基于EMD算法的滤波系统设计

摘摘 要要 快速傅里叶 Wigner Ville 变换 小波变换在分析非线性非平稳信号时都存在 着各自的缺陷与不足 为了更好地解决这些问题 本文采用了经验模态分解 EMD Empirical Mode Decomposition 来对信号进行分析和滤波 EMD 分解将复 杂信号分解成有限个固有模态函数 IMF Intrinsic Mode Functions 之和 具有很 高的频率分辨率和自适应性 本文对经验模态分解整个理论体系进行了深入的研 究 重点研究了 EMD 时频分析的应用和基于 EMD 的滤波方法 本文首先引入了瞬时频率的概念 论述了 IMF 的基本概念和 EMD 分解算法 原理 并且分析了 EMD 算法的特点 结合 IMF 给出了边际谱和 Hilbert 谱的物理 含义 对整个 EMD 时频分析理论进行了详细的论述 分析 EMD 时频分析方法 在模态混叠 停止准则等方面存在的不足 然后通过仿真实验将 EMD 时频分析 方法与传统的时频分析方法进行了比较研究 验证了 EMD 时频分析方法具有很 高的时频分辨率 最后研究了基于 EMD 的滤波方法 验证了该方法的有效性及 优越性 关键词 经验模态分解 时频分析 HHT 谱 ABSTRACT Fast Fourier Wigner Ville transform and wavelet transform have their own flaws and shortcomings when anglicizing the nonlinear and non stationary signals In order to solve these problems the empirical mode decomposition EMD Empirical Mode Decomposition used to signal analysis and filtering in this article EMD decomposes a complex signal into a finite number of IMF Intrinsic Mode Functions and EMD is a high frequency resolution and adaptive method In this paper the entire theoretical systems of empirical mode decomposition have been researched deeply focused on the filtering methods based on EMD and EMD application of time frequency analysis In this article the concept of instantaneous frequency is introduced firstly Then the basic concepts of IMF and principles of EMD decomposition algorithm are discussed and the characteristics of the EMD algorithm are analyzed Combined with IMF it is given that the physical meaning of the Hilbert marginal spectrum and the Hilbert spectrum are formulated and the theories of the whole time frequency analysis are discussed in detail Besides the problem of EMD time frequency method is also analyzed including modes mixing end effect sifting stop condition and so on Secondly compared to traditional time frequency analysis methods show that EMD spectrum has perfect time frequency concentration Finally study the EMD based filtering method and verified the validity and the superiority of the method Keywords Keywords EMD time frequency analysis HHT spectrum 目目 录录 第第 1 1 章章 绪论绪论 1 1 1 1 课题的研究背景和意义 1 1 2 EMD 方法的提出 3 1 3 EMD 方法的研究发展概况 4 1 4 论文结构与安排 5 第第 2 2 章章 EMDEMD 时频分析的基本理论时频分析的基本理论 7 7 2 1 EMD 方法的基本概念 7 2 2 EMD 方法的基本原理 8 2 3 基于 EMD 的 HHT 时频分析 12 2 4 EMD 算法存在的问题及改进 13 2 5 本章小结 15 第第 3 3 章章 EMDEMD 时频分析方法的应用时频分析方法的应用 1616 3 1 EMD 时频分析仿真及性能比较 16 3 2 EMD 在信号趋势提取中的应用 19 3 3 EMD 时频分析在奇异信号检测中的应用 21 3 4 本章小结 24 第第 4 4 章章 基于基于 EMDEMD 的滤波器设计及仿真的滤波器设计及仿真 2525 4 1 传统的信号滤波和 EMD 滤波 25 4 2 EMD 的二进滤波特性及仿真 26 4 3 基于 EMD 的滤波方法及仿真 28 4 4 本章总结 30 结结 论论 3131 参考文献参考文献 3232 致致 谢谢 3434 附附 录录 3535 编辑版 word 第 1 章 绪论 1 1 课题的研究背景和意义 信号往往包含着许多的重要信息 如时间特征 频率特征等 信号处理分析 的目的就是快速有效的获取和处理信号的各种信息特征 传统的信号处理分析方 法大多数都是以线性平稳的高斯信号作为研究对象 而实际生活和实际工程中的 大多数信号都是非平稳 非线性 非高斯的 如语音信号 地震信号等 所以 现代信号处理分析方法更多的是研究如何提取非平稳非线性信号的各种特征信 息 经过近几十年的发展和研究 已经涌现出了许多新的信号处理分析方法 其 中许多的方法已经被广泛的应用于各种实际的工程领域当中 如水波分析 机械 故障诊断 生物医学 地震信号分析等 对非线性非平稳信号进行处理分析 提 取和时间相关的特征参数 已经成为现代信号处理分析的一个热门的发展方向 信号处理分析学科起始于傅里叶分析理论 傅里叶分析揭示了信号的频域特 征 建立了一个从信号时域到频域的通道 但是它最大的贡献不在于把时域和频 域联系起来 而是在于产生了一种新的信号的频谱分析表示的方法 从而使那些 隐藏在时域里面而使我们难以直接观察到的信号频谱特征 能够很容易的在频域 内十分清楚地观察到各种频率成分的大小 尽管傅里叶分析在通常情况下是十分 有效的 但是它基于一些假设 所分析的系统必须是线性的 所分析信号必须是 严格周期或者平稳的 如果这些假设不成立 傅里叶变换所得到的信号频谱里面 不具有任何物理意义 由于傅里叶分析是只适用于用来处理和分析线性 平稳和 编辑版 word 高斯信号 它是一种时域和频域全局变换 傅里叶变换对信号的表征要么完全在 时域 要么只能完全在频域表示被分析信号的频率特征 从傅里叶变换得到的频 谱图中我们根本无法得到信号的时频局域特征 即不知道频谱图上面的频率成分 到底在什么时间出现的 而我们处理和分析非线性非平稳信号的主要目的就是得 到它们的频率成分相应的时间信息 振幅信息 为了克服傅里叶变换在这方面的 缺陷 许多学者不断探索研究 在傅里叶变换的研究发展基础上 提出并发展了 许多的新的能够对非线性非平稳信号进行处理和分析的信号分析理论 调幅 调 频信号分析 短时傅里叶变换 Gabor 变换 循环统计量理论 小波变换 高阶 谱分析和 Radon Wigner 变换等 1 2 下面对几种主要的常见的几种非平稳非线性 信号处理方法的优缺点一一进行描述 1 短时傅里叶变换 STFT STFT 是傅里叶变换的一种改进 和傅里叶变换把信号看成是很多正弦信号 的叠加有所不同 它通过对基函数乘以一个很小的窗口函数 认为信号在这个很 小的窗口时间内是近似平稳的 STFT 通过在时间域上加窗来实现信号的短时平 稳 通过该短时窗口的不断滑动 从而覆盖整个时间域 从而可以得到该信号在 整个时间域上的局部的时频分布 其定义式如下所示 STFT t Z w t e 1 1 j d 式中 Z t 为信号 s t 通过 Hilbert 变换得到的的解析信号 w t 为滑动的 短时时间窗 表示共轭信号 STFT 假设被分析的信号是分段平稳的 由于 STFT 的时频窗口大小固定不 变 只适合分析所有特征尺度大致相同的各种信号 窗口没有自适应性 对于实 际工程中的信号 为了表现出其局部化效果 窗口的宽度必须很窄 但是其频谱 编辑版 word 分量变化很快 所以会受到 Heisenberg 不确定原理的制约 时域上的窗口和频域 上的窗口不可能同时达到最小 正是由于这个原因 要想使信号在短时窗函数这 个时间间隔内能够近似平稳 要找到这样的短时窗函数是十分困难的 从本质上 来讲 STFT 并没有摆脱傅里叶变换的影响 其分辨率单一 2 Wigner Ville 分布 Wigner Ville 是一种同时具有高的时间和频率分辨率的时频联合分布 作为一 种能量型时频联合分布 和其他的时频分布相比较 Wigner Ville 分布的时间窗口 与频率窗口的乘积已经达到了 Heisenberg 不确定原理的下限 所以 Wigner Ville 分布能够具有很高的时频分辨率 除此以外 Wigner Ville 分布而且还具有真边缘 性 频移性 弱支撑性 归一性以及可逆性等许多的优良性质 Wigner Ville 分布 是一种中心协方差函数的傅里叶变换 它的表示式如下所示 1 2 d etZtZtWV j2 2 2 Wigner Ville 分布通过改进 在一定程度上克服了 STFT 分辨率单一的问题 但是 Wigner Ville 分布是双线性的 不能保证非负性 所以往往会出现交叉项 交 叉项的存在将会干扰对信号时频特征的分析 从而严重限制了它在很多工程领域 的广泛应用 为了减少交叉项带来的影响 近十年来人们在它的基础上不断作出 改进 提出了很多种改进形式 我们把它们统称为 Cohen 类时频分布 平滑的 Wigner Ville 分布就是其中的一种典型的代表 在 Wigner Ville 分布的积分式乘上 一个核函数就可以得到平滑的 Wigner Ville 分布 如下式所示 1 3 dddeZD tj 2 2 2 Z t 式中 是乘上的核函数 当 1 时即是 Wigner Ville 分布 通过 乘以一个核函数 该平滑方法能够较好地抑制某些类型的信号交叉干扰项 但是 编辑版 word 不可避免的降低了信号的时频分辨率 3 小波分析 小波分析是近二十多年信号处理分析的研究热点 1982 年由法国地球物理学 家 Morlet J 在在分析地震信号的时候 在 STFT 的基础上 提出来一种能够自 动调节时间窗从而具有多分辨率特性的信号处理分析方法 该方法称为小波变换 1 4 dt a bt tZabaWT 2 1 上式中 为尺度参数与频率相对应 是平移参数与时间 相对应 t abt 是称为基本小波或者母小波 不同的和就对应着不同的小波函数 ab 小波变换方法因为能够自动调节时间窗口 所以具有多分辨分析特性 由于 采用不同的尺度分解信号 所以信号的高频部分和低频部分能够得到不同的分辨 率 在高频部分一般持续时间短 具有较高的时间分辨率 在低频处持续时间比 较长 具有较高的频率分辨率 然而 小波分析无论是在理论上还是在工程信号 处理分析中还存在着很多不足之处 3 比如说小波分析存在着能量泄露 分辨率 还不是很高 小波基函数和小波的分解层数都不好选择 一旦选定小波基函数和 小波的分解层数 在整个分解过程中都只能采用同一个小波基函数 其效果不是 特别理想 上面叙述的时频分析方法都具有各自的优势和缺点 通过不断的发展和应用 这些方法在实际工程领域也产生了一定的成果 4 尽管如此 上述的几种时频分 析分析技术都还不能完全满足非线性非平稳信号处理分析的要求 各自都存在着 缺陷和不足 比如 STFT 存在着频率分辨率比较单一 小波变换存在着能量泄漏 Wigne 分布存在着交叉项 分辨率不够高等缺点 都是采用对信号和基函数进行 编辑版 word 积分的分析方法 由于对于瞬时频率的概念难以确定 很难真正的从时域和频域 两方面联合的对信号的局部特征进行详细的 完整的 直观的描述 5 6 为了更好的解决上述存在的问题 美国学者 N E Huang 于 1996 年研究并 提出了一种全新的时频分析方法 经验模态分解法 Empirical Mode Decomposition EMD 和传统的非线性非平稳处理方法相比较 EMD 方法能够 很好的表述出信号的局部特征 从信号自身进行分解而不需要核函数 具有高分 辨率等等 正是由于 EMD 方法的这些优良特性 EMD 已经在很多工程领域中 得到了迅速的发展 7 1 2 EMD 方法的提出 传统的傅里叶变换是一种整体变换 从整体上建立了时间和频率之间的通道 它对信号的表征要么完全在时域上 要么完全在频域上 变换后得到的频域表示 的频谱或功率谱并不能说明其中的频率成分出现在什么时刻及其什么时候发生变 化 而对于频率特征信息随时发生变化的非线性非平稳信号 某个频率成分的存 在 仅仅代表该频率成分可能在某个对应的小时间范围内存在过 传统的傅里叶 变换完全不能描述出二变量的时间频率特征 从而无法表示出频率随时间变化的 详细情况 尽管许多的学者在传统傅里叶变换的基础上不断做出改进 比如对原 始非平稳信号加窗 在基函数的基础上乘以各种系数作为新的基函数 来对非线 性非平稳信号进行分析 但是这些方法都没有从本质上对傅里叶变换进行改进 或多或少的还保留着傅里叶变换的一些思想 还是受到 Heisenberg 不确定原理的 制约频率分辨率还不够高 所以不能够从根本上摆脱傅里叶变换的局限性 编辑版 word 为了彻底的摆脱上述时频分析方法的局限性 更好的描述非线性非平稳信号 的局部时间和频率特征 美国学者 N E Huang 7 研究并提出了一种非平稳非线性 信号的分析方法 称为基于经验的模式分解方法 并且很快的得到了许多学者的 关注 该方法的理论和工程应用也得到了迅速的发展 EMD 方法的思想是从信 号的自身出发 采用三次样条插值法 将信号分解成许多具有不同时间特征的尺 度之和 通过对这些不同时间特征尺度的分量进行 Hilbert 变换 采用求导的方 式给出了瞬时频率精确的定义 通过瞬时频率和时间的二变量函数 可以很好的 刻画信号的局部特征信息 通过 EMD 分解得到的每一个分量都是一个基本的分 量 通过对所有的基本分量进行 Hilbert 变换 可以得到整个信号的 Hilbert 谱图 通过 Hilbert 谱图不但能够知道信号具有那些频率成分以及对应成分的大小 更 关键的是还能够知道各个频率成分出现的时刻 从而将时域和频域特征很好的联 系起来 EMD 方法的意义在于 创造性的给出了瞬时频率和固有模态函数的合理定 义 基于信号波形的局部特征和瞬时特征提出了瞬时频率的统一定义 由于瞬时 频率的定义是采用求导的方式给出的 因而能够不受 Heisenberg 不确定原理的约 束 所以能够达到很高的频率分辨率 EMD 方法没有采用基函数 而是从信号 的自身特征出发对信号进行分解 所以具有自适应性 此外 EMD 方法还具有 很好的正交性和完备性 1 3 EMD 方法的研究发展概况 EMD 分解算法从提出到现在只有十几年时间 但是此方法已经引起了很多 相关研究人员的关注 EMD 分解算法整个理论体系不断的得到完善 Huang 等 编辑版 word 人主要建立了 EMD 的基本理论框架 通过引入了固有模态函数和瞬时频率的概 念 分析了 EMD 的基本理论依据 提出了经验模态分解和连续均值筛法的具体 实现 进一步讨论和定义了 Hilbert 谱和边际谱概念 7 Huang 还提出了一种基于 周期尺度的解决方法来解决 EMD 分解过程中出现的模态混叠问题 重庆大学的钟佑明等人介绍了 EMD 方法并将其应用到磨床主轴振动信号的 处理分析 获得了很好的效果 8 黄海提出应用傅里叶变换对信号进行插值预处 理 能够有效去除 Hilbert 谱图的虚假成分 提高了 Hilbert 谱图的精度 9 王玉 静将小波阈值滤波方法和 EMD 方法结合应用于心电信号去噪 10 大连理工大学 的马孝江 11 12 教授对瞬时频率的定义及物理意义进行了分析 结合 EMD 算法和 Huang 的思想 提出了局域波的概念 湖南大学的于德介将该方法与小波相结合 用于提取信号的瞬时特征参数 13 国外的许多学者还试图通过 EMD 算法来解释科 学中的许多随机现象 如 Wuzhaohua 14 通过分析白噪声的 EMD 分解特性 从而 得到了白噪声 EMD 各 IMF 分量的统计分布规律 在此基础上 Patrick Flandrin 15 提出当信号被这种白噪声污染时的相应的滤波去噪方法 Stephen C Phillips 16 用 EMD 分解方法成功地模拟出了分子的运动 在 EMD 算法成熟的运用于一维信号的基础上 通过不断的研究 EMD 算 法对二维信号的处理分析也得到了迅速的发展 瑞典学者 Linderhed A 17 还另辟蹊 径 提出了用 EMD 分解算法对数据进行分解 然后对得到的各 IMF 分量进行 数据压缩的新方法 并和小波分析进行比较 为信号传输技术领域提供了一个新 的思路 孙艳争提出了将二维 EMD 方法应用于数字图像水印算法当中 提出了 一种基于 BEMD 算法的数字水印新算法 18 EMD 算法经过短短十几年的发展研究 己经涌现出了各种各样的成果 在 编辑版 word 许多实际工程领域得到了广泛的应用 EMD 分解算法通过引入 IMF 分量和瞬时 频率的定义 从而解决了非平稳非线性信号分析中的一些困难 随着 EMD 方法 的进一步的深入研究 将会给许多信号处理分析领域的学者带来新的思路 有力 的促进实际工程应用的发展 18 1 4 论文结构与安排 本文从经验模态分解算法入手 提出了 IMF 分量和瞬时频率的定义 分析 EMD 方法的原理和特性 在此基础上 以仿真实例论述了 EMD 时频分析的应用 并和其它时频分析方法比较 论证了 EMD 分解方法的特性 最后重点讨论了基 于 EMD 的滤波方法 并通过仿真实验说明该方法的有效性 论文的内容安排如 下 第 1 章 论述了课题的研究背景和意义 介绍了传统的时频分析方法的不足 之处和 EMD 算法的提出背景和国内外发展研究状况 第 2 章 首先介绍了瞬时频率的统一概念 给出了一种使瞬时频率有意义的 固有模态函数的概念和条件 并介绍了 Hilbert 谱和边际谱的概念 推导出基于 EMD 的时频分析方法分解固有模态函数的表达式 介绍 EMD 分解的原理和步骤 并讨论了 EMD 的特点 讨论了基于 EMD 的 HHT 时频分析原理和特性以及 EMD 算法存在的问题及改进 第 3 章 通过仿真实例分析 研究了基于 EMD 的时频分析方法的应用和传 统的时频分析比较 验证了 EMD 时频分析的时频聚集性和高分辨率的特性 第 4 章 介绍了 EMD 滤波的二进滤波特性 并以仿真实验体现了 EMD 滤 波算法的有效性 编辑版 word 第第 2 2 章章 EMDEMD 时频分析的基本理论时频分析的基本理论 2 1 EMD 方法的基本概念 编辑版 word 2 1 1 瞬时频率 频率是信号的重要特征信息之一 我们对信号进行处理分析很多都是为了得 到信号的详细的频率特征 傅里叶变换建立了一个从时域到频域的通道 通过傅 里叶变换我们能够得到信号的频率成分信息 但是这些频率信息成分是全局的 我们更希望的是得到频率的局部特征信息 这样才能更好的分析信号 在 Hilbert 变换方法产生之前 瞬时频率没有统一的定义 人们接受瞬时频率 的概念比较困难 主要有两个方面的原因 一是受到傅里叶变换的影响 二是瞬 时频率没有唯一的定义 Hilbert 变换可以使离散数据解析化 这时候瞬时频率的 概念才得到了统一 1 对于原始信号 X t 可以得到它的 Hilbert 变换 Y t 如下式 2 1 1 dt tt tX ptY 式中 式中 P 代表柯西主值 将得到的作为复数的实部 作为复数的虚 tY tX 部 构造解析函数 tZ 2 2 a t e iY t X t Z t t i 其中 a t arctan a t 和 t 分别是解析信号的包络和相 22 tYtX t X t t Y 位 因为 a t 和 t 都是时间的函数 解析信号 Z t 是 X t 与 1 t 的卷积 保留 了原始信号 X t 的局部时间特性 对相位函数求导即为瞬时频率 t 2 3 i 2 1 t dt d 瞬时频率的定义表明在一个时间点上只有一个频率值相对应 1995 年 Cohen 第一次提出了 单分量信号 的概念 用单分量和多分量信号进行解释 提出瞬 时频率对应着一个单分量信号的频率成分 但是 由于缺乏单分量信号的严格定 编辑版 word 义 我们没有办法判断一个信号是不是单分量的 在很多情况下 需要采用 窄 带 的要求来约束原始信号使之可以满足瞬时频率的定义 18 2 1 2 固有模态函数 瞬时频率的定义需要满足一定的条件 并不是对任意信号都能讨论瞬时频率 当信号近似的满足单分量信号的时候 每一时刻对应着单一的频率成分 瞬时频 率才有实际的物理意义 为了更好的描述瞬时频率 Norden E Huang 等人提出了 固有模态函数的概念 固有模态函数的概念的提出是 EMD 分解方法的重大创新 之一 为了满足高斯正态平稳过程的传统窄带要求 固有模态函数的极值点和过零 点的数目必须相等或者相差最多不能超过 1 个 为了避免模态混叠 保证一个固 有模态函数仅仅包含一个基本模式的振荡 没有不必要的波动存在 要求固有模 态函数的局部均值为零 这样可以去除波形的不对称 避免了瞬时频率的波动 7 通过对原始信号的固有模态函数进行 Hilbert 变换我们能够得到对应分量的 瞬时频率 对 EMD 分解得到的所有的固有模态函数进行 Hilbert 变换我们可以 得到整个信号在整个时间段上瞬时频率的详细信息 能够更好的刻画信号的特征 信息 2 2 EMD 方法的基本原理 2 2 1EMD 分解过程 EMD 分解方法从信号本身出发 通过层层筛选 先将时间特征尺度小的高 频 IMF 分量分离出来 然后将时间特征尺度大的低频 IMF 分量分离出来 根据 编辑版 word 停止准则 最后得到一个近似单调的残余分量 对原始信号 x t 进行 EMD 的具 体分解的步骤如下所示 1 先识别出原始信号所有的极大值点和极小值点 采用三次样条插值拟 合出信号的上包络线 eupp t 用同样方法拟合出信号的下包络线 elow t 并计算出 上下包络线的平均 m1 t 2 4 2 ee low 1 upp tm 图 2 1 EMD 分解过程中包络线求取过程 编辑版 word 2 将 x t 减去 m1 t 得到 h1 t 即 h1 t x t m1 t 图 2 2 EMD 第一次筛选的结果图 如果此时得到的 h1 t 是一个基本 IMF 分量 则停止分解 但一般 h1 t 并不满 足 IMF 分量的条件 所以将 h1 t 看成新的 x t 重复上面步骤经过 k 次筛选出 直 到 h1k t 是基本 IMF 分量 编辑版 word 图 2 3 EMD 第 k 次筛选过程 3 得到了第一个基本 IMF 分量 c1 t c1 t h1k t 由于具有最小的时间特 征尺度 所以第一个基本 IMF 分量的频率最高 将原始信号 x t 中减去分量 c1 t 得到剩余部分 r1 t 2 5 11 tctxtr 4 为了进一步得到低频部分的信息 r1 t 被看成是新的数据 然后重复 步骤 1 2 和 3 可以进一步得到第二个基本 IMF 分量 c2 t 反复迭代 n 遍 直到满足预先设定的停止准则得到第 N 个 IMF 分量 cN t 为止 得到如下结果 2 6 c r r 1 332 221 trtctr trtt trtct NNN 5 x t 最终可以表示为 x t 2 7 N Ni trtc 1 Ni 1 编辑版 word 上述第 4 步中的停止准则被称为分解过程的停止准则 它应该满足以下两个 条件之一 1 当最后一个基本 IMF 分量 cN t 或者剩余部分 rN t 小于预先设定的数 值 2 当剩余部分 rN t 近似成了单调函数 迭代过程中止 定义两个连续的处理 结果之间的标准差 Sd 表达式如下所示 S 2 8 d T i ki kiki th thth 0 2 2 1 上式中 hi k t 和 hi k 1 t 分别是两个连续的处理结果的时间序列 T 代表时间 跨度 当 Sd的值处于 0 2 到 0 3 之间即停止筛分过程 从 EMD 的分解过程可以看出 它是一个不断筛分的过程 通过层层筛分 使波形轮廓更加对称 消除了模态波形的叠加 EMD 分解方法也可以看成是一 个不断滤波的过程 首先分解出来的是高频分量 然后对低频分量进一步进行分 解 2 2 2EMD 算法的特点 1 自适应性 首先 EMD 的基函数是自动产生的 直接从信号本身产生 其次 EMD 的滤波具有自适应性 EMD 分解是一个高通滤波的过程 不需要 预先确定它的截止频率和带宽 2 直观合理和高效 对于一个由两个不同频率正弦信号合成的信号 通 过 EMD 分解后 得到的 IMF 分量正好是这两个不同频率的正弦信号 两个 IMF 分量的瞬时频率是时频平面上的两条分辨率非常高的直线 对一个线性调频 信号进行处理分析 它本身就是一个最基本的 IMF 其瞬时频率分布就是时间轴 上的一条直线 因此 EMD 是直观合理和高效的 编辑版 word 3 最高分辨率 现有传统的时频分析方法 由于它们几乎本质上都是以 傅里叶分析为理论依据 所以都受到 Heisenberg 不确定原理的限制 都不可能同 时在时域和频域同时达到任意高分辨率 因此时频联合分析的结果对时变频率的 描述往往是十分含糊的 而 EMD 突破了傅里叶变换的限制 最终采用的求导而 不是积分来计算瞬时频率 因而可以不再受 Heisenberg 不确定原理的限制 从而 可以达到任意高分辨率 4 高度无冗余 Wigner Ville 分布的由于交叉项的存在有明显的冗余 而小 波基的有限长会造成信号能量的泄露 造成分解具有比较大的冗余 如常出现多 余小波分量 因为 EMD 基函数是自动产生的 每次分解都高度无冗余 因此整 体也高度无冗余 5 应用潜力大 EMD 是一种自适应的时频分析方法 在短短十几年左右 时间内 建立了比较完整的理论框架体系 涌现出了很多研究成果 开始逐步应 用于实际工程领域 展示了强大的生命力和重大的潜力 2 3 基于 EMD 的 HHT 时频分析 EMD 分解算法通过层层筛选 得到信号不同时间特征尺度的 IMF 分量 EMD 分解的主要目的是为了将信号进行平稳化处理 对 IMF 分量进行 Hilbert 变换 进一步得到 IMF 分量对应的瞬时频率成分 这样得到的瞬时频率有了合 理的物理意义 通过 Hilbert 得到的的 Hilbert Huang 频谱图是时间和频率的二变 量函数 从中可以得到任意时刻的频率信息 包括频率的大小和幅度以及出现的 对应时刻 能够详细的刻画非平稳非线性信号的时频特性 编辑版 word 2 3 1 Hilbert 谱和边际谱 EMD 分解方法从信号本身出发 经过层层筛选 将信号分解成有限个 IMF 分量之和 通过对得到的 IMF 分量进行 Hilbert 变换 就可以得到每一个 IMF 分量的瞬时频率和瞬时幅度 进一步得到整个信号在整个时间段上的频率成分分 布 对每个 IMF 分量 ci t 分别作 Hilbert 变换 H ci t 构造解析函数 Zi t 则 ci t 的包络谱 ai t 和角频率 i t 分别为 2 9 22 tcHtctaii i t 2 10 i dt arctan tc tcH d i i 由于得到的残余项函数 rN t 或者是单调函数 或者为常量 代表着较大的能 量的低频成分 在实际工程应用中 我们往往会比较关心那些低能量的高频率分 量 因此 在 Hilbert 谱分析中常常将该分量省略 得到 x t 的 Hilbert 表达式 x t Re 2 11 N dttj i i eta 1 根据 Hilbert 谱的定义 也能够定义其边际谱 h 2 12 h T dttH 0 式中 H t 是 Hilbert 谱 x t 的傅里叶表示为 x t Re 2 13 1 ti i i eta 式中 ai t i t 是常量 18 19 2 3 2 基于 EMD 的 HHT 时频分析特性 编辑版 word 1 EMD 时频谱的广义线性时频表示特性 如果用 H1 t H2 t 分别表示信号 X1和 X2的 EMD 时频表达式 H t 表示对信号 X1 X2的 EMD 时频表达式 则有 H t H t H t 2 14 12 2 EMD 时频谱的时移不变性 若 t0是信号 s t 的时间移位 H t0 是移位后的 EMD 时频谱分布 则 H t0 定义如下 2 15 00 ttHtH 3 EMD 时频分布不满足边缘分布 即 2 16 T dtH 0 4 自适应滤波器组特性 EMD 方法从信号自身出发 经过筛选得到 IMF 分量 由于先分解出来的是高频的 IMF 分量 然后是低频的 IMF 分量 所以我 们可以根据需要 由于这些滤波器的带宽和截止频率是和信号自身相适应的 所 以具有自适应滤波器组特性 2 4 EMD 算法存在的问题及改进 EMD 作为一种新的非平稳非线性信号分解方法 从提出到现在只有短短十 几年时间 由于是基于经验分解 而不是基于数学表达式的 所以还需要一个逐 渐完善的过程 EMD 的整个理论框架体系还不是十分完善 在进行理论分析和 实际工程应用中还存在一些问题 就目前来说 存在以下一些主要问题 2 4 1 模态混叠 编辑版 word EMD 分解方法在大多数情况下分解的结果都与人们的直观感觉相符合 但 是当复杂信号的时间尺度存在着跳跃性变化时 在 EMD 分解方法中 直接对复 杂信号进行 EMD 分解将会出现同一个 IMF 分量包含一些不同时间尺度特征成分 的情况 我们把这种现象称为模态混叠现象 直观地说 就是无法根据特征时间 尺度有效地分离出不同的模态成分 使得同一固有模态函数里面包含着多个模态 成分 所以就不能清晰地反映原始信号的内在性质 模态混叠现象的出现有两方 面的原因 一方面和 EMD 算法及分解过程有关 另一方面原始信号包含的频率 成分 采样率 振幅等都会影响分解的结果 20 文献 21 中通过对于两个不同频率的正弦信号的叠加 推导证明模态混叠产生 的条件 t A cos A cos 2 17 1 1 t 2 2 t 式中 A1 0 A2 0 分别表示两个正弦波的幅值 1 2为两个正弦波对应的频 率 如果 1 2 则不会产生 EMD 模态混叠现象的充分条件是 A A 2 18 1122 反之 将会出现模态混叠现象 Huang 为了避免模态混叠现象的出现 提出了一种方法 中断检测法 来改 进 EMD 时频分析算法 该方法的思想是不断对 EMD 分解过程得到的 IMF 分量 进行检测 一旦发现 EMD 分解得到的 IMF 分量存在模式混叠问题 就重新进 行 EMD 分解 重庆大学的谭善文 22 提出了一种类似小波变换的多分辨率 EMD 的思想 通 过限定每个 IMF 的特征尺度范围 从而来避免模态混叠现象的产生 但是由于该 方法限定了每个 IMF 的特征尺度范围 牺牲了 EMD 时频分析的自适应性 还不 编辑版 word 是很成熟 2 4 2 停止准则 EMD 分解过程本质上是一个筛选过程 一般情况下 我们需要通过经过多 次筛选 达到一定的停止准则 才能够得到一个完全满足条件基本 IMF 分量 筛 分的次数既不能太多也不能太少 筛分的次数太多 一方面会增加运算量 另一 方面上下包络线的均值会越接近零从而导致 IM 分量可能是幅度恒定的频率调制 信号 筛分次数太少 很难使得到的 IMF 分量的上下包络线的均值真正的为零 为了保证 IMF 分量能够保存足够多的反映物理实际的频率与幅度调制信息 必须确定一个使筛选过程可以停止的准则 这个筛选过程停止的条件准则是可以 通过限制两个连续的处理结果之间的标准差 Sd的大小来实现 S 2 19 d T i ki kiki th thth 0 2 2 1 上式中 hi k t 和 hi k 1 t 分别是两个连续的处理结果的时间序列 T 代表时 间跨度 当 Sd的值处于 0 2 到 0 3 之间即停止筛分过程 法国学者 Gabriel Rilling 23 进一步改进了上述停止准则 提出一种新的中止条 件 定义函数 2 20 minmax minmax ee ee ta 式中 a t 作为判定是否中止筛选过程的判据 emax emin分别为上下包络线均 值 设定三个门限值 1 2 默认值为 0 95 1 0 05 2 0 5 规定当 a t 不 存在大于 2的值 且小于 1的比率达到 时 中止筛选过程 和 Huang 提出的 停止准则相比 a t 进一步的反映出 IMF 分量的局部均值特性 通过这两个条件 编辑版 word 的互相补充 避免信号经常出现较大的波动 从而保证了 IMF 分量包络均值为零 使用该停止准则能够生成的 IMF 分量更少更准确 能量泄露少和正交性提高 2 5 本章小结 本章分析了 EMD 时频分析方法的基本原理 为了表示瞬态非平稳信号的特 征 创造性的给出了瞬时频率的定义 进一步引出了固有模态函数 IMF 描述了 EMD 分解信号的基本思想和实现步骤 论述了 EMD 时频分析方法的特性 最后 讨论了 EMD 存在的问题及改进 尽管 EMD 时频分析方法有许多独特的优点 但是无论从理论上还是实际工程应用 都还有很多工作值得研究和改进 第第 3 3 章章 EMDEMD 时频分析方法的应用时频分析方法的应用 3 1 EMD 时频分析仿真及性能比较 基于 EMD 分解的时频分析是一种基于经验的分解 而不是基于数学表达式 的分解 它直接从信号本身产生基函数 没有交叉干扰项 因此具有很好的自适 编辑版 word 应性 除此之外 EMD 时频分布还具有很好的时频聚集性和高分辨率 时频分 布平面内的能量分布十分密集 此外 EMD 时频分析方法还可以快捷地给出有效 的时频表示 突出时变信息 24 下面用一个仿真线性调频信号 x t 来说明 EMD 时频分析分解的过程以及 EMD 时频分析的特性 仿真信号 x t 为 3 1 2 2 100 sin T ttx 其中采样率为 1000Hz T 1 原始信号如图 3 1 所示 图 3 1 变频信号的波形图 信 信 t ms 信 信 f 1002003004005006007008009001000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 图 3 2 STFT 时频分布图 编辑版 word 信 信 t ms 信 信 f 00 10 20 30 40 50 60 70 80 9 0 50 100 150 200 图 3 3 Wigner Ville 时频分布图 时间 t ms Hilbert Huang spectrum 100200300400500600700800900 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 图 3 4 EMD 时频分布图 从图 3 1 可以看出 x t 是一个线性变频信号 瞬时频率在前 500ms 信号线性增 加 后 500ms 信号频率线性减少 而且递增的系数和递减的系数完全相同 对该 信号分别做 STFT 变换 Wigner Ville 变换及 EMD 分解 结果分别如图 3 2 图 3 3 图 3 4 所示 由图 3 2 图 3 3 图 3 4 可知 STFT Wigner Ville 变换及 EMD 时频分析都 是时频联合分布图 从图中可以反映出信号频率随时间变化特征 但是这些时频 分布在分辨率以及能量分布上面都存在着一些差异 频率 f hz 编辑版 word 从图 3 2 我们可以看出 STFT 的时频分析图一定程度上能够反映信号的时频 特征 但是频率分辨率比较低 这是因为 STFT 进行时频局部化分析 STFT 窗口 大小是固定不变的 窗口没有自适应性 只适合分析时间特征尺度大致相同的信 号 不适合分析实际信号中常见的多尺度复杂信号和突变信号 此外 时间和频 率的最高分辨率受到 Heisenberg 不确定性原理的制约 如果选定窗口的时间很长 就难以保证该窗口时间内信号的局部平稳性 反映信号高频成分需要用窄时间窗 口 反映信号低频成分需要用宽时间窗口 显然这是互相矛盾的 由于 STFT 的 时频窗口大小固定不变 另外其离散形式没有正交展开 难以实现高效算法 这 些缺点都大大限制了 STFT 的广泛应用 在图 3 3 中 Wigner Ville 分布的时频分析图也能较好的反映信号的时频特征 但是由于 Wigner Ville 分布是一种二次型时频分布 破坏了线性叠加原理 从而产 生了交叉项 影响了对信号频率特征的识别 尤其是在在对多分量复杂信号进行 时频分析时 交叉项的影响更加严重 Wigner Ville 分布频率分辨率较 STFT 有了 一定的提高 但是还不是十分理想 从图 3 4 可以看出 EMD 时频分析图具有很高的时频分辨率 从图中我们可 以明显的看出信号频率随时间变化的具体情况 从 EMD 时频图上我们可以十分 清晰地识别出该跳频信号在 500 ms 的频率跳变 能够准确的定位信号的频率突变 位置 不存在交叉项而且具有很高的频率分辨率 程序见附录 下面再以一个包含两个不同频率正弦成分的仿真信号来进一步说明 EMD 时 频分析的特性 信号表达式如下式所示 y sin 100 t cos 20 t 3 2 编辑版 word 图 3 5 EMD 分解图 time Hilbert Huang spectrum 100200300400500600700800900 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 图 3 6 EMD 时频分布图 从图 3 5 中可以看出原谐波信号经 EMD 分解后得到的一阶 IMF 分量 c1 刚好 频率 f hz 编辑版 word 就是其中的高频分量 sin 100 t 二阶 IMF 分量 c2 刚好就是其中的低频分量 cos 20 t 从图 3 6 中可以看出信号存在 10Hz 和 50Hz 的频率成分 而且在整个 时间段上一直存在这两个频率 由此可以看出 EMD 分解具有时频聚合性 而且 频率和时间分辨率都很高 具有直观高效的特点 程序见附录 3 2 EMD 在信号趋势提取中的应用 通过 EMD 算法介绍 我们已知将一个信号 x t 做 EMD 分解得到 3 3 n i ni rtimftx 0 对原始信号完成分解后 第 1 个 IMF 分量 imf1中包含有原信号中时间尺度最 小 即频率最高 的成分 随 IMF 阶数的增加 其对应频率成分逐渐降低 余量 rn 中则包含频率最低的成分 EMD 分解的收敛准则使得分解余量 rn为单调函数 则其周期大于信号的记录长度 所以 rn就是信号的趋势项 即信号的趋势项 rn 可以由上式得 3 4 n 1i i imf ttxrn 因此 应用 EMD 方法可以在无需任何先验假定的条件下通过 EMD 分解 得到的余量来方便地确定 提取信号趋势项 除了大于记录时间的长周期项外 有时还需要处理信号中更为复杂的趋势项 情况 即可以进一步将 EMD 方法所得趋势项的定义由余量推广至分解结果中所 有小于指定频率 c的 IMF 分量的和 由于 rn是由信号分解方法得到的非平稳随机信号中的趋向性序列 而不是趋 向性的数学表达式 所以 rn可能更真实地反映非平稳随机信号中的趋向性 更 编辑版 word 准确地逼近它的趋向性曲线 这种方法是处理方差平稳随机信号的通用方法 它适用于含有任何复杂趋向 性的方差平稳随机信号的趋势项的剔除 而且方法简单 在处理含有周期性趋向 的方差平稳随机信号时 甚至无需周期已知 若需要趋势项的确切的函数关系式 则对趋向性序列 rn进行插值计算 便可得到 下面以一具有指数趋势项的仿真信号来检验 EMD 分解方法在趋势项提取方 面的有效性和可行 给定分析信号为三个正弦信号与一个指数趋势信号加和的情 况 方程式如下 3 5 t ettttx 50 sin 30 sin 10 sin 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 5 0 5 x t 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 2 0 2 c1 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 5 0 0 5 c2 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 1 0 1 c3 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 2 4 c4 图 3 7 信号图与信号 EMD 分解图 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 5 0 5 图 3 8 去除趋势项的平稳随机信号 编辑版 word 对该信号进行 EMD 分解得到 x t 的 IMF 图 如图 3 7 三个 IMF 分量 C1 C2 C3 及一个趋势项 C4 图 3 8 是去除指数趋势项的平稳随机信号 即 C1 C2 C3 分量之和 程序见附录 对由信号进行 EMD 分解得到指数趋势项与实际的指数趋势项做差 结果表 明这个差值极小 通过上面的仿真研究 说明 EMD 分解方法是一种良好的信号趋势提取方法 3 3 EMD 时频分析在奇异信号检测中的应用 从工程的角度来看 奇异点就是指信号中的一些突变点 奇异性则是关于奇 异点突变程度的定量和定性的描述 从数学的角度来看 由于信号在突变点处是