微积分第6章习题课2013-12.doc

区域定义邻域空间中点的邻域为 平面上点的邻域为 点集开集所有点都是内点的点集闭集开集连同边界构成的点集连通集任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域多元函数定义D为平面上非空点集，如果对D中任一点，按某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称为D上的二元函数，记，D为定义域。几何意义：为空间曲面，D为曲面在面上投影。可定义三元及以上函数。二重极限当时，恒有，则称。注：其中为任意方式。从而若以不同方式趋于时，无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。函数连续若，则函数在连续。初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。偏导数偏导数定义性质也记为同理可定义几何意义：的偏导数表示空间曲线在点处的切线关于轴的斜率偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。高阶偏导数若函数的偏导数在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果的二阶混合偏导数在区域D内连续，则在D内这两个偏导数相等。全微分及其应用定义 如果函数在点的全增量可表示为，其中与无关，则称函数在点可微，全微分。性质（1）若函数在可微，则在连续（2）若函数在可微，则；从而若，则函数在不可微。（3）若函数在可微，则在偏导数存在，且（4）若函数在的某邻域存在偏导数且，在连续，则函数在可微，且全微分应用若函数在的某邻域内偏导数，在连续，且都比较小时，有全增量近似公式 函数值近似公式复合函数微分法类型求导法则: 分段用乘、分叉用加、单路全导、叉路偏导复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且复合函数中间变量为多元函数情形如果函数及在点处可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导，且，复合函数中间变量既有一元函数又有多元函数的情形如果函数及在点处可导函数在点可导，函数在对应点出具有连续偏导数，则复合函数在对应点处可导， 且，注：若，则；其中为对中间变量的偏导数，此时应将中变量看做常数；而为对自变量的偏导数，此时将自变量看为常数。与区别同上。隐函数微分分类法则一个方程情形若二元方程确定一元隐函数，则若三元方程确定二元隐函数，则多元函数极值多元函数极值定义性质函数在点某领域内有定义，对领域内任一异于的点，如果，则称函数在点取得极大（小）值，为极值点。1.（必要条件）函数在点处具有连续偏导数，且在点有极值，则必有。（可推广至多元函数）2.（充分条件）函数在点处具有二阶连续偏导数，且，令，则（1）当时，函数在处有极值，且时有极小值，时有极大值。（2）当时，函数在处没有极（3）当时，不确定。条件极值求函数在条件下的极值的方法：方法一：化为无条件极值。即在方程下解出，代入目标函数，按无条件极值计算。方法二：拉格朗日乘子法。即作辅助函数由解出可能极值点，而后判断是否为所求。注：若约束条件不止一个，可增加拉格朗日乘子。如：函数在条件，下的极值，则作辅助函数二重积分定义性质 计算法利用直角坐标计算把D写成X型区域把D写成Y型区域利用极坐标计算Page42 6-6 3求由方程确定的函数的极值。知识点：多元函数极值、隐函数求导思路：先按隐函数求导法则求出函数偏导数，然后解方程组得出函数的驻点，然后求出函数二阶偏导数，确定驻点处A,B,C 的值，依据符号判定是否为极值点。解： 方法一：在方程两边同时对x求偏导得 在方程两边同时对求偏导得: 解方程组得 驻点 ，且时或又 故 时 ，又，故函数在点处取得极小值时 ，又，故函数在点处取得极小值Page48 6-7 5.试用二重积分性质证明不等式，其中：，.证明：当时，由重积分的性质即得，证毕。1. 证明不存在。解： 若沿轴趋于，则若沿轴趋于，则故函数极限不存在。2. 讨论函数在处的连续性，偏导数和可微性。解： （1）， 又 ，且 故 ，函数在连续。（2） （3） 若函数在处可微，则 考虑 故函数在不可微。3. 设，其中都具有一阶连续偏导数，且，求。解： 由可知为的函数，两边关于求导数得 ，故 所以 4. 设，确定函数，求 解： 由题意知方程组确定两个函数在方程组两边求微分，得 得 从而 得 从而 故 16.计算以面上的由圆周所围成的闭区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。解：将底：用极坐标表示,利用积分区域和被积函数的对称性，所求体积Page26(1)，其中是由，及所围成的区域。解：（1）视为型区域，P63 27 改变下列二次积分的积分次序（1）（2）（）解：（1）积