空间向量及其线运算.doc

空间向量及其线性运算编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。2掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件.3掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件.难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件.学习策略：把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。知识要点梳理知识点一：空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。注意：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量 可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量平行于记作共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。两个规定：（1）与任意向量平行；（2）与任意向量垂直。注意：当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的4.两个向量的夹角已知两非零向量，在空间任取一点O，作向量，则叫做与的夹角，记作。规定：当或时，向量与平行，记作当时，向量与垂直，记作知识点二：空间向量的加减法因为空间任意两个向量是共面的定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。（1）空间向量的加减法运算如图,若，则=如图，若则（指向被减向量），（2）空间向量的加法运算律：加法交换律： 加法结合律：注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则知识点三：空间向量的数乘（1）实数与空间向量的积的定义：实数与向量的积是一个向量，记为，模和方向规定如下：当时，与向量的方向相同当时，当时，与向量的方向相反（2）实数与空间向量的积的运算律：设为实数，则有结合律：第一分配律：第二分配律：（3）共线向量定理和共面向量定理共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与、共面的充要条件是有且只有一对实数 、使知识点四：空间向量的数量积（1）数量积定义已知空间两向量，则叫做的数量积，记作，即注意：空间两向量的数量积是一个实数，实数与空间向量的积是一个向量。（2）空间向量数量积的运算律（交换律）；（分配律）；（3）空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则；或；规律方法指导1空间向量的加法与减法如何进行运算？空间向量中两个向量的加、减可以直接用三角形法则或平行四边形法则解决。而多个向量的加减运算，通常可以利用三角形法则进行推广，在解决立体几何问题时，其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其他向量来表示，首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形，那么和向量为零向量。2共线向量定理的用途是什么？判定两条直线平行；证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。3如何利用向量知识求线段的长度？将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的、已知的或可以求出的。具体求模时，可分为两种不同情况：（1）不建坐标系，直接进行向量运算；（2）建立坐标系，用距离公式求线段长度。4如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到，具体计算时可以用基向量表示，也可