k2 k 1 则当n k 1时2 4 6 2k 2 k 1 k2 k 1 2k 2 k 1 2 k 1 1 所以等式对任何n n 都成立 事实上 当n 1时 左边 2 右边 3左边 右边 等式不成立 该同学在没有证明当n 1时 等式是否成立的前提下 就断言等式对任何n n 都成立 为时尚早 证明 当n 1时 左边 右边 假设n k时 等式成立 那么n k 1时 等式成立 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 即 第二步的证明没有在假设条件下进行 因此不符合数学归纳法的证明要求 反思 1 因此 用数学归纳法证明命题的两个步骤 缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 缺了第一步递推失去基础 缺了第二步 递推失去依据 因此无法递推下去 2 第二步是个命题 前面是条件后面是结论 我们只需证明这个命题是正确的就行 3 当n 1时成立 假设当n k时成立 那推出当n k 2时也成立 请问这个命题对哪些自然数成立 如果推出当n k 3时也成立 那请问这个命题对哪些自然数成立 答 对正奇数成立 对自然数1 4 7 11 成立 1 用数学归纳法证明 要完成两个步骤 这两个步骤是缺一不可的 但从证题的难易来分析 证明第二步是难点和关键 要充分利用归纳假设 做好命题从n k到n k 1的转化 这个转