第四节 函数的连续性

1 4函数的连续性 1 4 1函数的连续性 定义1 7 函数在一点的连续性 设在x0的某一邻域内有定义 时函数的极限存在 如果当 且 则称函数在点连续 称为的连续点 处连续必须满足三个条件 说明 函数 所以 在点连续等价于 左连续 右连续 显然 定义1 8 函数在一点左右连续 又右连续 处既左连续 或称函数在该区间上连续 在区间上每一点都连续的函数 称该区间上的 在开区间 右连续 左端点 右端点 continuous 左连续 连续函数 内连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 定义1 9 函数在区间连续 例如 多项式函数 内是连续的 因此 有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的 有理分式函数 只要 都有 因此 多项式函数在 例1证明函数内连续 证 所以 证 由夹逼定理 有 因 例2证明函数内连续 同理 定理1 14 函数四则运算的连续性 例如 故在其定义域内连续 定理1 15 复合函数的连续性 定理1 16设函数在区间I上单调而且连续 则其反函数也单调且连续 由此 反三角函数在其定义域内皆连续 即 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 可以证明 均在其定义域内连续 指数函数 对数函数 定理1 17 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 注1 初等函数仅在其定义区间内连续 例如 在0点的邻域内没有定义 注2 初等函数的连续性提供了简单极限的求法 在其定义域内不一定连续 例3求 例4求 解 解 例5 非初等函数的例子 证明符号函数是非初等函数 证因为 矛盾 1 4 2函数的间断点 的间断点 如果上述三个条件中有一个不满足 间断点分为两大类 第一类间断点 若 则称为可去间断点 若 则称为跳跃间断点 其中 称为第一类间断点 例6讨论 解 所以 为函数的跳跃间断点 例7讨论函数 解 所以 为函数的可去间断点 在处的连续性 如例7中 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 则 在处连续 第二类间断点 若其中有一个为 称为无穷间断点 称为第二类间断点 存在的间断点 例8讨论函数 解 所以 为函数的无穷间断点 狄利克雷函数 定义域内每一点都是第二类间断点 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 仅在处连续 其余各点处处间断 初等函数无定义的孤立点是间断点 分段函数的分段点可能是间断点 也可能是连续点 需要判定 求函数的间断点的方法 解 是间断点 解 例9求函数的间断点 并判断其类型 是间断点 所以 x 0为第二类无穷间断点 内连续 由初等函数的连续性 函数在其定义区间 所以 x 1为第一类跳跃间断点 1 4 3闭区间上连续函数的性质 设在区间I有定义 则称是函数在区间I的最大值 最小值 定理1 18 最大最小值定理 设在 a b 上连续 则在 a b 上有 最大值最小值 有 注意 1 若区间是开区间 定理不一定成立 推论1 5 有界性定理 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 设在 a b 上连续 则在 a b 上有界 有 若 显然 函数的最大 最小值分别是它的一个上界和一个下界 定理1 19 零点定理 设函数在闭区间 a b 上连续 使得 则至少有一点 如果的一个零点 几何解释 定理1 20 介值定理 设函数在闭区间上连续 若 则至少有一点 使得 两个端点位于x轴的两侧 则曲线弧与x轴至少有一交点 连续曲线弧的 证 由零点定理 故 推论1 6闭区间上连续的函数 必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 例10证明方程 证 由零点定理 一根 所以 方