数学北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定.docx

第一章 特殊平行四边形1.3 正方形的性质与判定（二）教学目标: 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.发展学生初步的综合推理能力 2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力. 3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.教学重点：掌握正方形的判定条件.教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.教学过程：一、创设问题情景，引入新课我们学习了那些特殊的平行四边形，他们的定义是什么？它们之间有怎样的共同点、包含关系？如何判定？矩形、菱形、正方形，二、讲授新课1探索正方形的判定条件：（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形； （2）定义的变形：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.可以作为判定定理使用。例1 如图，在矩形ABCD中，BE平分ABC，CE平分DCB，BFCE，CFBE.求证：四边形BECF是正方形.解：BFCE，CFBE，四边形BECF是平行四边形.四边形ABCD是矩形，ABC=90，DCB=90.又BE平分ABC，CE平分DCB，EBC=ABC=45，ECB=DCB=45.EBC=ECB.EB=EC.平行四边形BECF是菱形.在EBC中，EBC=45，ECB=45，BEC=90.菱形BECF是正方形.（3） 对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，同样，也可以证明先对角线相等的菱形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。 学生活动：板演证明学生练习：1、判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.（1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.师生共析：（1） 是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.（2） 真命题，由.四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.（3） 假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图，满足AO=CO，BO=DO且ACBD但四边形ABCD不是正方形. （4） 假命题，它可能是任意四边形.如上图，ACBD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.（5） 真命题。2、实践操作检验将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？解：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45角即可.例2 例3 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，（1）EF与对角线AC有怎样的位置和数量关系？HG呢？（2）四边形EFGH的形状有什么特征？解：（1）EF=GH= AC,EFHGAC，（2）EFHG，EF=HG，四边形EFGH是平行四边形问题拓展：如果例2中四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？解：如图所示. 平行四边形的中点四边形为平行四边形； 矩形的中点四边形为菱形； 菱形的中点四边形为矩形； 正方形的中点四边形为正方. 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.学情分析，本节课是在学生已经学习了特殊的平行四边形中的菱形、矩形的基础上，学习正方形的判定是对特殊的平行四边形判定的一个归纳总结和提高。【补充例题】如下图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF=45，试说明EF=BE+DF.师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法.解：将ADF旋转到ABC，则ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四边形是正方形， ADFBAE=45，GABBAE=45，即GAE=45，AEFAEG（SAS），EF=EG=EBBG=EBDF。讨论：你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗？说出你的做法.你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下.三、随堂练习 教材P24通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.自学反馈1.已知四边形中，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A. B. C. D.2.下列命题正确的是（ ）A.两条对角线相等的菱形是正方形B.对角线与一边的夹角是45的四边形是正方形C.两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3.在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）A.， B.，C.D.4.菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）5.如图，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为则四边形是 形四、课时小结师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用.五、课后作业习题 1.8的 1-3题.活动2 跟踪训练1.如图，在中，平分，垂足分别为、，求证：四边形是正方形.2.如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，ABF=CG=DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论.3.如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形课堂小结 1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？六、板书设计： （课题）复习： 判定方法： 讨论： 例1. 正方形与矩形 例2. 补例.正方形与菱形方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.菱 形方法二：对角