高三物理15A简谐运动及图像知识点、解题方法、考点突破、例题分析、达标测试.doc

【本讲主要内容】简谐运动及图像简谐运动的意义；描述各物理量及其关系；两种典型简谐运动。【知识掌握】【知识点精析】 运动是物体的基本属性，高中阶段所学的运动都是比较简单的运动，是模型化的运动，六种基本运动，即匀速直线运动；变速直线运动；匀变速直线运动；抛体运动；圆周运动和机械运动等。我们这里讲的简谐运动就是一种基本运动，也是高中阶段最复杂的运动。在二十多年的高考中曾占有过重要地位；我们将用十个物理量分别从运动学、动力学、能量等几方面进行分析。（一）简谐运动的定义 1. 机械运动：物体或物体的一部分在某一中心位置两侧所做的往复运动。 例如：梵婀玲上奏出的优美音乐； 微风中树梢的摇曳； 地球的颤抖地震等等。 机械振动是一种变速运动，必然受到外力的作用，这个力就是回复力（按效果命名的）。 其中简谐运动是最基本的运动。 对运动的学习基本是四种规范，即运动学（描述），动力学（原因），能量，应用等几方面。 2. 简谐运动 两种定义：分别从动力学和运动学两个角度进行定义。 回复力：F回 =-kx 即与位移的大小成正比，指向中心位置（与位移的方向相反） 图像：位移时间图象为“波浪线”（正、余弦线）。这种做法在一般的资料上很少见，过去的教材上用这种方法来证明单摆是简谐振动。（二）两种典型简谐运动的模型高中阶段的简谐运动主要讲两种基本模型及它们的变形，下面分别以例题的形式进行证明。证明的规范应包括题设；问题及证明过程。 1. 弹簧振子： （1）水平方向题设：在光滑水平面上，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端连一质点，静止在o点；先将其拉长x距离到达A点。问题：试讨论其所受回复力的特点：如图所示 在A点：弹簧的弹力即是它的回复力，按胡克定律，x是弹簧形变的长度，则有： F回 =kx 如果这时我们赋予x位移的含义，则有：F回 =-kx 因为在简谐运动中，一般情况下把中心位置定义为起点，即位移永远从中心位置向外指；回复力：按照效果命名的话，永远指向中心位置。这样上面的公式就符合简谐运动回复力的定义，即证明其为简谐振动。 （2）竖直方向： 题设：质量为m的质点悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端。如下图：将物体向下拉动x到达A点放手。问题：讨论它所受回复力的情况。讨论：o点：是平衡位置，则有 kxo=mg o1点：是弹簧原长位置 A点：受力：F弹和重力mg 合力即回复力：F回=F弹-mg =k(xo+x)-mg =kxo+kx-mg =kx 赋予x以位移的含义，方向向下，以向上的方向为正方向，则有：F回 =-kx。符合定义，即为简谐振动。（3）用画图像的方法证明弹簧振子为简谐运动。课本上没有提供这一证明方法，我们可以尝试着证明，旧课本在证明单摆是简谐运动时就是采用这样的方法。（在例题中出现）2. 单摆（1）题设：用一较长的轻质绳将一质量为m的很小的小球悬挂起来，让其张开一个较小的角度（5。这也是一个物理模型，绳的条件：较长（比球的直径大得多），轻质；球的条件：体积较小，质量较大；角度的条件：较小。问题：讨论所受回复力的情况讨论：如图：受力分析：正交分解法径向：F合=F向切向：F合=F回=mgsin连接AO构成直角三角形这里面有一个近似需要交代一下：在圆心角非常小的情况下，sin=x/作为一个确定的弹簧振子，为常数k并赋予x位移的含义：则有F回 =-kx，可证明其为简谐振动。 （2）第二种证明方法，即图像法（在例题中出现） （3）说明：单摆的变形问题例如弧形光谱轨道上的小球在中心两侧附近所做的往复运动如下图所示； 轨道半径R相当于摆长。（三）简谐运动的描述 运动学的角度：s=f(t) v=f(t) 动力学的角度：F回=f(t) a=f(t) 能量的角度：Ek=f(t) Ep=f(t) 机械能（E）与振幅（A）描述振动的强弱 往复性的角度：周期与频率 表现：以弹簧振子为例：如图所示以向右的方向为正方向；以B点为起点。 讨论在一个全振动过程中各物理量的变化情况，这个过程比较复杂，这里采用两种方法，列表法描述其在各特殊位置的情况（极值和方向）及其单调性。 BoAoB位移sSmax0- Smax0Smax回复力-Fmax0Fmax0-Fmax加速度a-amax0amax0-amax速度v0-vmax0vmax0动能Ek 0Ekmax0Ekmax0势能EpEpmax0Epmax0Epmax机械能EE恒 无阻尼 振动时不变A恒振幅A周期T等时性决定它们是不变的频率f（四）图像：（讨论四种矢量的时间图像），描述几个矢量的具体变化规律及它们之间的关系。图像的一般规范、形状：代表该物理量随时间变化变化的规律，在这里都是“波浪线”，即正、余弦规律。起点：代表初始情况；界限：代表变化的范围（横向代表周期，纵向代表极值）总结：我们把上述四个图像概括成两种关系：正比关系：回复力与加速度的关系；互余关系：位移与速度的关系，速度与加速度的关系。 这种关系在物理学中常见，在这里概括一下：某物理量与该物理量随时间的变化率之间如果是互余关系，那么二者之间是“此有最大，彼有最小”，“彼在增大，此在减小”的关系。【解题方法指导】简谐振动是高中物理中比较复杂的运动，具有往复性和周期性。答案往往不惟一，知识点比较复杂，零散。在以往的高考中，多以选择题的形式出现如2003，北京特招 ，15；2001，全国，9；2003，全国，7；2000，春招，8。2002，全国，19；下面举两个典型例子。 例1. 有关简谐振动的证明：前面提到过，简谐振动的证明方法还有一种方法，即图象法，下面设计两道例题加以证明。弹簧振子：题设，如图所示，水平方向的弹簧振子模型，设想振子下面安装一支喷墨笔，在其下面平放一长木板，建立如图的坐标系，让木板伴随弹簧振子运动，设速度为v。问题：证明弹簧振子为简谐运动。 证明：木板的运动方向，因速度恒定，所以所走位移与时间成正比t=s/vV，这样就把“时间的痕迹”留在运动方向上了。x方向：为各个时刻该质点的位移，从图像中可以看出，其图像是波浪线，所以证明它是简谐运动。 单摆（请同学们仿照上例自己做） 例2. 有关图像的意义及其变化一般来讲，描述物体的运动规律主要有以下规范：第一：要描述物体的位置随时间的变化规律。第二：要描述物体的状态（速度）随时间的变化规律。 在方法上，主要有两种方法：一种是公式法，一种是图像法。一般资料上显示，用图像的方法描述，简单、直观、明朗，但我们的经验是学生对图像的认识是很困难的，下面分别就位置、速度及其周期性等几方面进行分析，给出一般做法。 在右面的位移时间图像中：（1）质点在各时刻的位置（如A点为正向最大，C点为负向最大）图像在表达位移（x）和速度（v）等矢量时，各有不同的做法，比如：在St图像中，读取某一时刻的位置，只需读出纵坐标即可，连同符号就可以找到质点在该时刻的具体位置。（2）各时刻质点的运动方向：在表达速度时则不同，现在提供两种方法：一是根据st图像，利用我们前面提到的“互余关系”画出它的速度时间图像，这样就可以直接从纵坐标上读取了。二是在st图象中获取速度的信息：其大小要看某一时刻图像上点的切线的斜率的大小，其方向可以运用“延时法”进行判断。在本例题中，我们分别把图像中的E、B、F、D 等点，将时间向后延续少许，看它们是远离了横轴还是靠近了横轴，从而判断它们的运动方向。 注意：这种方法中，时间延续的不能太多，因为运动具有往复性。 o点向下 F点向上 E点向下 D点向下 B点向下 方法：“延时法”（3）再过以后图像的情况：“顺延法”通常情况下，我们描述质点的运动规律是为了研究物体的运动规律，从而预测和展望它将要发生的运动。在这道例题中，要求我们画出再过的图像。我们在前面已经掌握了代表质点运动规律的图像的“形状”了，下面就把这一“形状”向下顺延也就是啦。是谓“顺延法”。上面的例题一般资料上没有，但却存在于简谐振动的各种题目之中，是我们学生所应有的基本功。【考点突破】【考点指要】这部分内容在过去二十年的高考中曾经占有过重要的地位，双解性、多解性非常多见。曾一度占有近二十分之多，随着教材的改革变得越来越简单。2000年以来，只占一道选择题，分数只有六分。而且大都是把振动和波综合到一道题，一般不考虑多解性。2003，北京特招 ，15； 2001，全国，9； 2003，全国，7； 2000，春招，8。 2002，全国，19； 2004，全国，17。 2005，全国一卷，18；二卷，19；三卷，20；2006年全国一卷19，二卷16。【典型例题分析】 例1. 以物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4。在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一圈所经历的时间实际上是（ ）A. 1/4小时 B. 1/2小时 C. 2小时 D. 4小时解析：物体在某行星表面的万有引力是在地球表面的，摆钟的周期与重力加速度的平方根成反比，摆钟在行星上的周期是地球上的周期的2倍，摆钟变慢，分针走一圈需经历2小时，应选C。说明：此题是“摆钟走时”问题。设准确钟的周期、频率、走时数分别为T0、f0、t0，设不准确钟的周期、频率、走时数分别为T、f、t。准确钟与不准确钟机械构造相同，则它的走时数即是振动次数的显示，所以一定有，则所有摆钟走时问题均可依此式求解。根据，一定可以推出钟在地球上的周期T0与在行星上的周期T间的关系，由题设t=1h，由上式得。 例2. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，（ ）A. 若t时刻和（）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍B. 若t时刻和（）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则t一定等于的整数倍C. 若t=T，则在t时刻和（）时刻振子运动的加速度一定相等D. 若，则在t时刻和（）时刻弹簧的长度一定相等解析：选C。如图，某一物体的振动图线，对A选项图中的A、B两点振动位移的大小方向相同，但，A不准确。A、B两点速度大小相等，方向相反，所以A、B均不准确。对于C选项，因为t=T，所以t和t+t时刻，则振子的位移速度、加速度等都将重复变化，加速度是相同的，C正确。对于D，振子位移大小相同方向相反，弹簧的形变相同，但弹簧的长度不一定相同，D不正确。 例3. 图（左）是演示简谐运动等时性的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速的拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO1代表时间轴。 图（右）是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2的速度和的关系为，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2关系为 A. B. C. D. 解析：（选D）设，则，得。 注意：这道题是考查演示实验的一个样板，笔者认为学生在平时学习时对演示实验理解不深透。此点是教学中的一个通病。【综合测试】第一卷（选择题，共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，有的小题有多个选项正确，有的小题只有一个选项正确。全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分）1. 一根弹簧原长为 ，挂一质量为m的物体时伸长x。当把这根弹簧与该物体套在一光滑水平的杆上组成弹簧振子，且其振幅为A时，物体振动的最大加速度为（ ）。A. B. C. D. 2. 一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将（ ）。A. 逐渐增大 B. 逐渐减小C. 先逐渐增大，后逐渐减小 D. 先逐渐减小，后逐渐增大3. 做简谐运动的物体，由最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度越来越大，这是由于（ ）。 A. 加速度越来越大 B. 物体的加速度和运动方向一致 C. 物体的势能转变为动能 D. 回复力对物体做正功4. 物体做简谐运动，在不同时刻通过同一位置时，总相同的物理量是（ ）。 A. 速度 B. 加速度 C. 动量 D. 动能5. 一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随台一起运动。当振动平台处于什么位置时，物体对平台的正压力最大？（ ）。 A. 当振动平台运动到最高点时 B. 当振动平台向下运动经平衡位置时 C. 当振动平台运动到最低点时 D. 当振动平台向上运动经平衡位置时6. 如图所示是一个质点的振动图像，由图可知（ ）。 A. 第1秒内质点做加速度运动 B. 第2秒内质点的势能转变为动能C. 第3秒末质点振动速度最大，而加速度为零 D. 若为单摆，则其摆长约为4m 7. 一个单摆从甲地移到乙地后，发现振动变快了，为了将该单摆的振动调整到原来的快慢，以下的说法中正确的是（ ）。 A. 因为g甲g乙，故应缩短摆长 B. 因为g甲g乙，故应加长摆长 C. 因为g甲g乙，故应缩短摆长 D. 因为g甲g乙，故应加长摆长8. 如图，长度相等的两根悬线分别挂着钢性小球a和b，它们的质量分别为m1和m2，a的悬线与竖直方向的夹角为2，b的悬线与竖直方向的夹角为4，把两个小球由静止同时释放，那么（ ）。A. 两个小球第一次碰撞的位置在悬点的正下方B. 两个小球第一次碰撞的位置在悬点的右方C. 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的右方D. 两个小球第二次碰撞的位置在悬点的左方9. 已知月球上的重力加速度是地球上重力加速度的1/6，一个在地球上周期为6s的单摆，放在月球上，它的周期为（ ）。 A. 1s B. 6s C. 1/ D. 6 10. 如图，同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知（ ）。A. 两摆球质量相等B. 两单摆的摆长相等C. 两单摆同时改变运动方向D. 在相等的时间内，两摆球通过的路程总有S甲=2S乙第卷（非选择题，共80分）二、填空题（每小题6分，共5小题）11. 如图，质量为m的物块放在水平木板上，木板与竖直弹簧相连，弹簧另一端固定在水平面上，今使m随M一起做简谐运动且始终不分离。则物块m做简谐运动的回复力是由_提供的，当振动速度达最大时，m对M压力为_。12. 一质点做简谐运动，从一端到另一端的最短时间为0.1s，距离为10cm，则该质点振动的频率为_，它连续两次通过平衡位置的时间间隔是_，它每秒钟通过的路程是_。13. 一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4。在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是_。14. 车厢下面弹簧的固有频率为2.8Hz，列车行驶在每段铁轨长度为12.5m的铁路上，那么，当列车以_的车速行驶时，车厢振动最强烈。15. 某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，以周期T2为纵轴，以摆长L为横轴，描点作图表示实验结果，实验时他多取了几组T2、L值，通过描述法在T2-L的图像上得到一条通过原点的直线，此直线的斜率k为_，由该直线的斜率即可求出重力加速度，写出重力加速度的表达式_。三、计算题（共4题，50分）16. 如图所示，当小球在两个高为h的光滑斜面之间来回滑动时，小球将做机械振动，如果在运动中小球经过两斜面接口处能量损失不计。求：（1）小球的振动是否为简谐运动？（2）小球的振动周期。17. 如下图，质量为m的弹性小球，用不发生形变的钢性绳a、b悬挂，其中a绳与竖直方向夹角，b绳沿水平方向拉球，若5，则b绳突然断开后，在1s内小球碰撞墙的次数为多少？每次撞击墙面的动能多大？（假定小球和墙面撞击时能量不损失而且不计碰撞时间，a绳长度为L，重力加速度为g）。18. 如图，一光滑小球在一圆弧形凹面内做振幅A=1cm的振动，今测得1cm内完成30次，（计算时取g=10m/s2，） （1）求此凹面的半径。（2）若从小球过B点开始计时，取向右为正方向，试在图（b）中作出一个周期的振动图像。19. 如图，一个小弹丸水平射入一个原来静止的单摆并保留在里面，结果单摆的振动图像如（b）所示，已知摆球的质量为小弹丸质量的5倍，试求小弹丸射入摆球前的速度。【综合测试答案】1. B 提示：弹力最大时，有最大加速度而故。2. C提示：当 时，发生共振。3. B、C、D提示：势能转化为动能，回复力做功。4. B、D提示：同一位置。5. C 提示：具