高一数学第一学期期末学科竞赛.doc

高一数学第一学期期末学科竞赛试题（本试卷满分150分，用时120分钟）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）1、若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为 （ ）A、 B、 C、 D、2、已知的小数部分为a，则的小数部分为 （ ）A、的小数部分 B、的小数部分 C、的小数部分 D、以上都不正确3、过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有 （ ） A、0条 B、1条 C、4条 D、无数多条4、已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有 （ ）A、67个 B、68个 C、69个 D、70个5、已知P 为直线y = x + 1 上的一点,M、N 分别为圆C1: ( x - 4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : x2 + ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则| PM| -| PN| 的最大值为 （ ）A、 4 B、 5 C、 6 D、 76、在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是 （ ）A、17 B、16 C、11 D、10二、填空题（本题共8个小题，每小题5分，满分40分）7、已知函数，设，其中0cba2(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C). 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）7、已知函数，设，其中0cbayz _。8、已知实数x、y满足，则_ 9、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于 10、若关于x的方程有正数解，则实数a的取值范围为_(2，0_。11、已知集合A=(x，y)| x2+y2-2xcosa+2(1+sina)(1-y)=0，aR，B=(x，y)| y=kx+3，kR若AB为单元素集，则k=_.12、对于实数x，当且仅当nxn1（nN）时，规定xn，则不等式的解集为12、解得，故所以13、在ABC中，AB，AC，BC，有一个点D使得AD平分BC并且ADB是直角，比值能写成的形式，这里m,n是互质的正整数，则DBCAEmn13、设BC中点为E，AD，由中线公式得AE故，所以mn27386514、对任意实数x、y定义运算x*y 为：x*y=ax+by+cxy 其中a、b、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，则d=_【题说】1985 年全国联赛一试题 2(4)原题为填空题【解】由所设条件，有1*2=a+2b+2c=3(1)2*3=2a+3b+6c=4(2)x*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x(3)由(3)得a+cd=1(4)bd=0(5)因d0，故由(5)式得b=0再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最后由(4)式得d=4三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分8 0分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15、设a0，函数 f : (0，) R满足f（a）1如果对任意正实数x，y 有， 求证： f（x）为常数（朱华伟提供）证： 在中令xy1，得f2（1）f2（a）2 f（1），（f（1）1）20，f（1）1。在中令y1，得f（x）f（1）f（）f（a）2 f（x），f（x）f（），x0。 在中取y，得f（x）f（）f（）f（x）2 f（a），f（x）f（）1。 由，得：f2（x）1，x0。在中取xy，得f2（）f2（）2 f（t）， f（t）0。故f（x）1，x0。14.(20分)如图,四边形内接于圆,是的中点,是线段和的交点,求证:.证:作,(为垂足)则.设PGk,因共圆,.故是的中点.(因为等腰三角形),为平行四边形,(因P、E、K、F为四边形各边中点).(对角线互相平分).17、已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数（）求的值；（）对任意的正数、，求证：（13）【解】（）由书籍，根据韦达容不得有， 5分（）已知函数，而且对，于是，函数在上是增函数10分注意到对于任意的正数、，即，同理15分，于是，而，20分16、8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?（苏 淳提供）解法1：(1) 用8个点表示8个人，相识二人之间连一线段。按图论语言，这些点称为图的顶点，线段称为图的边。按照题意，该图的每个5点子图中均有一个三角形，而每个三角形属于10个不同的5点子图。我们知道，这些三角形共有3356168条边，其中每条边至多被重复计算了10次。这样一来，即知：每个顶点至少连出条边。所以存在一个顶点A，由它至少连出5条边。假设由顶点A有边连向B，C，D，E，F这5个顶点，而由题意在这5个点中又存在一个三角形，不妨设为BCD。于是A，B，C，D这4个点中的任何二点之间均有连线，所以它们所代表的4个人两两认识。(2) 如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为: 在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.解法2： (1)分情形讨论.情形(i)如果存在3个人两两互不认识. 那么其余5个人必然两两都认识. 因若不然, 假如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的3个人一起构成的5人组中就找不出3个人两两认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立. 情形(ii)在剩下的情形中, 任何3人中, 都有某两个人相互认识. (a)如果8个人中有1个人A至多认识3个人, 那么他至少不认识4个人. 显然这4个人中的任何二人都彼此认识. 因若不然, 这两个人与A一起构成的3人组中就没有二人互相认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立. (b)如果存在1个人A至少认识5个人. 那么这5个人中有3个人两两彼此认识, 他们又都认识A, 所以他们与A一起即为所求之4人.情形(iii)只需再考虑每个人都恰好有4个熟人, 并且任何3人中都有两人相互认识的情形. 任取其中一人A. 假如A的4个熟人两两认识, 那么他们即为所求. 否则, 其中就有B,C二人互不认识. 易知, 此时A有3个不认识的人F,G.,H, 而这3个人中的任何两人都与A构成3人组, 所以F,G.,H中的任何两人都相互认识. 如果B,C之一与F,G.,H中的每个人都彼此认识,那么此人与F,G.,H一起构成所求的4人组. 否则, B,C二人分别不认识F,G.,H中的一个人. 易知, B和C不可能不认识他们中的同一个人, 否则该人与B,C所成的3人组中任何二人均互不认识, 导致矛盾. 这就表明, B和C分别不认识F,G.,H中的两个不同的人, 不妨设B不认识F, 而C不认识G. 现在把B,F,A,G,C依次排在一个圆周上, 于是任何两个相邻放置的人都互不认识. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆周上相邻的两个人, 从而在他们之中找不到3个人两两认识, 导致矛盾, 所以这种情况不可能存在.综合上述,