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柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：，当且仅当时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；三、维形式的柯西不等式：设为实数，则，当且仅当或存在一个实数，使得时等号成立。四、二维形式的柯西不等式的向量形式：，当且仅当或存在实数，使时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知且，求证：.2、解方程（组）：解方程：.3、求最值（范围）:若实数x，y，z满足，求的最小值.4、证明不等式:已知正数满足 证明： .六、巩固练习：1.已知，则的最小值为.2. 已知实数满足， ，则的最大值为，最小值为.3在实数集内方程组的解为.4.设rABC之三边长x，y，z满足及，则rABC的最大角的大小是 .5.设，则之最小值为,此时.6.设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若，则的最大值为.7.空间二向量，已知，则的最大值为 ,此时.8.设a、b、c为正数，则的最小值为.9.设x，y，z R，且满足，则之最大值为，此时(x，y，z) = .10.设，则的最大值为，最小值为.11.设，则之最小值为.12.，则的最小值为，此时，.13.设，则之最小值为 .14.设，若，则之最小值为 ，又此时 15.设且a + b + c = 9，则之最小值为.16.设，且，则之最小值为 ，此时 .17.空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，则的最小值为 .18.空间中一向量的方向角分别为，则的最小值为 .19.设，若，则之范围为 ；又取最小值时， 20.设且，则之最大值为 ，最小值为 .21.求的最大值与最小值.22.设、为正数且各不相等。求证：.23.ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：24.已知满足,且不等式恒成立,求的范围.25.设且满足 , ,，求的值.26.若 求证：.27.、为非负数，求证：.28.是内的一点，是到
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