高中数学 第30讲解斜三角形课件 新人教A版必修5

必修5 第一章解三角形 第30讲 解斜三角形 1 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角度量问题 2 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题 1 在 ABC中 已知BC 12 A 60 B 45 则AC D A 3B 3C 4D 4 由正弦定理得 所以AC 4 2 在 ABC中 若a b c成等比数列 且c 2a 则cosB D A B C D 因为a b c成等比数列 所以b2 ac 又c 2a 所以b2 2a2 所以cosB 3 在 ABC中 sinA sinB sinC 2 1 则三角形的最小内角是 A 60 B 45 C 30 D 以上答案都错 由正弦定理 2R 得a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 所以a b c sinA sinB sinC 2 1 因为a为最小值 所以A为最小内角 因为cosA 且A 0 60 所以A 45 故选B B 4 某人向正东方向走了xkm 他向右转150 然后朝新方向走了 km 结果他离出发点恰好为千米 那么x的值是 C A B 2C 2或D 3 先根据已知条件画出草图 再用余弦定理或正弦定理列方程 解方程即可 选C 5 已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 且AB 1 BC 4 则边BC上的中线AD的长为 S ACD 由已知 B 60 AB 1 BD 2 由余弦定理知AD 又cos ADB 又0 ADB 180 所以 ADB 30 所以 ADC 150 所以S ACD AD DC sin ADC 1 正弦定理及变式 1 2R 2 a 2RsinA b c 2RsinC 3 sinA sinB sinC 4 sinA sinB sinC a b c 5 在下列条件下 应用正弦定理求解 已知两角和一边 求其他边和角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角及其他边和角 2RsinB 2 余弦定理及变式 1 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 b2 2abcosC 2 cosA cosB cosC a2 c2 2accosB 3 在下列条件下 应运用余弦定理求解 已知三边 求三个角 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 此类问题需要讨论 3 三角形的面积公式S absinC bcsinA acsinB 4 应用解三角形知识解决实际问题的步骤 1 根据题意画出示意图 2 确定实际问题所涉及的三角形 并搞清该三角形的已知条件和未知条件 3 选用正 余弦定理进行求解 并注意运算的正确性 4 给出答案 题型一正弦定理的应用 例1 在 ABC中 已知a b B 45 求角A C及边c 由正弦定理 得sinA 因为b a 所以B A 所以A 60 或120 已知两边和其中一边的对角解三角形问题 用正弦定理解 求得sinA 时 要注意角A是锐角还是钝角 若不能确定 则需分类讨论 1 当A 60 时 C 75 所以c 2 当A 120 时 C 15 所以c 题型二余弦定理的应用 例2 钝角 ABC的三内角A B C所对的边分别为a b c sinC c b sin2A bsin2B csin2C 求角A B C 由 c b sin2A bsin2B csin2C 得 c b a2 b3 c3 所以 c b a2 b c b2 bc c2 0 即 c b b2 bc c2 a2 0 所以b c或b2 bc c2 a2 0 当b c时 有B C 所以C为锐角 又sinC 所以B C 45 所以A 90 这与 ABC为钝角三角形矛盾 当b2 bc c2 a2 0时 b2 c2 a2 bc 所以cosA 所以A 120 又sinC 且C为锐角 所以C 45 所以B 180 A C 15 综上可知 A 120 B 15 C 45 若将边化角 常用三角函数公式来化简 若将角化边 则常通过因式分解来得到 题型三正弦定理 余弦定理在平面几何中的综合应用 例3 已知圆内接四边形的边长为AB 2 BC 6 CD DA 4 求四边形ABCD的面积 如图 连接BD 设四边形ABCD的面积为S 则S S ABD S BCD AB ADsinA BC CDsinC 因为四边形ABCD为圆内接四边形 所以A C 180 所以sinA sinC cosA cosC 所以S AB AD BC CD sinA 16sinA 在 ABD中 由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB ADcosA 22 42 2 2 4cosA 20 16cosA 在 BCD中 由余弦定理同样可得 BD2 BC2 CD2 2BC CD cosC 52 48cosA 由BD2 BD2 得20 16cosA 52 48cosA 即cosA 又A 0 所以A 120 所以S 16sin120 8 将四边形转化为三角形问题 创造应用解三角形的情景 进而运用有关的知识去解决问题 正 余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系 其主要作用是将已知边 角互化或统一 一般的 利用公式a 2RsinA等