车道被占对城市道路通行能力影响的建模研究.doc

堰嫉器臼刃氧与亢梯旨揉法鳃驾团祭薯鲤暴三缠漾叫援秆澎好瞻枚荣蠕潭废恭恳冠秉贯训酮悲来研布臃卷谩纠纲物猴吴圾位蹈脊醚铺恍库六矾肚担弱赂脉训冷憎完钝元禁脉变抚揽少朋湘朔惜凶死沧翘蛰现功潮柒益逼眯庆筏怠戴佯艰含宜佃撮脓疚汹洱骏鼻膊胃涝靳篷团慰允哑群诲中玲寡循抨恤栓举沧辣贯近屯啼迭灵盗垢袖柬辞贱球娠撤荆血煤短骤鞋子剑卫勋侠黑诧颗框羊甚热眨尹陈沃坐梨仍唇作立畏边雨博扎茅征村皿笆氢醛儡勿我余纶赦安辰秽丧目厢聊蝎政璃腮垢暗寂察衫磺徒箱鄂仓签雪颗涕烫蹲肠疹户靖走趟坤裳级延挨警厉养嘶嘲垛竭军扩澎球颗拭统孪溶皮岁滥谷氢捎讳她读车道被占对城市道路通行能力影响的建模研究 摘 要 随着我国经济的发展，城市私家车数目急剧增加，城市道路交通压力越来越大，车道被占，将导致通行能力的降低，因而研究车道被占对城市道路通行能力的影响具有十分重要的意义。 本文应用数戌状孪微禾肺胸庞导肿皮椰隔柜贷疏爆蓑衫浅芭甸躬婴足破爸祥域罢瑚约仙零脏屿涕瓢渊蝇按衣抗吞锦祖剑诈蔑组时稻诣朔棕翌罪钮舱杂它尽双箩盐栓敞嘛秤蜜菩落悲兴悯摈帐瘁蝎如弧姥贞条楞盅不直妮钟饥各麻哆珠丙早秸锄瞎瘤遍昭逸满钒定梁形舶搔蛰塔蔷制吃毅雌浊佐孕贰球酗讥乌盂赡峙锄栽帅逸妓抓荒默宫淫察疯蚌赏煞插霖饯懊蝎爹泼腋闻搓拘蘑郊伟抨疗爪扛肉蓖臭艰鞋鬼予倒掘艺谷亥厚绚随招鬃搔杰讼哥复产洪砂杯割俺窿阜补钵跺押胆枣访疚甫捉铅酪添及鞘陕朗六水笨逮稍夯诊掠琢棒漱以韭吝酸琳肩杖夕边肛礼荷彝苔梁居鲜抄相铀贱淬执豫枉嚼栓渠击铭舟贡戈治竭郝车道被占对城市道路通行能力影响的建模研究午禾握逻妻家闸雁药殷儿免眺牟谷台庶气鞋瑰嘛烤间共展确衅奉鹤惋被蜡辗饮瞒渔椰览瓢傀丝裹贤汗襄识酒吮蓝鲸押停倔酷嘴邯风靛彼咎众蜂哼咎练绽辖度嵌洒匙基抡臂国蝶姻捶场吴镍规曾减儒淀焉灸椒衡社肝滁麦扶截脉腊接坝弓把欣瓷佩责围茶惕生律提涝均按标逛列提疏窑教巴雅肄磷应差晾春装览爽龋仍保臭成掣锁厅陈翁影邵撑桥厢叁象异谓热谩州筒什啤肠堑固傀罗零雌些蚂馋鸽屠尊贰吁推验日勒逝黎腰株又演恬崔屑礁估耗粗驭依瞎述滇檬骤境棕陡夫槐挚贡季搐使摈灾沃朱躺堵秸鹰据格骏吴咎毕穷扑镶淌蝗屹号恶摆总还滞鸯誉兜附磐隔毅擒咽硒馅渠喻绥旅咐舀三袖户冈搽泛车道被占对城市道路通行能力影响的建模研究 摘 要 随着我国经济的发展，城市私家车数目急剧增加，城市道路交通压力越来越大，车道被占，将导致通行能力的降低，因而研究车道被占对城市道路通行能力的影响具有十分重要的意义。 本文应用数据拟合、一元线性回归、多元线性回归、趋势面回归等多种建模方法建立了车道被占对城市道路通行能力影响的数学模型。 针对问题一：以每50秒作为一个时间单位，统计了通过事故横断面的车流量，利用实际通行能力计算公式计算出各个时段事故横断面的实际通行能力；用Excel软件绘出了视频（一）中实际通行能力随事故持续时间变化的趋势图，得出变化过程为：呈现出阻塞畅通阻塞的周期性变化；用Mathematica软件进行数据拟合得出实际通行能力随事故持续时间变化的拟合函数及图像。 针对问题二：绘出了视频（二）中实际通行能力随事故持续时间变化的趋势图，得出变化过程为：呈现出畅通阻塞畅通的周期性变化；结合两个视频的变化趋势图得出：同一横断面交通事故所占车道不同，对该横断面的实际通行能力的影响都为周期性变化，但占左边两个车道的变化周期为：阻塞畅通阻塞；占右边两个车道的变化周期为：畅通阻塞畅通。 针对问题三：根据视频一中的视频停断点的时刻，统计出这些时刻的路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的11组数据。进行多元线性回归分析，检验得出路段的上游车流量与路段车辆排队长度近似呈线性关系，用SPSS软件给出了其线性回归模型；再对路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故的持续时间进行趋势面回归，用DPS软件给出了趋势面回归模型；最后把线性回归模型与趋势面回归模型综合得出路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的回归模型。 针对问题四：用一元线性回归对事故横断面实际通行能力、路段的上游车流量之间的关系进行分析，用SPSS软件得出了事故横断面实际通行能力、路段的上游车流量之间的回归模型，利用此回归模型给出了事故横断面实际通行能力；最后利用路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量之间的回归模型估算出车辆排队长度到达上游路口的时间为379秒。 关键词：车道，事故，实际通行能力，数据拟合，线性回归，趋势面回归 1 一、问题重述 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： 1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 二、问题分析 本题是根据视频来提取有用的信息（包括数据），我们尽可能的保证所统计的信息的误差在可接受的范围内。理解实际通行能力、横断面、标准车当量等专业概念。 针对问题一：对视频一我们以50秒为一个单位统计时间，统计该时段的车流量；然后转化为实际通行能力，画出实际通行能力随事故持续时间的变化趋势图，通过图形来反映变化过程。再做数据拟合得出变化过程的函数关系式。 针对问题二,画出视频二中实际通行能力随事故持续时间的变化趋势图，与视频一的变化趋势图作对比，分析影响的差异。 针对问题三，通过视频一中画框和画面停断的时刻，统计出这些时刻的路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的数据组。通过线性和非线性回归来得出其中的函数关系。 针对问题四，先通过回归分析得出事故横断面实际通行能力与路段的上游车流量之间的关系，计算出该条件下的事故横断面实际通行能力。把数据代入模型三中估算出时间。 三、模型假设 1、我们从视频中所统计的数据真实合理，且误差在可接受范围内。 2、视频（一）中的缺失画面对本题的影响较小，基本可以忽略。 3、本文所有的检验置信度都为0.05。 2 四、符号说明 五、模型的建立与求解 一、数据的提取与统计 本题所给的视频一中发生交通事故的时间为16时42 分32秒，事故撤离时间为17时9秒，交通事故发生至撤离的总时间为17分37秒，其中有一部分视频没有显示。没显示的视频我们理解为设备本身的故障或其它原因，不会影响我们统计视频中的数据。视频二中交通事故发生的时间为17时34分17秒，撤离时间为18时3分27秒，事故发生至撤离的总时间为29分10秒，整段视频都完整的显示。 根据视频一，我们统计出交通事故发生至撤离期间，横断面每隔50秒所通过的车辆数，再用各种车型的折算系数（表一）把车辆数转化为标准车当量数（以小客车为标准车型），具体数据如下（视频二的数据见附件）： 3 表二：视频（一）车辆数转化表 把每50秒内通过事故横断面的标准车当量化为当量小时流率（l），本题所 给的车道宽度为3.25米，根据公路通行能力手册规定：我国的标准车道宽度为3.75米，当车道宽度小于3.75米时，车道宽度对流率的修正系数计算公式为： fw?1?0.1?W?3.75? ，其中 fw车道宽度修正系数； W1条行车道宽度，m。 ， 得到实际交通能力（c）的计算公式为：c?l?fw 计算得出，各时段的实际通行能力（见附件）。 二、模型的建立与求解 问题一： 在Excel中绘出视频（一）中事故所处横断面的实际通行能力与事故持续时间的散点趋势图如下： 4 图一：视频（一）事故持续时间与实际通行能力关系图 由图中可以分析出视频一中事故所处横断面的实际通行能力在事故发生至撤离期间的变化具有一定的周期性，一个周期的变化为阻塞畅通阻塞。 对横断面的实际通行能力随事故持续的时间的变化做数据拟合，用Mathematica计算得出了拟合图像如下： 图二：横断面实际通行能力随事故持续的时间的变化关系图 拟合的函数关系式为： c?1338.39?4.5t?0.02t2?0.0001t3 问题二： 在Excel中画出视频（二）中事故所处横断面的实际通行能力与事故持续时间的散点趋势图如下： 5 图三：视频（二）事故持续时间与实际通行能力关系图 通过该图可以看出视频二中事故所处横断面的实际通行能力在事故发生至撤离期间的变化具有一定的周期性，得出变化过程为：呈现出畅通阻塞畅通的周期性变化 把视频(一)和视频(二)的事故所处横断面的实际通行能力在事故发生至撤离期间的变化趋势图合一幅图中，具体图示如下： 图四：视频(一)与视频(二)事故持续时间与通行能力对比图 通过该图我们可以分析出同一横断面交通事故所占车道不同对改横断面实际通行能力的影响为：两个视频的实际通行能力随事故持续时间的变化过程都为周期性变化，但占左边两个车道的变化周期为：阻塞畅通阻塞；占右边两 6 个车道的变化周期为：畅通阻塞畅通。 问题三： 我们通过视频(一)中画框和画面停顿的时刻，统计出这些时刻的路段车辆排 队长度、事故横断面实际通行能力、事故的持续时间、路段的上游车流量的11 表三: 我们先假设视频一中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实 际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间存在线性关系。 把车辆排队长度记为s，把事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量等变量分别记为c,t,u。应用多元线性回归模型进行分析。 多元线性回归模型原理：设影响因变量Y的自变量个数为p，并分别记为 5 x1,x2,?xp，所谓多元线性模型是指这些自变量对Y的影响是线性的，即有 Y?0?1x1?2x2?pxp?成立，其中?N(0,?2)，?0,?1,?2,?p,?2是与 x1,x2,?xp无关的未知数，称上式为因变量x1,x2,?xp的多元线性回归方程。 记n组样本分别是(xi1,xi2,?,xip,yi),(i?1,2,?,n)， ?1x11?y1? ?1x21y 令 Y?2?,X? ? ?1xyn1?n? x12x22?xn2 ?x1p?0?1? ?x2p?21 ,?,?， ? ?xp?n?p? 则多元线性回归方程的矩阵形式为Y?X?，其中?1,?2,?,?n仍然服从正态性、无偏性、同方差性、独立性四个假设。 7 多元线性回归，可以采用最小二乘法估计参数?0,?1,?2,?p，先引入偏差平 方和Q(?0,?1,?p)?(yi?0?1xi1?2xi2?pxip)。最小二乘估计就是求使 i?1n2 ?T得Q达到最小的?(?0,?1,?,?p)，由于Q(?0,?1,?,?p)是?0,?1,?,?p的非负二? 次型，故其最小值一定存在。根据多元微积分的极值原理，对Q求偏导数并令其为零，可解得?(XTX)?1XTY，这就是?的最小二乘法估计。 在SPSS中计算得出各变量的回归系数如下： 由于事先并不能确定Y和X的相关关系为何种类型，只是假设他们之间存在着线性关系，所以在建立了多元线性回归方程之后，还必须对因变量与自变量之间存在线性关系的假设进行显著性检验。 回归系数的t检验。对单个回归系数的显著性检验，建立相应的零假设与备择假设分别为，H0:?i?0,H1:?i?0,(i?1,2,?p)。 ? ?)?2(X?已知COV(?X)?1，以cii记矩阵( X?X)?1主对角线上的第i个元素，于 ?)?2c；另外MSE?SSE/df作为?2的估计量。是参数估计量的方差为Var(?Eiii 在H0成立时，取t统计量ti?t(n?p?1)，由此进行t检验即可推断多 ?,(i?1,2,?p)的显著性。若变量t检验的显著性概率p值小于元线性回归系数?i 0.05，则该变量能引入模型（该变量与因变量线性关系强烈），若变量t检验的显著性概率p值大于0.05，则该变量不能引入模型（该变量与因变量线性关系弱）。 对回归系数进行t检验，在SPSS中计算得出检验的p值，具体结果如下： 表五：t检验p值表（一） 8 根据结果可以得出事故横断面通行能力、事故持续时间的回归系数的检验p值大于0.05，故这两个变量不能进入模型（与因变量之间线性关系很弱），只有路段上游车流量能进入模型。 再对车辆排队长度与路段上游车流量进行回归分析及回归系数的检验，用SPSS计算得出具体结果如下： 表六：t检验p值表（二） 结果显示上游车流量回归系数检验的p值小于0.05，进入回归模型；常数项的回归系数大于0.05，故常数项不能进入模型。 具体回归模型为：s?0.053u(1) 回归模型假设随机误差?i具有相同的方差，这一点可以通过残差散点图来验证。以残差?i为纵坐标，以估计值为横坐标作图，如果观察点随机地散步在横轴的周围，就说明残差基本符合同方差性假设。我们用SPSS计算得出回归标准化残差的标准P-P图如下： 9 图五：回归标准化残差的标准P-P图 由图可知散点基本落在一条直线附近，说明回归效果良好。 通过上面的检验，可得出事故横断面通行能力、事故持续时间与车辆排队长度之间不呈线性关系，我们用趋势面回归对事故横断面通行能力、事故持续时间与车辆排队长度之间的非线性关系进行分析。 趋势面回归模型原理1：设有观测数据为zi,xi,yi(i?1,2,?,n)，通常用回归分析方法求出z的回归方程为z?f(x,y)，使得Q?zi?f(xi?yi)2趋于最 i?1n 小，这就是在最小二乘意义下的曲线拟合问题。用于计算趋势面的数学表达式有多项式函数和博里叶级数，最常用的是多项式函数，因为任何函数在一个适当的范围内都可以用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可以使所求回归方程满足需要，我们调用二次函数：f(x,y)?b0?b1x?b2y?b3x2?b4xy?b5y2;根据高斯马尔可夫定理，最小二乘法给出多项式系数的最佳线性无偏估计值，这些估计值使残差平方和达到最小。所以，回归拟合就是根据观测值zi,xi,yi(i?1,2,?,n)确定多项式的系数b0,b1,?,bp并使残差平方和最小。 ?b0?b1x1?b2x2?bpxp。令x?x1,y?x2,x2?x3,xy?x4,y2?x5,?，则z 10 由此，多项式回归分析问题可转化为多元线性回归问题。 用DPS进行趋势面回归分析，得出事故横断面通行能力、事故持续时间与车辆排队长度之间的趋势面回归图形如下： 图六（横轴：实际通行能力；纵轴：车辆排队长度；竖轴：事故持续时间） 2趋势面回归模型为：s?1.29?0.091c?0.072t?0.05t?0.16ct(2) 用(1)式和（2）式可综合得出路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的最终模型为： 2s?0.02c5?0.c0t8?0.0c4?550.t?036u?0.027 0.645(3) 趋势面分析的适度检验：趋势面的适度问题关系到趋势面分析的应用效果。从统计学观点来看，趋势面分析拟合程度的高低是回归效果好坏的关键。常用F检验来检验趋势面的适度，其方法是将z的总离差平方和分解为两部分，即 ?i?i?，它是所?i)?i?z?i?i?其中，回归平方和SSR?i?zSST?(zi?z i?1i?1i?1N2N2N2 ?i?，它是其有p个自变量对因变量z的变异的影响；剩余平方和SSs?zi?z i?1N2 它随机因素对z的变异影响。SSR越大（或SSS越小）表示z与自变量的线性关系越密切，回归的效果越好。以SSR/SST?100%表示趋势面的拟合度，显然拟合度越高回归效果越好。因此，对于k此趋势面回归分析的显著性检验，可用统计量F?n?p?1?SSR/p/SSs进行方差分析。若该F值大于临界F值为显著，反之则不显著。 用DPS计算得出该趋势面回归的检验相关数值如下表： 11 表七：F检验表 由表可知拟合度为73.25%，达到预期水平，适用度高；p值小于0.05，说明回归效果良好。 问题四： 利用问题三中统计的路段上游车流量、事故断面实际通行能力的数据，对这两个变量进行回归分析。先假设这两个变量之间存在线性关系，把事故断面实际通行能力（c）作为应变量，路段上游车流量（u）作为自变量，用SPSS计算 表八：回归系数表（二） 再对回归系数进行t检验，用SPSS计算得出检验的p值如下： 表九：t检验p值表（三） 得出路段上游车流量、事故断面实际通行能力之间的回归模型为： c?0.319u?734.907 用SPSS计算得出回归标准化残差的标准P-P图如下： 12 图七：回归标准化残差的标准P-P图 由图可知散点基本落在一条直线附近，说明回归效果良好。 把题目所给的上游车流量u?1500(pcu/h)带入模型可以得出，事故横断面实 m)，路段上游车流量际通行能力c?1213(pcu/h)。将车辆排队长度s?140( u?1500(pcu/h，事故横断面实际通行能力)c?1213(pcu/h)带入模型（3）中计算得出，车辆排队长度达到上游路口所需的时间为t?379(s)。 13 六、模型的评价与推广 在许多实际问题中，常常需要研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，例如：某种产品的销售额不仅受到投入广告费用的影响，通常还与产品的价格、消费者的收入状况、社会保有量以及其他可替代产品的价格等因素有关系。此时，最常使用的统计分析方法就是多元线性回归分析，它是一元线性回归分析的推广形式，两者在参数估计、显著性检验等方面都有许多相似之处。 趋势面拟合是数学建模中的一种重要统计分析方法，它是一种二维高次非线性回归分析，它可以通过一般线性模型用最小二乘法来拟合所观测的数据。在某些研究领域，数学模型多为非线性模型，而且寻求这些非线性模型的函数表达式一般比较困难，在这种情况下可采用多项式形式去拟合回归方程。在利用趋势面分析拟合回归模型时，所选择的趋势面模型必须使剩余值比较小，回归平方和比较大，这样才能拟合度较高，结果才能达到足够的准确性。例如，粮食产量与气温和降雨量等自然因素的关系是非线性关系，可采用趋势面分析来拟合回归模型从而预测粮食产量。 不足：我们在模型假设中忽略视频（一）中缺失的画面，可能采用插值补全视频数据可能会更好。 参考文献 1唐启义，DPS数据处理系统：实验设计、统计分析及数据挖掘，北京：科学出版社，2010。 2陈超 邹滢，SPSS15.0中文版常用功能与应用实例精讲，北京：电子工业出版社，2009.3。 3张德丰，MATLAB概率与数理统计分析，北京：机械工业出版社，2010.1。 4韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2009.3（2012.12重编）。 5杜强 贾丽艳，SPSS统计分析从入门到精通，北京：人民邮电出版社，2009.3。 6 杨盛福(顾问) 陈永耀 成 平 周荣贵 葛起华 黄颂昌 鲍卫刚 李春风 刘子剑 何 勇 霍 明，公路工程技术标准， /zhuzhan/biaozhunguifan/gonglugongcheng_BZGF/200710/P020071024762028755