初一数学分类讨论思想例题分析及练习

;.分类讨论思想在数学中 , 如果一个命题的条件或结论不唯一确定, 有多种可能情况 , 难以统一解答 , 就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论, 最后综合归纳出问题的正确答案 , 这种解题方法叫做 分类讨论。在数学学习中， 我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程 思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现， 就是中高档次题”。 今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。1. 什么样的题会出现分类讨论思想 - 往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步” ( 如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等 ) 。2. 分类讨论需要注意什么 关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。3. 分类讨论中最容易错的是什么- 总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。【例1】解方程： |x-1|=2分析： 绝对值为 2 的数有 2个解： x-1=2 或 x-1=-2,则 x=3 或 x=-1说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。1.化简( 如当 a0b 时，化简 |a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程” ( 如本题 )处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。3. 使用绝对值的几何意义解题( 如已知|x-1|2，求 x 的取值范围 )处理方法：画数轴，|x-1|b 即 a-b0 a=b 即 a-b=0ab 即 a-b0时， 2a0，即(1+a)-(1-a)0，即1+a1-a当 a=0时， 2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a当 a0时， 2a0，即(1+a)-(1-a)0，即1+a0时， 1+a1-a；当 a=0时， 1+a=1-a；当 a0时， 1+a1-a。【例3】已知线段ab长度为 6cm，点 c 在直线 ab上，且 ac=2cm，求 bc的长度。分析： 注意点 c的位置不能确定。 在直线上， 与一个定点的距离为定值的点有两个。处理方法： 画一个示意图，往往能帮助理解。解： 如示意图，有两种情况。如图1，点 c在 ab之间时， bc=ab-ac=6cm-2cm=4cm如图2，点 c在 ba的延长线上时， bc=ab+ac=6cm+2cm=8cm【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？ 解： 5个或 4个或 3个。【例 5】已知 abc周长为20cm，ab=ac，其中一边边长是另一边边长的2倍， bc长多少？解： 设 ab=ac=x当 ab=2bc时， bc=0.5x据题意，列x+x+0.5x=20 ，解得 x=8cm，则 bc=0.5x=4cm当 bc=2ab时， bc=2x据题意，列x+x+2x=20，解得 x=5cm，则 bc=2x=10cm检验：当 ab=2bc时，三边长为 8cm，8cm，4cm，可组成三角形； 当 bc=2ab时，三边长为 5cm，5cm， 10cm，不可组成三角形，舍。答： bc长为 4cm。【例 6】富城书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过100 元，不享受优惠；一次性购书超过100 元，但不超过200 元，一律打九折；一次性购书超过 200 元，一律打八折。如果小明一次性购书付款 162 元，那么小明所购书的价格为多少。解： 付款 162 元，由于 162 100，可确定享受了优惠。因不确定是打九折还是打八折，所以分类。;. 200 2009 =180 162， 162 元可能享受了九折优惠，162108 =160 162， 162元可能享受了八折优惠，1629 =180（元）；108 =202.5 （元）1010答：小明所购书的价格为180元或202.5 元。【例7】三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？分析：1.两个限制条件：整数、质数2. 一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍3. 一个常见不等式列法：糖果总数是小于50解：设丙获得了x 块粮果，则乙的糖果数为 (x+13) 块，甲的糖果数为 2(x+13) ， 根据题意，可列不等式2(x+13)+(x+13)+x50整理这个不等式，解得x11/4=2.75由于糖果块数必为 正整数，所以 x=1或2当 x=1时， x+13=14，2(x+13)=28总块数 1+14+28=43，为质数，但 4+3=711，则 x=1应舍去；当 x=2时， x+13=15，2(x+13)=30总块数 2+15+30=47，为质数 4+7=11，合题意。答：甲分得糖果数为30块，乙分得 15块，丙分得 2块。练习题1. 解方程：（ 1） |x+4|=3（2） a 22. |a|+a的值的情况讨论。3. 如果 a 、 b 、 c 是非零有理数，求4. 比较 a2 -a+4 与 a2+3 的大小(3) 2ababc 的 值c5. 数轴上有 a、b 两点, 若 a 点对应的数是 -2, 且 a、b 两点的距离为3, 则 点 b 对应的数为多少（画图表示） 。6. 平面内有四点，经过两点可画多少条直线。7. 平面内有三条直线 , 它们可能有几个交点?8. 已知 a0b=120o， boc=3o0，则 aoc为多少。9. 在一条直线上顺次取a、b、c 三点，已知ab5cm，点 o是线段 ac的中点， 且 ob=1.5cm，求线段bc的长。10. 已知 abc周长为 18cm，ab=ac，其中一边边长比另一边边长大3cm， bc长多少？11. 在abc中，若 ab=3，bc=1-2x，ca=8，求 x 的取值范围。12. a 、b 两地相距 480 千米, 一列慢车从 a 地开出, 每小时行 60 千米, 一列快车从 b 地开出, 每小时行 65 千米, 慢车先开出 1 小时, 两车相向而行 , 慢车开出 x 小时后, 两车相距 100 千米, 则列方程为