高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数2课堂导学案.docx

3.1 指数函数课堂导学三点剖析一、指数函数图象和性质的应用【例1】 解下列不等式.(1)(0.2)2x-1;(2)9x-43x+1+270;(3)0且a1).解析:(1)原不等式可化为51-2x5-2,由y=5x为增函数可知1-2x-2,解得x.故所求x的范围为x0.设3x=t,则t2-12t+270,解得t9或t9时，即3x9,x2.当t3时，3x3,x2或x. 当a1时，y=ax在R上为增函数，2x-1. 解得x. 当0a1时，y=ax在R上为减函数，2x-1.解得x1时，x; 当0a1时，xag(x)，当a1时，转化为f(x)g(x);当0a1时，转化为f(x)0(或0(或0.二、指数函数图象和性质的应用【例2】 已知a0且a1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.解析:设u=-x2+3x+2=-(x-)2+,则当x时,u是减函数，当x时.u是增函数，又当a1时，y=au是增函数，当0a1时,原函数f(x)=在,+上是减函数,在(-,)上是增函数. 当0a1,则x0的取值范围是（ ）A.(-1,1) B.(-1,)C.(-,-2)(0,+) D.(-,-1)(1,+)解析:f(x0)1,当x00时,2-x0-11,2-x02,-x01,x00时,1,x01. 综上,x0(-,-1)(1,+).答案:D变式提升 1设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a0,a1.确定x为何值时,有y1y2.解析:y1y2,a3x+1a-2x. 当a1时,3x+1-2x,得x-. 当0a1时,3x+1-2x, 得x1时,x(-,+). 当0a1时,x(-,-).类题演练 2求函数y=36x-126x-5的单调区间.解析:令6x=t,则t=6x在R上增函数,y=t2-12t-5=(t-6)2-41. 当t6,6x6即x1时,y是关于t的增函数; 当t6,6x6即x1时,y是关于t的减函数.函数y=36x-126x-5的单调递增区间为1,+),单调递减区间为(-,1.变式提升 2已知y=+1,求其单调区间，并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.解析:由-x2-x+20，得-2x1. 设u(x)=-x2-x+2=-(x+)2+,在-2，-上，u(x)为增函数，也是增函数；在-,1上，u(x)为减函数，也是减函数.又知y=()x为减函数，y=的单调增区间为-,1，单调减区间为-2，-.类题演练 3某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(k为常数,t表时间,y表示细菌的个数),则k=_,经过5小时后一个病毒能繁殖为_个.解析:将(,2)代入y=ekt,得2=,k=2ln2,从而函数解析式为y=e(2ln2)t=(eln2)2t,令t=5,得y=210=1 024个,故填k=2ln2,1 024个.答案：2ln2 1 024变式提升 3家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?解析:(1)Q=Q0e-0.002 5t=Q0()0.002 5t,00,Q=Q0()0.002 5t减小. 故Q是关于t的减函数.随时间t增加臭氧的含量逐渐减少.(2)令=,即e-0.002 5t(t2-t1)=.由计算器得e