四川省高三数学极限导数课件极限2.1数学归纳法2.ppt

数学归纳法 二 数学归纳法在整除问题 几何问题 归纳猜想问题及不等式问题中的应用 例4 用数学归纳法证明 42n 1 3n 2 n n 能被13整除 证明 1 n 1时 42 1 1 31 2 91 能被13整除 2 假设当n k k n 时 42k 1 3k 2能被13整除 当n k 1时 42 k 1 1 3 k 1 2 4 2k 1 2 3 k 2 1 42k 1 16 3k 2 3 42k 1 16 3k 2 16 3k 2 16 3k 2 3 16 42k 1 3k 2 13 3k 2 42k 1 3k 2及13 3k 2均能被13整除 式能被13整除 42 k 1 1 3 k 1 2也能被13整除 即当n k 1时命题仍成立 由1 2 可知 对一切n n 原命题均成立 例5 用数学归纳法证明 x2n y2n能被x y整除 n为正整数 证明 1 n 1时 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命题成立 2 假设当n k k n 时有x2k y2k能被x y整除 当n k 1时 x2 k 1 y2 k 1 x2k 2 y2k 2 x2k x2 y2k y2 x2k x2 y2k x2 y2k x2 y2k y2 x2k y2k x2 y2k x2 y2 x2k y2k 和 x2 y2 都能被x y整除 式也能被x y整除 由以上可知 对一切n n x2n y2n都能被x y整除 例6 求证 当n取正奇数时 xn yn能被x y整除 证明 1 n 1时 x1 y1 x y 能被x y整除 命题成立 2 假设n k k为正奇数 时 有xk yk能被x y整除 当n k 2时 xk 2 yk 2 xk x2 yk y2 xk x2 yk x2 yk x2 yk y2 xk yk x2 yk x2 y2 以上两项均能被x y整除 xk 2 yk 2能被x y整除 即当n k 2时命题仍成立 xk yk x2 yk x y x y 由1 2 可知 对一切正奇数n 都有xn yn能被x y整除 例7 平面内有n条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 求证交点个数是f n n n 1 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由1 2 可知 对一切n n 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 f k 1 即当n k 1时命题仍成立 2 假设n k k n k 2 时 k条直线交点个数为f k k k 1 例8 已知数列 an 中 a1 其前n项和sn满足 n 2 计算s1 s2 s3 s4 猜想sn 并证明 当n k 1时 ak 1 sk 1 sk sk 1 2 略解 s1 a1 s2 s3 s4 猜想 sn 证明 1 n 1时由前可知 公式成立 2 假设当n k k n 时有 sk 当n k 1时公式仍成立 由1 2 可知 对一切n n 公式均成立 例9 当n k 1时 不等式仍成立 由1 2 可知 对一切n n 原不等式均成立 练习 3 小结数学归纳法的应用 之二 1 证明整除问题时注意构造的技巧 常用增项减项或拆项的方法 2 证明几何问题时注意理清n从k到