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浅析排列组合的经典十二问楚雄东兴中学 冯显林在现行高中新课标人教版选修2-3第一章计数原理中安排学习排列组合知识；排列组合知识，既是高中数学的重点也是高中数学的难点，更是今后进一步学习“二项式定理”及“随机变量及其分布”的基础，因此学好排列组合显得尤为重要。本文将从以下几类典型的问题入手，探寻解题方法，供同学们参考，给同学们借鉴，让同学们从中受到启发，最终帮助同学们突破难点，度过难关，提升学习效率。以下具体说明。一、元素不受限可重复排列问题-“分步乘法计数原理”例1、有5个班级选3个风景区旅游，的不同的选法是还是？分析：关键词是：班级选风景区；因此，1班有3种不同的选法，2班有3种不同的选法，3班有3种不同的选法，4班有3种不同的选法，5班有3种不同的选法；依据分步计数原理知，符合题意的选法有33333=种。点评：这是一个元素不受限且可重复排列问题，即5个班可同时选一个，两个，或者三个风景区旅游不受任何限制。二、特殊元素或特殊位置问题（受限问题）-“优先法”例2、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）分析：首先应注意几个关键词：数学课排在前3节，英语课不排在第6节，所以英语、数学两门课程受限，是特殊元素，因此应优先考虑。以下将英语课分成两类：（1）当英语课排在前3节时，有种排法，此时数学课有种排法，而余下4门课全排列，有种排法，由分步计数原理知，共有种排法；（2）当英语课排在第4节或第5节时，有种排法，此时数学课有种排法，而余下4门课全排列，有种排法，由分步计数原理知，共有种排法；由分类计数原理知，共有144+144=288种不同的排法。点评：对于排列问题中有特殊元素（受限元素）时应优先考虑特殊元素。例3、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个分析：首先应注意几个关键词：没有重复数字、比20000大、五位、偶数；因为有偶数所以末位（个位）数字最为特殊，应优先考虑其次比20000大，所以首位也特殊；（1）当0在末位时，万位可排2、3、4、5之一，有种排法，而其余各位有种排法，由分步计数原理知，共有种排法；（2）当2或4在末位时，有种排法，万位有种排法，而其余各位有种排法，由分步计数原理知，共有种排法；由分类计数原理知，共有96+144=240种不同的排法。所以选(B)点评：对于排数问题一般情况下，首位和末位（个位）通常是两个比较特殊的位置，需要优先考虑。三、相邻（小团体）问题-“捆绑法”例4、有4名女生，3名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，一共有多少种不同的站法？分析：首先应注意几个关键词：女生必须相邻、男生必须相邻；第一步先把4名女生作为一个整体，看成一个元素；3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排共有种排法；第二步女生内部有种排法，男生内部有种排法；由分步计数原理知，符合题意的排法共有种。点评：一般地，个不同元素排成一排，其中个元素相邻，的排法是：先将个元素“捆绑在一起”暂时看成一个元素与其他元素一起排列，共有种排法；然后再将捆绑在一起的个元素进行内部全排列有种排法，由分步乘法计数原理得：符合条件的排列一共有种。这种解决问题的策略也可看成是先整体后局部。四、不邻（间隔）问题-“插空法”例5、将8名学生站成一排照相，其中甲，乙，丙三名同学不相邻，且不站排头，问有多少种不同的站法？分析：首先应注意几个关键词：不相邻、不站排头；第一步先将除甲，乙，丙三名同学外的其他5名同学排成一排，共有种排法；第二步由于甲，乙，丙三名同学不相邻，且不站排头（注意排尾可以站），所以共有5个空可以插入甲，乙，丙三名同学，共有种排法；由分步计数原理知，符合题意的排法共有种。点评：一般地， 个不同元素排成一排，其中个元素互不相邻，的排法是：先将个元素排成一排，共有种排法，然后将个元素插入个空隙中，共有种排法，由分步乘法计数原理得：符合条件的排列一共有种。五、多排问题-“单排法”例6、将6个不同元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。分析：前后两排可以看成一排的两段，因此本题可以看成是6个不同元素排成一排的全排列，即共有=720种。点评：一般地，把个不同元素排成几排的问题，可以归结为把个不同元素排成一排考虑，共有种排法，即多排问题单排处理。例7、有8人将参加一圆桌会议，8把椅子，问他们的座位共有多少种不同安排的方法？ 分析：将8个人用A、B、C、D、E、F、G、H这8个点表示，如图1；于是这个问题可以看成是8个人排成一排后，再将他们首尾相接，因此我们可以用“剪刀”从点A、B、C、D、E、F、G、H，8个点中的任意相邻两点的空格处“剪开”，从而将“环排问题”转化为“直排问题”如图2；于是这8个点的排法有种，同时这种“剪法”一共有8种，又因8种“剪法”的效果等同，所以他们的座位的不同安排的方法有种。点评：一般地，将个不同元素排在一个圆桌上，它们的不同位置的排法一共有种。即，“环排问题”转化为“直排处理”。六、定序问题-“缩倍法”例8、将6个人排成一排，要求甲要排在乙的左边，乙要排在丙点左边（甲，乙，丙可以不相邻），共有多少种排法？分析：首先应注意几个关键词：甲要排在乙的左边、乙要排在丙点左边、（甲，乙，丙可以不相邻）；6个人排成一排共有种排法；定序元素甲，乙，丙的排列数为，因此符合题意的排法共有种。点评：一般地，在个不同元素的排成中，有个不同的元素定序时，其排法种数为：，即符合条件的排法为，所有元素的全排列除以的定序元素的全排列；七、相同元素分配问题-“隔板法”例9、将12个相同的小球放进4个不同的盒子里，每个盒子至少有一个球，问有多少种方法？分析：首先应注意几个关键词：相同的小球、不同的盒子、每个盒子至少有一个球；先将12个相同的小球排成一排后，在相邻的两个小球之间有一个空，则一共有11个空，然后在这11个空中插入3块挡板（由于每个盒子至少有一个球，所有两端不能放挡板，于是3块挡板就相当于形成四个盒子）如图3， 所示，所以不同方法共有种。点评：一般地，将相同元素的分配到个盒子中的问题，可以先将要分配的个元素排成一排，再在这些元素之间的个空格中，插上个板子（注意两端不能放板子，以保证盒子不空），其中这个板子就相当于构造了个盒子。从而将个相同元素放入了个盒子中的放法数为种。八、交叉问题（多面手问题）-“图示法”例10、某公司有9名翻译，其中6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，一共有有多少种不同的选拔方法？分析：因为有9名翻译，其中6人懂英语，4人懂日语，则必有1人既会英语又会日语（以下称为多面手），如图4 所示，仅懂英语的有5人，仅懂日语的有3人；（1）在选出的5人中“多面手”未入选有种，（2）在选出的5人中“多面手”入选；入选后，若“多面手”担任英语翻译有；若“多面手”担任日语翻译有； 由分类计数原理知，共有+=90种不同的排法。点评：解决交叉问题的关键就是“合理分类，准确分步”；准确地将交叉元素进行分类处理，九、分组问题-“先分堆，后乘除”（一）平均分组问题，“要看有无分配对象”在平均分组问题中，要看是否有分配对象。若没有分配对象，则不管它们的顺序。例11、有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）平均分成三份；。分析：（1）第一步从先6本不同的书任取2本分给甲的方法，有种；第二步在从余下4本书中取2本分给乙的方法，有；第三步，最后将剩余2本分给丙的方法，有，由分步计数原理知，符合题意的分法共有=90种。分析：（2）平均分成3份，共有种。点评：第（1）小题是有分配对象的平均分组问题；，而第（2）小题是没有分配对象的平均分组问题；二者的区别在于；有分配对象时还要乘以组数的全排列，从而约去分母。一般地，把个不同元素平均分成组（每组个元素）；若仅是分组，没有分配对象，则有种分法；把个不同元素平均分成组后，若还有分配对象，则有=种分法。（二）非平均分组问题，“要看是否定向”例12、有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙2本，丙3本；（2）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（3）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本。分析：（1）先从6本书中任选1本给甲，有种方法；再从余下5本中任选2本给乙有，种方法；最后将剩余的3本给丙，有种方法；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有=60种。（2）先从6本书中任选1本作为一份，有种方法；再从余下5本中任选2本作为一份，有种方法；最后将剩余的3本作为一份，有种方法；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有=60种。（3）由（2）的结论将6本不同的书分成3份；一份1本，一份2本，一份3本；的方法共有种，但由于甲、乙、丙三人谁得一本，谁得二本，谁得三本并没有确定，即归属不定向，所以还要针甲、乙、丙三人进行的全排列，依据分步计数原理知，符合题意的分法共有=360种。点评：在非平均分组问题中，关键要看是定向分组还是非定向分组；如本题（1）是定向非平均分组问题，且无分配对象；（2）是定向非平均分组问题，且有分配对象；然而它们的结果相同，这说明：在非平均分组问题中，若是定向分组问题，则不管是否给出分配对象，其分组方法种数相同；（3）是不定向非平均分组问题，则要管是否给出分配对象，当给出分配对象时，还要乘以组数的全排列。（三）部分平均分组问题例13、有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给4人，甲、乙各得1本，丙、丁各得2本；（2）分成4份，两份各1本，两份各2本。分析：（1）先从6本书中任选1本给甲，有种方法；再从余下5本中任选1本给乙有，种方法；再从余下的4本中选2本给丙，有种方法；最后将剩余2本给丁，有种；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有=180种。（2）先将6本不同的书分成1本、1本、2本、2本的四堆，由于两个1本与两个2本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法种数为=45种。点评：（1）是有分配对象的部分平均分组问题，而（2）是没有分配对象的部分平均分组问题，在部分平均分组问题中，对于元素个数相同的组要看是否有分配对象。若没有分配对象，则必须除以组数的全排列。十、涂色问题-“原理法”例14用红、黄、蓝、白、黑这五种不同的颜色，涂在如图3所示的田字形的四个小方格内，一格涂一种颜色，而且相邻两格要涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色分法？分析：做这件事情可以分两类办法：第一类办法：，两格同色，又分以下四步进行：第一步，先从5种不同的颜色中选1种对A涂色，有种方法；第二步，再从余下的4种不同颜色中选1种对B涂色，有种方法；第三步，由于C与A同色，所以给C涂色的方法只有1种；第四步，由于D的颜色不与A、C同色，所以可从不同A、C的4种不同颜色中选1种对D涂色，有种方法；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有1=80种。第二类办法：，两格不同色，又分以下四步进行：第一步，先从5种不同的颜色中选1种对A涂色，有种方法；第二步，再从余下的4种不同颜色中选1种对B涂色，有种方法；第三步，由于C与A不同色，且C与B也不同色，所以再从余下的3种不同颜色中选1种对C涂色，有种方法；第四步，由于D的颜色不与A、C同色，所以可从不与A、C相同的3种不同颜色中选1种对D涂色，有种方法；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有=180种。综上述，依据分类计数原理知，符合题意的分法共有80+180=260种。十一、排组混合问题-“先选后排”例15，将4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，恰有一个空盒的放法有 种。分析：这是一个排列与组合混合的问题，因为恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个小球，固分两步进行：第一步选，先选小球，即从4个不同小球中选出2个小球的方法，有种选法；从而将小球分成2个、1个、1个，共3堆；再选盒子，即从4个盒子中选出3个，有种选法；第二步排，将3堆小球看成3个元素对选出的3个盒子作全排列，有种排法；固依据分步计数原理知，符合题意的排法共有=144种。点评：解决本题的关键是先选小球，再选盒子，完成双向选择后，再进行全排列。十二、直接求解繁琐问题-“合理转化、另辟奚径”例16，从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含一名女生，则有多少种不同的选法？分析：首先应注意几个关键词：选出3名代表，至少包含一名女生，而至少包含一名女生的对立事件是没有女生（即全