等差数列的定义及通项公式

等差数列的通项公式 判断数列是否为等差数列的常用方法 2 中项法 利用中项公式 即 3 通项公式法 等差数列的通项公式是关于n的一次函数 1 定义法 证明an an 1 d 常数 an pn q p q为常数 例1 a 3d a d a d a 3d 设四个数为 2 5 8 11或 11 8 5 2 设三个数为 a d a a d 练习 4 6 8或 8 6 4 例2 在数列中 已知 且 求 是首项为1 公差为的等差数列 解 令 则已知条件可化为 1 数列 an 的通项公式an 2n 5 则此数列 A 是公差为2的等差数列B 是公差为5的等差数列C 是首项为5的等差数列D 是公差为n的等差数列 2 在等差数列 an 中 a2 5 d 3 则a1为 B A 9 B 8 C 7 D 4 A 3 已知数列 an 满足a1 2 an 1 an 1 n N 则数列的 通项an等于 D A n2 1 B n 1 C 1 n D 3 n 4 在等差数列 an 中 a2 5 a6 a4 6 则a1等于 A 9 B 8 C 7 D 4 B 5 已知等差数列 an 的前3项依次为a 1 a 1 2a 3 则此数列的通项an为 B A 2n 5 B 2n 3 C 2n 1 D 2n 1 解析 由已知2 a 1 a 1 2a 3 整理得a 0 a1 1 a2 1 d a2 a1 2 an a1 n 1 d 2n 3 重点 等差数列的单调性及通项公式 1 由等差数列的定义知an 1 an d 当d 0时 an 1 an即 an 为递增数列 当d 0时 an 1 an即 an 为常数列 当d 0时 an 1 an即 an 为递减数列 2 等差数列的通项公式an a1 n 1 d 等差数列任意的 两项间有an ak n k d 即d an akn k 难点 等差数列常见的判定方法 1 定义法 an 1 an d 常数 2 等差中项 2an 1 an an 2 证明三个数a b c成等差 3 通项公式为n的一次函数 an kn b k b为常数 等差数列中的基本运算 例1 在等差数列 an 中 1 已知a1 3 d 2 an 7 求n 2 已知a5 11 a8 5 求a1 d an 思维突破 由通项公式an a1 n 1 d 在a1 d n an 四个量中 可由其中任意三个量求第四个量 先根据两个独立的条件解出两个量a1和d 进而再写出an的表达式 值为 1 2 已知数列 an 为等差数列 ap q aq p 且p q 则ap q 0 求等差数列的通项公式例2 在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求它的通项公式 思维突破 给出等差数列的两项 可转化为关于a1与d的方程组 求得a1与d 从而求得通项公式 求等差数列的通项公式 确定首项a1和公差d 需建立两个关于a1和d的方程 通过解含a1与d的方程求得a1与d的值 直接应用公式an am n m d求解 2 1 已知数列 an 为等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 求数列 an 的通项公式 解 由a1 a2 a3 12 得3a2 12 即a2 4 d a2 a1 2 an 2n 等差中项的应用 三项成等差数列的问题往往借助等差中项去证明 即a A b成等差数列 2A a b 3 1 数列 an 为等差数列 a2与a6的等差中项为5 a3与a7的等差中项为7 则数列的通项an为 解析 由已知得a4 5 a5 7 d 2 an a4 n 4 d 5 2 n 4 2n 3 2n 3 例4 判断下列数列是否是等差数列 1 an 4n 3 2 an n2 n 错因剖析 易用特殊代替一般 验证前几项后就得出结论 等差数列在定义中的要求是 任意的后一项与前一项的差是常数 不是 确定的后一项与前一项的差是常数 正解 1 an 1 an 4 n 1 3 4n 3 4 an 为等差数列 2 由an n2 n知a1 2 a2 6 a3 12 a2 a1 a3 a2 an 不能构成等差数列 4 1 已知三个数成等差数列 其和为15 其平方和为83 求此三个数 练习 2 已知等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 求首项a1和公差d 变式引申 如果一个数列 an 的通项公式an kn d 其中k b都是常数 那么这个数列一定是等差数列吗 想一想 练习 3 已知 求的值 解 小结 掌握等差数列的通项公式 并能运用公式解决一些简单的问题 an a1 n 1 d 提高观察 归纳 猜想 推理等数学能力 300 83 5 n 1 500 巩固练习 1 等差数列 an 的前三项依次为a 6 3a 5 10a 1 则a等于 A 1B 1C D 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 3a 5 a 6 10a 1 3a 5 提示 提示 d an 1 an 4 3 在等差数列 an 中a1 83 a4 98 则这个数列有多少项在300到500之间 35 提示 n 45 46 84