高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法习题课课件新人教A版

第二章 2 2直接证明与间接证明 习题课综合法和分析法 加深对综合法 分析法的理解 应用两种方法证明数学问题 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一综合法 答案 问题导学新知探究点点落实 定义 定理 公理 推理论证 结论 已知条件 定义 定理 公理 证明的结论 知识点二分析法 结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 答案 知识点三分析综合法 分析法与综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 因此常将二者交互使用 互补优缺点 从而形成分析综合法 其证明模式可用框图表示如下 返回 其中P表示已知条件 定义 定理 公理等 Q表示可证明的结论 Pn P Q Qm 类型一利用综合法与分析法解决函数问题 解析答案 题型探究重点难点个个击破 例1设f x ax2 bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 f x 为偶函数 只需证明其对称轴为x 0 只需证a b 解析答案 欲证F x 为偶函数 只需证F x F x 函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 而函数f x 与f x 的图象也是关于y轴对称的 f x f x 1 解析答案 解析答案 f x 在定义域 1 上单调递增 又 x 0 f x f 0 0 类型二利用综合法与分析法解决数列问题 解析答案 例2在某两个正数x y之间 若插入一个数a 则能使x a y成等差数列 若插入两个数b c 则能使x b c y成等比数列 求证 a 1 2 b 1 c 1 要证 a 1 2 b 1 c 1 解析答案 即证2a b c 只需证b3 c3 b c b2 c2 bc b c bc 即证b2 c2 bc bc 即证 b c 2 0 因为上式显然成立 所以 a 1 2 b 1 c 1 跟踪训练2设实数a b c成等比数列 非零实数x y分别为a与b b与c的等差中项 试证 解析答案 证明由已知条件得b2 ac 2x a b 2y b c 只要证ay cx 2xy 只要证2ay 2cx 4xy 由 得2ay 2cx a b c c a b ab 2ac bc 4xy a b b c ab b2 ac bc ab 2ac bc 所以2ay 2cx 4xy 命题得证 类型三综合法与分析法在三角形中的应用 例3设a b c为任意三角形三边长 I a b c S ab bc ca 试证 3S I2 4S 解析答案 反思与感悟 证明I2 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a2 b2 c2 2S 欲证3S I2 4S 即证ab bc ca a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 先证明ab bc ca a2 b2 c2 只需证2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 即 a b 2 a c 2 b c 2 0 显然成立 再证明a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 只需证a2 ab ac b2 ab bc c2 bc ca 0 解析答案 反思与感悟 即a a b c b b a c c c b a 0 只需证a b c 且b c a 且c b a 由于a b c为三角形的三边长 上述三式显然成立 故有3S I2 4S 反思与感悟 反思与感悟 1 本题要证明的结论要先进行转化 可以使用分析法 对于连续不等式的证明 可以分段来证 使证明过程层次清晰 证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式 其中常用的有如下几个 1 a2 0 a R 2 a b 2 0 a b R 其变形有a2 b2 2ab 反思与感悟 4 a2 b2 c2 ab bc ca a b c R 2 涉及到三角形中的证明问题常用的知识点是 1 两边之和大于第三边 2 余弦定理 3 正弦定理 跟踪训练3已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 对应的三边为a b c 求证 解析答案 而由题意知A C 2B 解析答案 类型四立体几何中位置关系的证明 例4如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 证明 CD AE 解析答案 证明在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD CD 底面ABCD PA CD AC CD PA AC A CD 平面PAC 而AE 平面PAC CD AE 2 证明 PD 平面ABE 证明由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 由 1 知 AE CD 且PC CD C AE 平面PCD 而PD 平面PCD AE PD PA 底面ABCD PA AB 又AB AD AB 平面PAD AB PD 又AB AE A 综上得PD 平面ABE 解析答案 反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点 利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线 线面以及面面之间垂直关系的转化 另外 利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化 比如 两条平行线中一条垂直于平面 则另外一条也垂直于平面 垂直于同一条直线的两个平面相互平行等 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 EF AC AB CE EF 1 1 求证 AF 平面BDE 证明如图 设AC与BD交于点G 因为EF AG 且EF 1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以AF EG 因为EG 平面BDE AF 平面BDE 所以AF 平面BDE 证明连接FG 因为EF CG EF CG 1 且CE 1 所以四边形CEFG为菱形 所以CF EG 因为四边形ABCD为正方形 所以BD AC 又因为平面ACEF 平面ABCD 且平面ACEF 平面ABCD AC 所以BD 平面ACEF 所以CF BD 又BD EG G 所以CF 平面BDE 2 求证 CF 平面BDE 返回 解析答案 1 若a b 0 则下列不等式中不正确的是 A a2 abB ab b2C D a2 b2 解析答案 达标检测 C 1 2 3 4 答案 1 2 3 4 2 要证a2 b2 1 a2b2 0 只要证明 A 2ab 1 a2b2 0 D 解析答案 1 2 3 4 3 已知方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0的四个根组成一个首项为的等比数列 则 m n 1 2 3 4 解析方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0 可得x2 mx 2 0或x2 nx 2 0 设x2 mx 2 0的两根分别为x1 x2 则x1 x2 m x1x2 2 设x2 nx 2 0的两根为x3 x4 则x3 x4 n x3 x4 2 解析答案 1 2 3 4 x3 1 x4 2 n 3 解析答案 1 2 3 4 4 已知a b c为 ABC的三边 x R 求证 方程a2x2 b2 a2 c2 x c2 0没有实数根 1 2 3 4 证明已知a b c为 ABC的三边 x R 和方程a2x2 b2 a2 c2 x c2 0 根据根的判别式可知 b2 a2 c2 2 4a2c2 b2 a2 c2 2ac b2 a2 c2 2ac b a c b a c b a c b a c 又因为a b c是 ABC的三边 故b a c 0 b a c 0 b a c0 所以 b a c b a c b a c b a c 0 故方程a2x2 b2 a2 c2 x c2 0没有实数根 返回 规律与方法