选修44-坐标系与参数方程教案.doc

平面直角坐标系教学目标：1. 通过具体例子，体会坐标系的作用，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。2.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题教学方式：启发、诱导发现教学.教学过程： 引 言我们知道，通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合，根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法。 由于现实问题的复杂性，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便。为便于用代数方法研究几何图形，需要建立不同的坐标系。在建立某些几何图形的方程时，用极坐标系、柱坐标系和球坐标系会更加方便。下面我们先回顾直角坐标系中解决实际问题的过程。一.平面直角坐标系 1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1)如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2)平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？2、思考交流：(1)在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ （2）在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r的圆的方程是什么?3、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系（1）数轴 ，它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定（2）平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定（3）空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 （4）抽象概括：在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：A.曲线C上的点坐标都是方程f(x,y)=0的解；B.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么，方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线。（5）学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。问题：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚已知各观测点到该中心的距离都是试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？思考：我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置。这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？说明：建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。例1.已知的三边满足，BE,CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。解：如图，以的顶点A为原点O，边AB所在的直线为轴，建立直角坐标系。由已知，点A,B,F的坐标分别为，设点C的坐标为，则点E的坐标为。由，可得,即整理得，因为，=因此，BE与CF互相垂直。探究：你能建立于上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意什么？二、平面直角坐标轴中的伸缩变换 在三角函数图像的学习中，我们研究过下面一些问题：（1）思考：从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1/2”的实质是什么？实际上，“保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1/2”是一个坐标的压缩变换。即思考：从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x不变，将h横坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么？实际上，“保持横坐标x不变，将横坐标y伸长为原来的3倍”是一个坐标的伸长变换。实际上，则是上述（1）（2）的合成：先保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的1/2；在此基础上再将纵坐标y伸长为原来的3倍，就可以伸缩变换：请同学们用自己的语言来归纳一下平面直角坐标系的伸缩变换上述（1）（2）（3）都是坐标伸缩变换。在它们的作用下，可以实现平面图形的伸缩。例如，在伸缩变换（3）的作用下，正弦曲线因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示。三、例题讲解 由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？四、课堂练习 （1） （2）五、课堂小结：本节课学习了以下内容：1如何建立直角坐标系； 2建标法的基本步骤；3什么时候需要建标；4、求轨迹方程的方法和一般步骤；5、在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。六、课后作业：课本P8页2、4、5、6七、板书设计平面直角坐标系1. 平面直角坐标系 3.例题解析2. 坐标伸缩变换公式八、课后反思教学中在回顾坐标法基本思想的基础上，先借助典型事例引导学生经历用坐标法思想解决问题的基本过程，再以三角函数变换为例介绍平面直角坐标系中的伸缩变换，引导学生进一步认识直角坐标系，体会数形结合、数形互化的思想方法。极坐标系教学目标：1理解极坐标的概念，掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 3通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：极坐标系的概念及用用极坐标表示平面上的点，极坐标和直角坐标的互化关系式的理解。教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置，互化关系式的掌握。授课类型：新授课对教学方式：启发、引导，合作交流.教学过程：一、创设情境：情境1：在解决本节开头的问题时，我们用“在信息中心的西偏北方向，距离处”描述了巨响的位置。实际上，这是以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离和与正西方向所成的角来刻画巨响的位置。这是日常生活中常用的刻画位置的方法，体现了极坐标思想。 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏60方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？以A为基点，射线AB为参照方向，利用与A的距离、与AB所成的角，就可以刻画平面上点的位置。有时它比直角坐标更方便，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中就主要采用这种方法。设计意图：这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线OX，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。极坐标系的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角的单位和正方向2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，用 r 表示；以极轴OX为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为 q。有序数对（r，q）就叫做M的极坐标，记作M（r，q）。一般地，不作特殊说明时，我们认为r0，q可以取任意实数。三、例题讲解ABCDEFGO1xOx1【例1】说出下图中各点的极坐标。【变式】在极坐标系里描出下列各点。 A(3，0)， B(6，)， C(4，)， D(5，)， E(3，)， F(2，)。说明：建立极坐标系后，给定r和q，就可以在 内唯一确定点M；反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标（r，q）。思考：由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点。实际上，都表示这个点。 一般地，极坐标（r，q）与表示同一个点。特别地，极点O的坐标为（0，q）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。 如果规定，那么除极点外，平面内的点可以唯一用唯一的极坐标（r，q）表示；同时极坐标（r，q）表示的点也是唯一确定的。四、极坐标与直角坐标的互化问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解。直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点M的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 说明：（1）上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式（2）通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，。（3）互化公式的三个前提条件极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同.例3把点M 的极坐标化成直角坐标。 例4.把点M的直角坐标化成极坐标五、课堂练习1.在极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一条直线上.2. 在极坐标系中,已知求A,B两点的距离。六、课堂小结：本节课学习了以下内容：1如何建立极坐标系。 极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位极坐标中的点与坐标的对应关系。2极坐标与直角坐标互换的前提条件； 互换的公式；互换的基本方法。七、课后作业教材P12页3，4，5。八、板书设计极坐标系1.极坐标系 3.例题分析2. 极坐标与直角坐标的互化九、课后反思1.充分结合实例，以类比的思想帮助学生理解极坐标系的概念，特别注意极坐标与直角坐标的联系与区别；2.熟练掌握两种坐标互化公式。简单曲线的极坐标方程教学目标：1.掌握极坐标方程的意义2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 教学模式：启发引导，合作交流。教学过程：一、复习引入：1.问题情境（1）直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？（2）直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？2.学生回顾（1）直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？（2）曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义在直角坐标系中，平面曲线C可以用方程表示。曲线与方程满足如下关系：曲线上的点的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点都在曲线C上。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.（3）求曲线方程的步骤思考：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f(r,q)=0表示呢？二、圆的极坐标方程1.问题：如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满足的条件吗？如图，圆经过极点O。设圆和极轴的另一个交点是A，那么|OA|=。设为圆上除点O，A以外的任意一点，则，在中，即 可以验证，点，的坐标满足等式。于是，等式就是圆上任意一点的极坐标满足的条件。另一方面，可以验证，坐标适合等式的点都在这个圆上。2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，曲线上的点与方程f(r,q)=0有如下关系(1)曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(r,q)=0 ；(2)方程f(r,q)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。 那么方程f(r,q)=0叫做曲线的极坐标方程。因此，就是圆心在C(a,0)(a0)，半径为a的圆的极坐标方程。说明：（1）由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处。一条曲线上点的极坐标有多种表示形式，这里要求至少有一种能满足极坐标方程。有些表示形式可能不满足方程。例如（2）在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，在通过代数变换进行化简。而且，与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，因为在极坐标系下，圆上点的坐标r,q所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接。3.圆的极坐标方程三、直线的极坐标方程1.探究：直线经过极点，从极轴到直线的角是，求直线的极坐标方程。如图，以极点O为分界点，直线上点的极坐标分成射线OM,射线两部分。射线OM上任意一点的极角都是，因此射线OM的极坐标方程是；射线上任意一点的极角都是，因此射线的极坐标方程时。因此，直线的方程可以用和表示。 说明：与用直角坐标方程表示直线比较，用极坐标方程表示过极点的直线并不方便。当然，如果允许取全体实数，那么极坐标方程和都是直线的方程。2.求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM，由有即。可以验证，点A的坐标也满足上式。这就是所求直线的极坐标方程。说明：求直线的极坐标方程步骤根据题意画出草图；设点是直线上任意一点；连接MO； 根据几何条件建立关于的方程，并化简；检验并确认所得的方程即为所求。3设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程。 解：如图，设点为直线上除点P外的任意一点，连接OM则. 由点P的极坐标知,.设直线与极轴交于点A。已知直线与极轴成角，于是，在中，由正弦定理，得，即，即。 显然点P的坐标是方程的解。因此，方程为直线的极坐标方程。4.特殊情况下的直线的极坐标方程四、例题讲解例、进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。五、课堂练习1、基础巩固导练（1）已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线极坐标方程是 .（2）在极坐标系中，曲线一条对称轴的极坐标方程 .（3）在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点.则|AB|= .（4）已知三点A(5，)，B(-8，)，C(3，)，则ABC形状为 .（5）已知某圆的极坐标方程为：2 4con(-/4)+6=0则：A.圆的普通方程 ；B.圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值分别为 、 .（1）.cos= -1； （2）.； （3）.； （4）.等边三角形；(5).(x-2)2+(y-2)2=2;9、1；六、课堂小结本节课学习了以下内容：1求曲线的极坐标方程，就是建立以，为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y；2求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。3要会熟练地进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。七、课后作业教材P15-2,3,4,5八、板书设计简单曲线的极坐标方程1. 曲线的极坐标方程概念 3.圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程 4.例题分析九、课后反思1.教学中加强曲线的方程与曲线的极坐标方程的对比，帮助学生正确理解概念；2.为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。3.对于特殊情况下的直线与圆的极坐标方程要求掌握，同时掌握方法。曲线的参数方程教学目标：1理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程。2会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 3初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。教学重点：曲线参数方程的概念。教学难点：曲线参数方程的探求。教学方式：启发诱导，探究归纳。教学过程：一、创设情境1.在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法。在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。2. 探究: 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？设飞机在点A将物质透出机舱。在经过飞行航线（直线）且垂直于地面的平面上建立平面直角坐标系，其中轴为地平面与这个平面的交线，轴经过点A.记物质投出机舱为时刻0，在时刻时物资的位置为点，则表示物资的水平位移量，表示物资距地面的高度。由于水平位移量与高度是由两种不同的运动得到的，因此直接建立，所要满足的关系式并不容易。换一个角度看这个问题。由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。物资投出机舱后，在时刻，它在水平方向的位移量，离地面的高度，即 在的取值范围内，给定的一个值，由可以唯一确定，的值。也就是说，当确定时，点的位置就唯一确定了。比如，当时，即物资的水平位移量为，高度约为。救援物资落地时，应有，即，截得。将代入，得到。因此，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定地点。 由上所述，由可以确定物资投放后每一个时刻的位置，还可以确定物资投放时机。二、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。曲线C的普通方程直接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系，由于是一个方程中含有x与y两个变量，因此自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，都可以由方程确定另一个变量的值。曲线C的参数方程（t为参数）借助参数t间接给出了曲线上点的坐标x,y之间的关系，由于是两个方程中含有x,y，t三个变量，因此自由变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以由方程组（t为参数）求出唯一对应的x,y的值。一般来说，参数方程中参数的变化范围是有限制的，例如，上述平抛运动曲线方程和弹道曲线方程中，参数t表示时间，它一定要大于0而小于物体落地时间。三、应用举例例1、已知曲线C的参数方程是 （1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C的位置关系；（2）已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。变式、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为rad/s,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。解析：如图，运动开始时质点位于A点处，此时t=0，设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知，得参数方程为。例2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型。反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。四、课堂练习1、曲线 与x轴的交点坐标是( B )A、（1，4）；B、 C、 (1,-3) D、 2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是（ C ） A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0） A、一个定点 B、一个椭圆 C、一条抛物线 D、一条直线5.已知曲线C的参数方程是，点M(5,4)在该 曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.解: (1)由题意可知: a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: 消去t得：6.动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12，运动开始时位于点P（1，2），求点M的轨迹参数方程。解：设动点M运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为五、课堂小结1、参数方程的概念；2、参数方程与普通方程的区别与联系；3. 参数方程与普通方程的互化。六、课后作业教材P26-1，2，4曲线的参数方程1. 曲线的参数方程的概念 3.例题分析2. 参数方程与普通方程的互化七、板书设计八、课后反思通过本章节的教学应使学生感悟到现实世界的问题是多种多样的，仅用一种坐标系，一种方程来研究各种不同的问题是不适合的，有时难以获得满意的效果。参数方程有其自身的优越性，学习参数方程有其必要性。通过学习参数方程的有关概念，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生感悟到坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要，主观能动的加以选择的。“曲线的参数方程”为本章节的第一部分。主要让学生了解参数方程的有关概念，通过探索圆锥曲线的参数方程初步掌握求曲线的参数方程的方法，并且在此基础上进行参数方程与普通方程的互化及其简单应用。圆的参数方程教学目标：1.分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程，并能进行简单应用。2.能选取适当的参数，求圆的参数方程，体会由一般到特殊的思想。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.教学方式：启发、引导、探究、交流.教学过程：一、创设情境圆周运动史生产生活中常见的。当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动。那么。怎样刻画运动中点的位置呢？二、探究圆的参数方程 1. 圆心在原点O，半径为的圆的参数方程如图，设的半径为，点M从初始位置（的位置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为。以圆心O为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。显然，点M的位置由时刻唯一确定，因此可以取为参数。 如果在时刻，点M转过的角度为，坐标是，那么。设，那么由三角函数的定义，有，。即 为参数 这就是圆心在原点O，半径为的圆的参数方程。其中参数有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻） 考虑到，也可以取为参数，于是有 为参数 这也是圆心在原点O，半径为的圆的参数方程。其中参数的几何意义是绕点O逆时针旋转到OM的位置时，转过的角度。说明：（1）参数的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问：怎样得到圆心在,半径为r的圆的参数方程呢?可将圆心在原点、半径为r的圆按向量平行移动后得到,所以圆心在,半径为r的圆的参数方程为 ( 为参数)三、例题讲解例2、已知两条曲线的参数方程（1）判断这两条曲线的形状；（2）求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。例3.如图，圆O的半径为2，P是圆周上的动点，Q（6，0）是轴上的定点，M是PQ的中点。当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。分析：取为参数，则圆O的参数方程是 （为参数）当变化时，动点P在定圆O上运动，线段PQ也随之变动，从而使点M运动。因此，点M的运动可以看成是由角决定。于是，选为参数是合适的。解：设点M的坐标是，则点P的坐标是。由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是 （为参数）例4、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）已知点P（x，y）是圆 - 6x- 4y+12=0上动点，求：（1） 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。 解：圆- 6x- 4y+12=0即，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），（1） = = 14+4 sin +6cos=14+2 sin( +). (其中tan =3/2) 的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ） x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。 ，变式：已知A（1，0）、B（1，0）,P为圆上的一点,求的最大值和最小值以及对应P点的坐标.解:的参数方程为(为参数),= =其中,.当时, 有最大值100.,P点的坐标为().当,有最小值20.,P点的坐标为().说明：凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.四、课堂练习1、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）A一个定点 B一个椭圆 C一条抛物线 D一条直线2、已知，则的最大值是6。8曲线的一个参数方程为五、课堂小结1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。六、课后作业：课本P26页 3、5 圆的参数方程 1. 圆心在原点圆的参数方程 3.例题分析2.圆心不在原点的圆的参数方程七、板书设计八、课后反思1.通过加强师生交流、关注学生思维，把握课堂教学重点，让学生体验知识产生的原因，发展的过程及其应用的价值。2.在本节课中，设计了适当的练习与例题。一方面可以巩固学生对曲线的参数方程概念的理解认识；另一方面通过简单的应用，使学生体会曲线的参数方程的作用及意义。椭圆的参数方程教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程：一、复习焦点在轴上的椭圆的标准方程：焦点在轴上的椭圆的标准方程：二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在轴上的椭圆的参数方程因为，又设，即，这是中心在原点O,焦点在轴上的椭圆的参数方程。2.参数的几何意义问题、如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆。设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B。过点A作ANox，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 设以为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有，。当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是这是中心在原点O,焦点在轴上的椭圆的参数方程。在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为。思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程中参数的意义类似吗？由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。3. 焦点在轴上的椭圆的参数方程三、例题分析例1.把下列普通方程化为参数方程. 变式：把下列参数方程化为普通方程例2. 已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab解：因为椭圆的参数方程为（为参数）所以可设点M的坐标为。由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为四、课堂练习 答案：B五、课堂小结：本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，六、课后作业：课本P34页1、2.七、板书设计椭圆的参数方程1. 椭圆的参数方程 3.例题分析2.参数的几何意义八、教学反思：1.由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；2.通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。双曲线的参数方程教学目标：1.了解双曲线的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程解决有关问题；2.通过双曲线参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：双曲线的参数方程。教学难点：双曲线参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程：一、复习1写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆参数方程 （为参数）（2）圆参数方程为： （为参数）1.焦点在轴上的椭圆的参数方程 （为参数）2. 焦点在轴上的椭圆的参数方程 （为参数）参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。二、双曲线的参数方程的探究类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究双曲线的参数方程。解得 记，则因为点B在角的终边上，由三角函数的定义有 即所以，点M的轨迹方程为 （为参数） 因为，即所以，从消去参数后得到点M的轨迹的普通方程，这是中心在原点，焦点在轴上的双曲线的参数方程。就是双曲线的参数方程。说明：（1）在双曲线的参数方程中，通常规定参数的范围为，且，（2）双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.思考：类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方程中可以得出哪些结论？三、双曲线中的结论（1）由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。（2）与椭圆类似，双曲线上任意一点的坐标可以设为，这是解决与双曲线有关的问题的重要方法。四、例题解析解：例2（证明与圆锥曲线上的点有关的定值问题）设A、B是过双曲线中心的弦，P是双曲线上任意一点.求证：直线PA、PB的斜率之积为定值.证明：双曲线的参数方程为设，由BA关于原点对称可知，于是（定值）例3.（证明与圆锥曲线上的点有关的直线位置关系问题）设A1，A2为双曲线（的两个顶点，P为双曲线上除顶点外的一点，l是与焦点F2对应的一条准线，直线PA1与l交于B1，PA2与l交于B2.求证：证明：所给双曲线的参数方程为设，PA1方程为联立解得同法求得五、课堂小结：本课要求大家了解了双曲线的参数方程及参数的意义，通过推导双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，并能利用双曲线的参数方程解决有关问题。六、课后作业：课本P34页3.七、板书设计双曲线的参数方程1. 双曲线的参数方程 3.例题分析2.参数的几何意义八、教学反思：1.由于学生独立获得双曲线参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；2.通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式解决有关问题。抛物线的参数方程教学目标：1.了解抛物线的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程解决有关问题；2.通过抛物线参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：抛物线的参数方程。教学难点：双曲线参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程：一、复习1写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆参数方程 （为参数）（2）圆参数方程为： （为参数）2.（1）焦点在轴上的椭圆的参数方程 （为参数）（2）焦点在轴上的椭圆的参数方程 （为参数）参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。二、抛物线的参数方程的探究前面曾经得到以时刻作参数的抛物线的参数方程： （为参数，且）对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？其中表示焦点到准线的距离。设为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记为。显然，当在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应。因此，可以取为参数来探究抛物线的参数方程。三、例题解析答案：C四、课堂小结：本课要求大家了解了抛物线的参数方程及参数的意义，通过推导抛物线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，并能利用抛物线的参数方程解决有关问题。五、课后作业：课本P34页3.六、板书设计抛物线的参数方程1. 抛物线的参数方程 3.例题分析2.参数的几何意义七、教学反思：1.由于学生独立推导抛物线参数方程是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只要学生理解就可以了；2. 在推导抛物线参数方程过程中，要注意问题的严谨性。直线的参数方程教学目标：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用。 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养学生积极探索，勇于钻研的科学精神、严谨求实的科学态度。教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程。 教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系。 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件。教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程。2.直线的方向向量的概念。3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程。5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考。【设计意图】通过回忆所学知识，使学生对本节课的学习有一个较好的基础，为推导直线的参数方程做好知识上的准备。二、直线的参数方程的探究1回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题。教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为，那么为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；当与方向一致时，；当与方向相反时，；当M与O重合时，；。教师用几何画板软件演示上述过程。【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备。2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标。怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线上的定点为原点，与直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴。于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）。在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系。【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备。3. 选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M在直线上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线当成数轴后，直线上点M运动就等价于向量变化，但无论向量怎样变化，都有。因此点M在数轴上的坐标决定了点M的位置，从而可以选择作为参数来获取直线的参数方程。【设计意图】明确参数。问题（2）：如何确定直线的单位方向向量？教师启发学生如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆，为了研究问题方面，可以把起点放在原点。因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量。由学生说出确定单位方向向量的过程，在此基础上启发学生得出，从而明确直线的方向向量可以由倾斜角来确定。当时，所以直线的单位方向向量的方向总是向上。【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想。4. 等价转化，深入探究问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流。过程如下：因为，（），所以存在实数，使得，即于是，即，因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为 （为参数） 教师可以提出如下问题让学生加强认识：直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围是什么？参数的几何意义是什么？总结如下：，是常量，是变量； ；由于，由，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离。当时，则的方向向上；当时，则的方向向下；当时，则点M与点重合。【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义。三、运用知识，培养能力例1.已知直线与抛物线交于A,B两点，求