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古典概型习题课 1 基本事件有如下两个特点 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 2 一般地 一次试验有下面两个特征 1 有限性 即在一次试验中 可能出现的结果只有有限个 即只有有限个不同的基本事件 2 等可能性 每个基本事件发生的可能性是均等的 称这样的试验为古典概型 判断一个试验是否是古典概型 在于该试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和等可能性 互斥 基本事件的和 3 如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件A包括的结果有m个 那么事件A的概率P A 判断下列命题正确与否 1 掷两枚硬币 等可能出现 两个正面 两个反面 一正一反 3种结果 2 某袋中装有大小均匀的三个红球 两个黑球 一个白球 那么每种颜色的球被摸到的可能性相同 3 从 4 3 2 1 0 1 2中任取一数 取到的数小于0和不小于0的可能性相同 4 分别从3名男同学 4名女同学中各选一名做代表 那么每个同学当选的可能性相同 5 5人抽签 甲先抽 乙后抽 那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同 解 求古典概型的步骤 1 判断是否为等可能性事件 2 列举所有基本事件的总结果数n 3 列举事件A所包含的结果数m 4 计算 当结果有限时 列举法是很常用的方法 1 将一个骰子先后抛掷2次 观察向上的点数 问 1 共有多少种不同的结果 2 两数之和是3的倍数的结果有多少种 3 两数之和是3的倍数的概率是多少 第二次抛掷后向上的点数 123456 第一次抛掷后向上的点数 654321 解 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 2 记 两次向上点数之和是3的倍数 为事件A 则事件A的结果有12种 3 两次向上点数之和是3的倍数的概率为 解 记 两次向上点数之和不低于10 为事件B 则事件B的结果有6种 因此所求概率为 变式1 两数之和不低于10的结果有多少种 两数之和不低于10的的概率是多少 变式 点数之和为质数的概率为多少 变式 点数之和为多少时 概率最大且概率是多少 解 点数之和为7时 概率最大 且概率为 789101112678910115678910456789345678234567 解决此类题用到了图表法 2 某口袋内装有大小相同的5只球 其中3只白球 2只黑球 从中一次摸出2只球 1 共有多少个基本事件 2 摸出的2只球都是白球的概率是多少 解 1 分别记白球为1 2 3号 黑球为4 5号 从中摸出2只球 有如下基本事件 摸到1 2号球用 1 2 表示 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 因此 共有10个基本事件 2 如下图所示 上述10个基本事件的可能性相同 且只有3个基本事件是摸到2只白球 记为事件A 3 甲 乙两人参加法律知识竞答 共有10道不同的题目 其中选择题6道 判断题4道 甲 乙两人依次各抽一题 1 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 2 甲 乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 解甲 乙两人从10道题中不放回地各抽一道题 先抽的有10种抽法 后抽的有9种抽法 故所有可能的抽法是10 9 90种 即基本事件总数是90 1 记 甲抽到选择题 乙抽到判断题 为事件A 下面求事件A包含的基本事件数 甲抽选择题有6种抽法 乙抽判断题有4种抽法 所以事件A的基本事件数为6 4 24 4 5张奖券中有2张是中奖的 首先由甲然后由乙各抽一张 求 1 甲中奖的概率P A 2 甲 乙都中奖的概率 3 只有乙中奖的概率 4 乙中奖的概率 解 1 甲有5种抽法 即基本事件总数为5 中奖的抽法只有2种 即事件 甲中奖 包含的基本事件数为2 故甲中奖的概率为P1 2 甲 乙各抽一张的事件中 甲有五种抽法 则乙有4种抽法 故所有可能的抽法共5 4 20种 甲 乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种 故P2 3 由 2 知 甲 乙各抽一张奖券 共有20种抽法 只有乙中奖的事件包含 甲未中 和 乙中 两种情况 故共有3 2 6种基本事件 P3 4 由 1 可知 总的基本事件数为5 中奖的基本事件数为2 故P4 解 5 2007 宁夏文 20 设有关于x的一元二次方程x2 2ax b2 0 1 若a是从0 1 2 3四个数中任取的一个数 b是从0 1 2三个数中任取的一个数 求上述方程有实根的概率 解设事件A为 方程x2 2ax b2 0有实根 当a 0 b 0时 方程x2 2ax b2 0有实根的充要条件为a b