分式的知识点及典型例题分析

分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，15、8a2b 、- 9 a xy23、5a2 xb3a 2b 2、y4、2-2 、 1 am、5 xy1 、6x1x2、221 、 3 xy 、3、 a xy1 中分式的个数为（）m（a）2（ b）3（ c）4(d)5练习题：（1）下列式子中，是分式的有.2x7x15a2x2x2b2xy； ； 2；22 .x523ab2 xy 下列式子，哪些是分式？3a3y7 xxxy1b；2；5x4y8；.x2 y452、分式有、无意义 ：（1） ）使分式有意义：令分母 0 按解方程的方法去求解；（ 2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；例 1：当 x时，分式1有意义；x5例 2：分式 2 x21 中，当xx 时，分式没有意义；例 3：当 x时，分式1 x2有意义；1例 4：当 x时，分式x有意义；x21例 5： x ， y 满足关系时，分式 xy xy无意义；例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）a2 xb.xc.3 xd. x5x212 x1x31x2x例 7：使分式有意义的 x 的取值范围为（）x2a. x2b. x2 c x2d x2例 8：要是分式x2没有意义，则x 的值为（）(x1)( x3)a. 2b.-1 或-3c. -1d.33、分式的值为零：使分式值为零：令分子 =0 且分母0，注意：当分子等于0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母 =0 了，那么要舍去。例 1：当 x时，分式 1 a2a 的值为 0；12例 2：当 x时，分式 x1 的值为 0x1a例 3：如果分式a2的值为为零 ,则 a 的值为()2a. 2b.2c.2d.以上全不对2例 4：能使分式 xx2x 的值为零的所有 x 的值是（）1a x0b x1c x0 或 x1d x0 或x1例 5：要使分式x 29x25x的值为 0，则 x 的值为（）6a.3 或-3b.3c.-3d 2a例 6：若a10 ,则 a 是()a. 正数b.负数c.零d.任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。a acb bcc0a a cb b c例 1：xy；6 x( yz)；如果5(3a1)5 成立,则 a 的取值范aaby3( yz)2yz7(3a1)7围是 ；ab21bcbc例 2：33a b()a()例 3：如果把分式a2b中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）aba、扩大 10 倍b、缩小 10 倍c、是原来的 20 倍d、不变例 4：如果把分式10x中的 x， y 都扩大 10 倍，则分式的值（）xya扩大 100 倍b扩大 10 倍c不变d缩小到原来的110例 5：若把分式x3 y 2x的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（）a. 扩大 12 倍b缩小 12 倍c不变d缩小 6 倍例 6：若 x、y 的值均扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是 （）a、 3x2 yb 、 3x2y 23x 2c、2 y3x3d、22y例 7：根据分式的基本性质，分式a可变形为（）abaabacadaabababab例 8 ： 不改 变 分式的 值 ， 使分式 的分 子、 分母 中各 项系 数都 为整 数，0.2 xx0.012；0.05例 9 ：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，1x1xx 2=。5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法： 把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类： 分子分母是多项式的， 把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。xy例 1：下列式子（1）1；（ 2） baab ；（ 3） ba1 ；（ 4）x2y 2xycaacabxyxxyxy中正确的是（）ya、1 个b 、2 个c、 3个d 、 4 个例 2：下列约分正确的是（）x6a、 x2xy3x；b、xyxy0 ；c、2xxy12xy21x ；d、 4 x2 y2例 3：下列式子正确的是 ()a 2 xy02 xyb. ayay1c.yzxxyzd. cdcd xaacdcd0a例 4：下列运算正确的是（）a、aab、 241a 2ac、2d、 111a babxx2bb2mmm例 5：下列式子正确的是（）b b 2abab0.1a0.3 ba3ba. 2b. 0c. 1daaabab0.2ab2abm 23m例 6：化简2的结果是（）9ma、mb、mc、md、mm3m34x2 ym33m3x例 7：约分：6xy 2； x 29 =；1 x1 y13xy2xy ；530.6 xy3x5 y。a24a(ab)xy例 8：约分：2；2a4a4b(ab)(xy)ax ayx216x29x2y2；x28x16；2x623214a bc 9m 21a3bcm32x9x26 x9 。例 9：分式 a2 ，ab，4a，1 中，最简分式有 ()a 23a2b212(ab)x2a 1 个b2 个c3 个d 4 个6、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型“；二、四”型“；四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：2x2x最简公分母就是xx22 x2 。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：2x2xx24最简公分母就是x4x2 x22“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：x2 x22x x2最简公分母是：2x x2这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联 系 。 例 1：分式1,1mnm2,2n 2mn的最简公分母是（）a( mn)( m 2n 2 )b(m2n 2 ) 2c(mn)2 (mn)d. m 2n 2例 2：对分式yx2 x ， 3 y 2，14 xy通分时，最简公分母是（）a x2 yb x2例 3：下面各分式：2x1 ,xy,xx2y2x1 , x2x1x2y22 ，其中最简分式有 （）个。ya. 4b. 3c. 2d. 11例 4：分式2aa，42 a的最简公分母是.4例 5：分式 a 与1 的最简公分母为 ；b例 6：分式1x2y2, x21的最简公分母为。xy8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法： 先观察分母是单项式还是多项式， 如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分； 如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1： 例 2：2m2 a 22a2n =m3a242=1a1例 3：yx=xyyx例 4： x2 yy2 x=x 2y 2y 2x 2x 2y 2计算（ 1）ababba（ 2）a2(ab)2b2(ba) 2例 5：化简 1x1+ 1+ 12 x3x3等于（）115a 2 xb2xc 6 xd 6 x例 6： bcaabcxx61例 7：2a1a24a2x2例 8：x3x 23xx例 9：x1 x1bab14x1b 2练习题：（ 1）22（2）2（ 3）ababba2xx42xa - b例 10：已知： x24 x30x12 x求 x2x24 x的值。4a cac分式的乘法：乘法法测： =.b dbda cadad分式的除法：除法法则： = =b dbcbc例题：26x2计算：（1） 15x625x439y 7（2） （2）16x 3 y 410125a56 x413100a计算：（10）2x 25y3y 26xx10y 21x23x 2y 2xyy 2求值题：（1）已知：y，求24x2xyy2x 2xy的值。求值题：（1）已知： x2yz求 xyyz 34x2y 2xz 的值。z2aa 211例 5：已知xy5 x3 ，则xxy5 yxyy的值为（）a7b7c2d22277例 6：如果a =2，则ba 2abb 2a2b 2=例 7：已知 y=3xy+x ，求代数式 2xx3 xy2 xy2 y 的值y例 8：已知a与b的和等于4 x，则 a=, b =。x2例 9：若 xyxx2x 24y0 ，则分式 11（）yxa、 1b、 yx xyc、1d、 1练习1：已知 x 为整数，且2+2x33x2 x+x218为整数，求所有符合条件的x 值的和.92：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=o ，则代数式 2x+1的值为 2x10 、分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数：2 ， 338， 4 ，155 ， 6 ，24357，根据48其规律可知第 个数应是（ n 为正整数）例 2： 观察下面一列分式：1 , 2 ,4 , 8 ,16 ,.,根据你的发现，它的第8xx2x3x4x5项是，第 n 项是。例 3： 按图示的程序计算，若开始输入的n 值为 4，则最后输出的结果m 是n输入 n计算 n（ n+1）50（）noyes输出结果ma10b20c55d50例 4：当 x= 时,分式1与5x210互为相反数 .3 x例 5：在正数范围内定义一种运算，其规则为a b 1a1 ，根据这个规则bx( x1)3 的解为（）2a. x2 3b. x14abxc. xc2 或 1d x32 或13例 6：已知x(x24)xx2，则 a4 , b , c ；例 7：先填空后计算： 11=。1nn1n11=。11n2n2n3=。（3 分）（本小题4分）计算：1n( n1)解：1(n1)( n2)11(n2)( n3)111 (n2007 )( n2008)1n(n1)(n1)( n2)(n2)( n3)(n2007 )( n2008)=11 、分式方程：（1） ）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2） ）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3） ）解分式方程的步骤：（1 ）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4) 验根例 1：如果分式x2x1 的值为 1，则 x 的值是；1例 2：要使5与4的值相等，则 x= 。x1x2例 3：当 m= 时，方程 2mx1 =2 的根为 1 .mx22例 4：如果方程3的解是 x 5，则 a。例 5：(1) 2xa( x1)3x1(2)2x11x33x例 6:解方程： x2x216x2 x24x2例 7：已知：关于 x 的方程 1ax3x4 无解，求 a 的值。3x例 8：已知关于 x 的方程 xax21的根是正数，求a 的取值范围。例 9：若分式1与 x x2x2 的 2 倍互为相反数，则所列方程为3 ；m例 10：当 m 为何值时间？关于x的方程2xx2xxx1x1 的解为负数？2例 11：解关于 x 的方程 bx2axb( a0)a例 12：解关于 x 的方程: x1x1abab2aa 2b 2 ( a0)例 13：当 a 为何值时 ,x1x22 xa的解是负数 ?x2x1(x2)( x1)例 14 关于 x 的方程 x1x2xx1( xm 2)( x的解为负值，求m 的取值范围。1)12 、分式方程的增根问题 ：（1） ）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（2） ）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程x+1=x3m有增根，则 m=x3例 2：当 k 的值等于时，关于 x 的方程k24x不会产生增根；。x3x33a4例 3：若方程x2xx( x有增根，则增根可能为（）2)a、0b、2c、0 或 2d、1 13 、分式的应用题：（ 1）列方程应用题的步骤是什么？(1) 审； (2)设； (3)列； (4) 解； (5) 答（2） ）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b. 数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法c. 工程问题：基本公式：工作量 =工时工效d. 顺水逆水问题 :v 顺水=v 静水+v 水v 逆水=v 静水-v 水工程问题 ：例 1：一项工程，甲需 x 小时完成，乙需y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时。例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）a120180b120180c120180d120180x6xx6xxx6xx6例 3：某工程需要在规定日期内完成, 如果甲工程队独做 ,恰好如期完成 ; 如果乙工作队独做 ,则超过规定日期3 天,现在甲、乙两队合作 2 天,剩下的由乙队独做 , 恰好在规定日期完成 ,求规定日期 .如果设规定日期为x 天,下面所列方程中正确的是()a. 2xxx31 ;b. 23xx;c.113xx32x2x31;d. 1x1xx3例 4：赵强同学借了一本书， 共 280 页，要在两周借期内读完， 当他读了一半时， 发现平时每天要多读 21 页才能在借期内读完 .他读了前一半时 ,平均每天读多少页?如果设读前一半时 ,平均每天读 x 页,则下列方程中 ,正确的是（ ）a、14014014b、 28028014xx21xx21c、 10101d、 14014014xx21xx21例 5：某工程由甲、乙两队合做6 天完成，乙、丙两队合做10 天完成，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的天？2 。求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少3价格价钱问题：例 1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为（）a3d例 2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800 元，第二次捐款总额为5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？顺水逆水问题 ：例 1：a、b 两地相距 48 千米，一艘轮船从a 地顺流航行至 b 地，又立即从b地逆流返回 a 地，共用去 9 小时，已知水流速度为4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（）a、48489x4x4b、484894x4xc、 4849xd、96x4969x4例 2：一只船顺流航行90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h ，求船在静水中的速度， 设船在静水中速度为xkm/h ，则可列方程（）9060906090606090x2 = x2b、 x2 = x2c、 x+3=xd、 x+3=xa、例 3：轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行48 千米所需时间相同， 已知水流速度是每小时3 千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例 1：八年级 a、b 两班学生去距学校4.5 千米的石湖公园游玩， a 班学生步行