中值定理与洛必达

罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理统称微分学中值定理 它们在理论上和应用上都有着重大意义 尤其是拉格朗日中值定理 它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系 是研究函数性质的理论依据 学习时 可借助于几何图形来帮助理解定理的条件 结论以及证明的思路 并初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法 第三章中值定理与导数的应用 本章重点 利用导数研究函数以及曲线的性态 如单调性 凹凸性 渐进线等 微分学中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 洛必达法则 计算不定型极限 利用导数证明不等式 1 中值定理 一 罗尔定理 Rolle1652 1719法国 几何意义 AB为 a b 上连续曲线 且除 a b两点外都有切线存在 两端点纵标相等 则在 a b 中至少能找到一点 使这点对应 曲线上的点处的切线平行于x轴 A B x y 0 8 证 f x 在闭区间 a b 上连续 f x 在 a b 必有最大值M及最小值m 有两种情况 1 M m 2 M m 1 若M m 则m f x M f x 为常数 即有 那么 a b 内任一点都可取作 M m时 定理必成立 2 若M m f a f b M m中至少有一个不等于f a 或f b 不妨设M f a 设m f a 同样可证 又设有f M f x 在 a b 可导 由极限的保号性 可见在函数取到最大值与最小值的点处 其导数等于0 例 说明 1 罗尔定理的条件是充分的 但非必要的 1 虽不满足条件 1 3 但仍存在 但若条件都不满足 则一定找不到定理中的 2 特别 当f a f b 0时 Rolle定理可简述为 若f x 在 a b 连续 在 a b 可导 则在函数的两个零点之间 它的一阶导数 至少有一个零点 或一个根 例题讨论 例1 验证罗尔定理对函数f x sinx 在 0 上的正确性 并求出 证 满足罗尔定理条件 罗尔定理成立 例2 证 由Rolle定理 至少存在 例3 证 由Rolle定理 至少存在 证 先证根的存在性 令 由零点定理 必有 例4 再证唯一性 有两个根x1与x2 即 设F x 0在 0 1 又 F x 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 由罗尔定理 必存在 但已知 F x 0只有一个小于1的正根 矛盾 反证 由上述即知 则在x1 x2间有 使 则在x1 x2间有 使 以此类推 若f x 在 0 1 上有二阶导数 且f 1 0 设F x x2f x 试证在 0 1 内至少存在一点 使 例5 证 F x 在 0 1 连续 在 0 1 可导 由题意 则由罗尔定理 又由罗尔定理 这条件很特殊 若取消这条件 AB弦就不一定平行于x轴 此时结论又如何 三 拉格朗日中值定理 Lagrange1736 1813法国 罗尔定理中 拉格朗日中值定理 若函数f x 1 在 a b 上连续 2 在 a b 内可导 则在 a b 内至少存在一点 使得 而右端正是AB弦的斜率 x A B y O a b 1 2 几何意义 式 可写成 在上述条件下 曲线AB上至少有一点 使 f 处的切线平行于AB弦 显然 罗尔定理是L 定理的特殊情况 弦AB平行于x轴 曲线AB与弦AB交于A B点 此处它们的 1 分析 这样就要使两端点函数值相等 为此引进 希望能用罗尔定理来证 辅助函数 x 且要满足 注意 弦AB的方程 f x 为曲线AB上纵坐标 y为弦AB上的纵坐标 差即为0 即 证 至少存在一点 2 证 作辅助函数 f x 在 a b 连续 在 a b 可导 x 在 a b 连续 在 a b 可导 则由罗尔定理 须掌握这种引进辅助函数来证明一些等式的方法 例 设f x 在 a b 连续 在 a b 可导 证明存在一点 分析 由罗尔定理 存在 证明 由条件知 F x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 此类问题的关键是构造合理的辅助函数 可采用反向演绎的思维方式 多掌握一些函数的导数形式 如 1 说明 又称为拉格朗日中值公式 若a b 即在 b a 中 L 定理仍成立 2 注意 此式并不是 式的反向 的范围不同 Lagrange中值定理的另一些形式 3 1 则有 2 设x x x为 a b 内任意两点 则f x 在 x x x 或 x x x 上 仍满足L 定理 在 中令 式即称为有限增量公式 由此L 定理也称为有限增量定理 或微分中值定理 曾知 从L 定理可得以下推论 只是 y的近似式 是 y的精确表达式 它明确表达了函数增量与函数在某点导数的关系 定理 原已知常数的的导数为0 现逆命题也成立 证 由L 定理 由x1 x2的任意性 P 129 说明若两个函数在某一区间内具有相同的导数 则这两个函数仅差一个常数 推论 若f x g x 在 a b 内成立 则在 a b 内 证 由定理 F x C 例题讨论 证 例1 验证拉格朗日中值定理对 满足L 定理的条件 利用L 定理证明一些不等式 例2 证明不等式 证 则f u 在 x y 连续 在 x y 可导 由L 定理 同理 x y 例3 证明 分析 出现函数arctanx在 a b 上的增量 用L 定理 由L 定理 令 证 例4 则f x 在x0处右导数存在 且 即导函数在左端点处的右极限值 该点右导数值 证 要证 得证 课外作业 习题3 1 A 1 2 4 6 8 10 习题3 1 B 2 3 5 6 9 10 12 A B C Y X f b f a g a g b g 四 柯西中值定理 Cauchy1789 1857法国 若曲线AB Y f X 用参数方程表示 与这一事实相应的就是柯西中值定理 注意 柯西中值定理并不是分子分母分别利用拉格朗日中值定理而得 如这样 则 不会是一个 但柯西中值定理中的 是同一个 说明 1 当b a时定理同样成立 并仍有 2 柯西中值定理主要用于证明计算极限的一个非常重要的法则 洛必达法则 此时即为Lagrange中值定理 2 洛必达法则 定理 证 则x0至多是f x g x 的可去间断点 设f x0 0 g x0 0 那么f x g x 在x0的某个邻域内连续 且 除x0外f x g x 可导 由柯西中值定理 x0 x x0 或连续点 说明 同理 例题讨论 求下列极限 0 由例5 6可见 三个函数a x x logax当x 时都是无穷大量 但它们趋于无穷大的快慢程度不同 以指数函数a x的速度最快 幂函数x 次之 对数函数logax最慢 可见一味用洛必达法则 则永远无结果 洛必达法则并不是万能的 一旦做不下去必须改用其它方法 0 若用消去无穷因子法 原定理只说 存在等于A或 则 显然极限不存在 用洛必达法则无意义 问题 答 否 0 0 极限不存在时只能说明洛必达法则失效 应改用以前学的方法求极限 1 0 先适当利用无穷小代换 整理 问题 下列计算是否正确 应如何计算 错 数列极限不能直接使用洛必达法则 非连续变量不可求导 每次使用洛必达法则前 应把函数尽量化简或进行整理 1 恒等式化简 2 约去零 无穷 因子 3 提出非零因子 4 等价无穷小代换随时检验极限的类型 直至求出极限值 注意 1 2 课外作业 习题3 2 A 1 2 然后利用洛必达法则 例1 一般 把求导后函数形式简单的因子放分母上 例2 例3 例4 例5 例6 例7 从以上各例可看出 洛必达法则是计算不定型极限的有利工具 但它并不是计算所有不定型极限的万能工