2020新课标高考艺术生数学复习：函数的奇偶性与周期性含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：函数的奇偶性与周期性含解析编 辑：_时 间：_第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲核心素养考情聚焦1.结合具体函数、了解函数奇偶性的概念和几何意义2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3.结合三角函数、了解函数周期性的概念和几何意义4.会运用函数的图象理解和研究函数的周期性1.判断函数的奇偶性、发展数学抽象和逻辑推理素养2.函数奇偶性的应用、发展逻辑推理和数学运算素养3.函数周期性的应用、发展数学抽象和逻辑推理素养4.函数基本性质的综合应用、提升逻辑推理和数学运算素养函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点、常与函数的求值、图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题、函数的周期性也经常会涉及到三角函数或抽象函数、并且考查力度逐年加大本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现、难度不会太大、属于低中档题、主要考查考生对函数性质的理解及应用能力1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x、都有f(x)f(x)、那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x、都有f(x)f(x)、那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)、如果存在一个非零常数T、使得当x取定义域内的任何值时、都有f(xT)f(x)、那么就称函数yf(x)为周期函数、称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数、那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义、即f(0)有意义、那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数、那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内、奇函数奇函数偶函数、奇函数奇函数偶函数、偶函数偶函数偶函数、偶函数偶函数偶函数、奇函数偶函数奇函数2函数周期性的三个常用结论对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a0)：(1)若f(xa)f(x)、则T2a；(2)若f(xa)、则T2a；(3)若f(xa)、则T2a.3函数对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数、即f(ax)f(ax)、则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)、则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数、即f(xb)f(xb)0、则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)函数yx2、x(0、)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点、奇函数的图象一定过原点( )(3)如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的偶函数、则F(x)f(x)g(x)是偶函数( )(4)若函数yf(xa)是偶函数、则函数yf(x)关于直线xa对称( )(5)若函数yf(xb)是奇函数、则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称(6)函数f(x)为R上的奇函数、且f(x2)f(x)、则f(2 020)0.( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数、那么ab的值是( )AB.C.D解析：B依题意b0、且2a(a1)、a、则ab.2下列函数为奇函数的是( )Ay2x Byx3sin xCy2cos x1 Dyx22x解析：A由函数奇偶性的定义知、B、C中的函数为偶函数、D中的函数为非奇非偶函数、只有A中的函数为奇函数、故选A.3(20xx市一模)设偶函数f(x)对任意xR、都有f(x3)、且当x3、2时、f(x)4x、则f(107.5)( )A10 B. C10 D解析：B因为f(x3)、故有f(x6)f(x)、所以函数f(x)是以6为周期的函数所以f(107.5)f(6175.5)f(5.5).4(20xx全国卷)设f(x)为奇函数、且当x0时、f(x)ex1、则当x0时、f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析：D当x0时、x0、f(x)ex1、又f(x)f(x)、f(x)ex1、即f(x)ex1.5(人教A版教材P39A组T6改编)设奇函数f(x)的定义域为5,5、若当x0,5时、f(x)的图象如图所示、则不等式f(x)0的解集为_解析：由图象可知、当0x2时、f(x)0；当2x5时、f(x)0、又f(x)是奇函数、当2x0时、f(x)0、当5x0.综上、f(x)0的解集为(2,0)(2,5答案：(2,0)(2,5考点一判断函数的奇偶性(自主练透)题组集训1下列函数为奇函数的是( )AyBy|sin x|Cycos x Dyexex解析：D因为函数y的定义域为0、)、不关于原点对称、所以函数y为非奇非偶函数、排除A项；因为y|sin x|为偶函数、所以排除B项；因为ycos x为偶函数、所以排除C项；因为yf(x)exex、f(x)exex(exex)f(x)、所以函数yexex为奇函数、故选D项2设函数f(x)、g(x)的定义域都为R、且f(x)是奇函数、g(x)是偶函数、则下列结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：C依题意得对任意xR、都有f(x)f(x)、g(x)g(x)、因此、f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)、f(x)g(x)是奇函数、A项错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)、|f(x)|g(x)是偶函数、B项错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|、f(x)|g(x)|是奇函数、C项正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|、|f(x)g(x)|是偶函数、D项错3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)由得x23、解得x、即函数f(x)的定义域为、从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)、函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)、关于原点对称x20、|x2|2x、f(x).又f(x)f(x)、函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(、0)(0、)、关于原点对称当x0、则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时、x0、则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x、总有f(x)f(x)成立、函数f(x)为奇函数判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法“奇奇”是奇、“奇奇”是奇、“奇奇”是偶、“奇奇”是偶；“偶偶”是偶、“偶偶”是偶、“偶偶”是偶、“偶偶”是偶；“奇偶”是奇、“奇偶”是奇提醒：“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系、只有对各段上的x都满足相同的关系时、才能判断其奇偶性考点二函数奇偶性的应用(多维探究)命题角度1利用奇偶性求函数值1(20xx市一模)若函数f(x)为奇函数、则f(g(3)( )A3B2C1D0解析：B法一：函数f(x)为奇函数、g(3)f(3)(log332)1、f(g(3)f(1)log312022.故选B.法二：当x0、f(x)log3(x)2、f(x)f(x)log3(x)2、即g(x)log3(x)2、g(3)log3321、f(g(3)f(1)log312022.故选B.命题角度2利用奇偶性求参数值2若函数f(x)xln (x)为偶函数、则a_.解析：法一：由题意得f(x)xln (x)f(x)xln (x)、所以x、解得a1.法二：由f(x)为偶函数、得g(x)ln (x)为奇函数、则有g(x)g(x)、即ln (x)ln 、所以x、解得a1.答案：1命题角度3利用奇偶性求解析式3(20xx全国卷)已知f(x)是奇函数、且当x0时、f(x)eax、若f(ln 2)8、则a_.解析：f(ln 2)f(ln 2)e(aln 2)eln 2a2a8、a3.答案：3命题角度4利用奇偶性的图象特征解不等式典例已知yf(x)是偶函数、yg(x)是奇函数、它们的定义域是3,3、且它们在x0,3上的图象如图所示、求不等式0的解集逻辑推理函数图象与性质在函数中具体应用的核心素养具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理yf(x)是偶函数偶函数的图象关于y轴对称、奇函数的图象关于原点对称解分式不等式0f(x)g(x) 0x0,3时、由图象直接判断；x3,0时、根据奇偶性补全图象后判断取并集、得到分式不等式的解集yg(x)是奇函数定义域是3,3、且它们在x0,3上的图象如图所示题干已给出x0,3上的图象、可根据奇偶性的图象特征补上x3,0上的图象不等式0 此分式不等式可等价转化为分子、分母相乘的不等式、最终还是判断f(x)与g(x)在定义域内的正负值情况 解析第一步根据奇偶性补全函数f(x)和g(x)在整个定义域上的图象yf(x)是偶函数、yg(x)是奇函数、根据函数图象的奇偶性画出yf(x)、yg(x)在3,0上的图象如图所示、第二步将分式不等式等价转化0等价于或第三步根据图象、分别解两个不等式组由图可知f(x)0、g(x) 0时、2x1或0x1、f(x)0、g(x)0时、2x3.第四步根据求解结果取并集可求得其解集是x|2x1或0x1或2x3画函数图象：根据奇偶函数的图象特征可画出另一对称区间上的图象、进而利用整个定义域上的图象解不等式或判断单调性跟踪训练已知f(x)是定义在R上的奇函数、当x0时、f(x)x22x、若f(2a2)f(a)、则实数a的取值范围是( )A(、1)(2、)B(1,2)C(2,1)D(、2)(1、)解析：Cf(x)是奇函数、当xf(a)、得2a2a、解得2a1.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上、再利用奇偶性求出、或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)、从而得到f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解、根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式、由系数的对等性得参数的值或方程(组)、进而得出参数的值(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性考点三函数周期性的应用(师生共研)典例(1) x为实数、x表示不超过x的最大整数、则函数f(x)xx在R上为( )A奇函数B偶函数C增函数 D周期函数(2)(20xx市一模)已知函数f(x)是(、)上的奇函数、且f(x)的图象关于x1对称、当x0,1时、f(x)2x1.则f(20xx)f(2020)的值为( )A2B1C0D1解析(1)作出函数f(x)的图象、由图象可知选D.(2)函数f(x)是(、)上的奇函数、且f(x)的图象关于x1对称、f(x)f(x)、由图象关于x1对称、得f(1x)f(1x)、即f(x)f(2x)f(x)、f(4x)f(2x)f(x)、周期T4.当x0,1时、f(x)2x1、f(20xx)f(2020)f(1)f(0)f(1)f(0)21111.故选B.答案(1)D(2)B(1)判断函数周期性的两个方法定义法图象法(2)函数周期性的重要应用利用函数的周期性、可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题、转化为已知区间上的相应问题、进而求解易错警示：应用函数的周期性时、应保证自变量在给定的区间内跟踪训练1已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数、对任意的实数x、f(x2)f(x2)、当x(0,2)时、f(x)x2、则f( )A B C. D.解析：D由f(x2)f(x2)、可知函数f(x)的最小正周期T4、又由于该函数是奇函数、故ffff.2已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数、且当0x2时、f(x)x3x、则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为( )A6 B7 C8 D9解析：Bf(x)是最小正周期为2的周期函数、且0x2时、f(x)x3xx(x1)(x1)、当0x2时、f(x)0有两个根、即x10、x21.由周期函数的性质知、当2x4时、f(x)0有两个根、即x32、x43；当4xg(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)7(20xx市模拟)已知函数f(x)2x2x、则不等式f(2x1)f(1)0的解集是_解析：根据题意、有f(x)2x2x(2x2x)f(x)、则函数f(x)为奇函数、又函数f(x)在R上为增函数、f(2x1)f(1)0等价于f(2x1)f(1)、即f(2x1)f(1)、所以2x11、解得x1、即不等式的解集为1、)答案：1、)8若f(x)k2x2x为偶函数、则k_、若f(x)为奇