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物理用数学初步 微积分 面临的问题 物理学研究物体的运动 大家知道物体的瞬间速度怎么算 比如 x const t x const t 2 学过牛顿力学的同学都知道加速度 那么物体的瞬间加速度怎么算 比如 v const t v const t 2 大家知道如何在匀 加 速运动中求物体位置随时间的变化 那么在一般情况下 如何求物体在某时间间隔内跑了多远 比如 v const v const t v const t 2 在一般的加 减速运动中 物体在某时间间隔内速度变化了多少 比如 a const a const t 微分 导数 面临的问题 物理学研究物体的运动 大家知道物体的瞬间速度怎么算 比如 x const t x const t 2 学过牛顿力学的同学都知道加速度 那么物体的瞬间加速度怎么算 比如 v const t v const t 2 微分 无穷小之比 速度 位移变量与时间之比加速度 速度变量与时间之比 微分 0 0存在吗 0 0在很多情况下是可算的 例 无穷小的等级 如dx为无穷小 则dxn为n阶无穷小如dy dx为有限大小 则两则为同阶无穷小 例子 瞬时速度举例 标记 微分的几何解释 微分 导数为曲线的斜率 切线与横轴夹角的正切 二阶及高阶导数 附加内容 二阶导数 导数的导数 积分 面临的问题 大家知道如何在匀 加 速运动中求物体位置随时间的变化 那么在一般情况下 如何求物体在某时间间隔内跑了多远 比如 v const v const t v const t 2 在一般的加 减速运动中 物体在某时间间隔内速度变化了多少 比如 a const a const t 积分 无穷小之和 位移 速度与时间之积 积分 定积分 跑了多远 无穷多的无穷小之和存在吗 公元前5世纪 芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论 他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始 并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍 当比赛开始后 若阿基里斯跑了1000米 设所用的时间为t 此时乌龟便领先他100米 当阿基里斯跑完下一个100米时 他所用的时间为t 10 乌龟仍然前于他10米 当阿基里斯跑完下一个10米时 他所用的时间为t 100 乌龟仍然前于他1米 芝诺解说 阿基里斯能够继续逼近乌龟 但决不可能追上它 极限 如何算积分 不定积分 附加内容 不
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