不等关系与不等式

要点梳理1 两个实数比较大小的方法 1 作差法 6 1不等关系与不等式 2 作商法 2 不等式的性质单向性 1 传递性 a b b c 2 同向相加性 a b c d a c a c b d 3 乘法单调性 a b c 0 a b cb 0 c d 0 a b 0 n N a b 0 n N n 2 双向性 a b ac bc ac bc ac bd b a 3 不等式的一些常用性质 思考 1 倒数性质 a b ab 0 a 0 b a b 0 0 c d 0 a x b或a x b 0 2 有关分数的性质若a b 0 m 0 则 真分数的性质 假分数的性质 基础自测1 若x y 0 a0 则x y的值为 A 大于0B 等于0C 小于0D 符号不能确定解析方法一因为a0 所以y0 所以x 0 所以x y 0 应选A 方法二a0 取a 2得 2y 0 又x y 0 两式相加得x y 0 A 2 设a b为非零实数 若ab2 1 故A错 又故D错 再令a 1 b 4 则ab2 16 a2b 4 故B错 故选C C 3 若a2 b2 则下列不等式成立的是 A a bB C a b D 以上均不对解析a2 b2 a 2 b 2 a b C 4 若a b c为实数 则下列命题正确的是 A 若a b 则ac2 bc2B 若aab b2C 若a b 0 则D 若a b 0 则解析对于选项A c 0时 ac2 bc2 取a 2 b 1知选项C D错 故选B B 5 的一个充分不必要条件是 A x yB x y 0C xy 0或x y 0 B 题型一比较大小 例1 比较下列各组中两个代数式的大小 1 x 3 2与 x 2 x 4 2 当x 1时 x3与x2 x 1 作差 通过分解因式判断差的符号 解 1 x 3 2 x 2 x 4 x2 6x 9 x2 6x 8 1 0 x 3 2 x 2 x 4 题型分类深度剖析 思维启迪 2 x3 x2 x 1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x3 x2 x 1 0 当x 1时 x3 x2 x 1 1 作差法步骤 作差 变形 判断差的符号 作商法的步骤 作商 变形 判断商与1的大小 2 两种方法的关键是变形 常用的变形技巧有因式分解 配方 有理化等 也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的 探究提高 知能迁移1 1 比较x6 1与x4 x2的大小 其中x R 2 设a R 且a 0 试比较a与的大小 解 1 x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 x2 1 当x 1时 x6 1 x4 x2 当x 1时 x6 1 x4 x2 2 当 11时 当a 1或0 a 1时 当a 1时 题型二不等式的性质 例2 使不等式a b成立的充要条件是 A a2 b2B C lga lgbD 可用特殊值代入验证 也可用不等式的性质推证 解析方法一取a 1 b 2 可验证A B C均不正确 故选D 方法二a b 2a 2b 0 思维启迪 D 探究提高 1 判断一个关于不等式的命题的真假时 先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑 找到与命题相近的性质 并应用性质判断命题的真假 当然判断的同时可能还要用到其他知识 比如对数函数 指数函数的性质 2 特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法 在命题真假未定时 先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识 如正好找到一组特殊值使命题不成立 则该命题为假命题 3 说明一个命题为假命题时 可以用特殊值法 但不能用特殊值法肯定一个命题 只能利用所学知识严密证明 在用不等式性质证明命题时 可适当使用一些不等式性质的推广命题 本题就可以利用结论 a b n N n为奇数 则 知能迁移2已知a b c R 则下列推理 a3 b3 ab 0 a2 b2 ab 0 0 a b 1 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析由可知c2 0 即a b 正确 由a3 b3 ab 0可得a b ab 0 即a b 0或bb2 ab 0可得a b 0或ab 0时但a b 0时 故 不正确 0logb 1 a 故 正确 答案C 例3已知1 a b 4 1 a b 2 则4a 2b的取值范围是 解析方法一设u a b v a b 4a 2b 2u 2v u v u 3v 1 u 4 1 v 2 3 3v 6 则 2 u 3v 10 即 2 4a 2b 10 方法二令4a 2b x a b y a b 4a 2b x y a x y b 2 4a 2b 10 答案 2 10 1 用同向不等式求差的范围 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到 2 放缩法 等式 不等式 如 方法与技巧 思想方法感悟提高 3 倒数关系在不等式中的作用 4 作差法 判定不等关系的基本方法 a b a