历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

.全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形（2019 全国 2 卷文）8若 x1=，x2=是函数 f(x)=sinx (0)两个相邻的极值点， 则=443a 2b21c.1 d2答案： a;.），（2019 全国 2 卷文） 11已知 a（ 0， 2sin2=cos2+1，则 sin=a 15c3 3答案： b2b5 5d 255（2019 全国 2 卷文） 15. abc 的内角 a，b， c 的对边分别为a， b， c已知 bsina+acosb=0，则 b= .答案： 34（2019 全国 1 卷文） 15函数f ( x)sin(2 x3)3cos x的最小值为 2答案： -4（2019 全国 1 卷文） 7 tan255 =（）a 23b 2+3c23d 2+3答案： d（ 2019全国1 卷文）11 abc 的内角a， b， c 的对边分别为a， b ， c ，已知asin absin b4csinc， cos a1b，则=（）4ca 6b 5c4d 3答案： a（2019 全国 3 卷理）18（ 12 分） abc的内角 a，b， c的对边分别为a， b， c，已知aca sin2b sin a （ 1）求 b；（ 2）若 abc为锐角三角形，且c1，求 abc面积的取值范围（ 1）由题设及正弦定理得sin asin ac2sin b sin a 因为 sin a0 ，所以 sin ac2sin b 由 abc180，可得 sin accos b ，故 cos b2sin b cos b 22222因为 cos b20 ，故sin b = 1 ，因此 b2260 （ 2）由题设及（ 1）知 abc的面积s abc3 a 4由正弦定理得acsin acsin(120c)31sincsin c2tan c2由于 abc为锐角三角形，故0a90 ， 0c90由（ 1）知 ac120，所以 30c90，故 13a 2 ，从而3s abc282因此， abc面积的取值范围是33(,) 82（ 2019全 国2卷 理 ） 15 abc的 内 角a, b, c的 对 边 分 别 为a, b, c . 若，则b6, a2c, babc 的面积为 3答案： 63（2019 全国 2 卷理） 9下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是242a f(x)= cosx2b f(x)= sin2xcf(x)=cos xd f(x)=sinx答案： a（2019 全国 2 卷理） 10已知 (0，)， 2sin2=cos2+1，则 sin=21a. b55c53d 2535答案： b（2019 全国 1 卷理） 17. v abc 的内角 a，b， c 的对边分别为a， b，c，设(sin bsin c) 2sin2 asinb sin c （ 1）求 a；（ 2）若2ab2c ，求 sinc【答案】（1 ） a；（ 2） sin c62 .34【解析】222【分析】（ 1 ）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：bcabc ，从而可整理出cos a ，根 据 a0,可求得结果；（ 2 ）利用正弦定理可得2 sin asin b2sinc ，利用sin bsinac、两角和差正弦公式可得关于sin c 和 cosc 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1 ）sin b2sin csin2 b2sinbsin csin 2 csin2 asinb sin c即： sin 2 bsin 2 csin 2 asinb sin c222由正弦定理可得：bcabccos a222b ca12bc2q a0, a=3（2 ）q2 ab2c ，由正弦定理得：2 sin asin b2sin c又 sin bsinacsin acosccos asin c ， a3233 cosc1 sin c2sin c222整理可得：3sinc63coscq sin 2 ccos2 c13sin c2263 1sin c解得：sin c62 或6244因sin b2sin c2 sin a2sin c60 所以2sin c6 ，故 sin c62 .44（2 ）法二： q2ab2c ，由正弦定理得：2 sin asin b2sinc又 sin bsinacsin acosccos asin c ， a3233 cosc1 sin c2sin c222整理可得：3sinc63cosc ，即 3sin c3 cosc23 sinc66sinc262由 c(0, 2), c(,) ，所以 c, c36626446sin csin()62 .464【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.（2019 全国 1 卷理） 11.关于函数f ( x)sin | x | sinx |有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（,）单调递增2 f(x)在 , 有 4 个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是a. b. c. d. 【答案】 c【解析】【分析】化简函数fxsin xsin x ，研究它的性质从而得出正确答案【详解】 q fxsinxsinxsin xsinxfx,fx为偶函数，故正确当x时， fx22sinx，它在区间, 2单调递减， 故错误 当 0x时，fx2sinx，它有两个零点：0；当x0时，fxsinxsin x2sinx ，它有一个零点：，故 fx在,有 3 个零点：0， 故 错 误 当x2 k, 2kkn时 ，fx2sinx ； 当x2 k, 2k2kn时 ，fxsin xsin x0 ， 又fx为 偶 函 数 ，fx的最大值为2 ，故正确综上所述，正确，故选c2（ 2018 全国 3 卷文） 11.abc 的内角 a,b, c 的对边分别为a, b,c ，若abc 的面积a2b2为4c ，则 c()a 2b 3c 4d 6【答案】 c2【解析】s abc1 absin c 2a2b24c，而 cosca2b2c22ab12abcosc1故 2 absinc42 abcosc ，c4【考点】三角形面积公式、余弦定理（ 2018 全国 3 卷文） 6.函数 fxtan x21tan x的最小正周期为()a 4b 2cd 2【答案】 c2【解析】fxtan xtanxcos x2sin xcos x1 sin 2xxk1tan x21tanxcos x22，22t2( 定义域并没有影响到周期)（ 2018 全国 3 卷文） 4.若 sin1 ，则 cos2()3a 89a. 79b. 7 9d 89【答案】 b【解析】cos212sin 279（2018 全国 2 卷理） 15. 已知，则 【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为， 所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1) 给角求值： 关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2) 给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3) 给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 .（2018 全国 2 卷理） 10. 若在是减函数，则的最大值是a.b.c.d.【答案】 a【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选 a.点睛：函数的性质：(1). (2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间 ;由求减区间 .（2018 全国 2 卷理） 6. 在中，则a.b.c.d.【答案】 a【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosc, 再根据余弦定理求ab.详解：因为所以，选 a.点睛： 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（ 2018 全国 i 卷理） 17（ 12 分）在平面四边形abcd 中，adc90o ，a45o ， ab2 ， bd5 .（ 1）求 cosadb ；（2）若 dc22 ，求 bc解：（ 1）在 abd 中，由正弦定理得bdab.sinasinadb由题设知，52sin 45sinadb，所以sinadb2 .5由题设知，adb90 ，所以cosadb1223 .255（ 2）由题设及（1）知，cosbdcsinadb2 .5在 bcd 中，由余弦定理得bc 2bd 2dc 22bddccosbdc25825222525.所以 bc5 .（ 2018全 国i卷 理 ） 16 已 知 函 数fx2sin xsin2 x ， 则 fx的 最 小 值 是 （ 2018 全国i 卷文） 16（ 5 分） abc 的内角a， b， c 的对边分别为a， b， c已知 bsinc+csinb=4asinbsinc， b2+c2 a2=8，则 abc的面积为【解答】 解： abc 的内角 a， b，c 的对边分别为a， b，c bsinc+csinb=4asinbsinc，利用正弦定理可得sinbsinc+sincsinb=4sinasinbsinc，由于 sinbsinc 0， 所以 sina=，则 a=由于 b2 +c2 a2=8，则：，当 a=时， 解得： bc=，所以：当 a=时，解得： bc=（不合题意） ，舍去 故：故答案为：（2018 全国 i 卷文） 11（5 分）已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点a（ 1， a）， b（ 2， b），且 cos2=，则| a b| =（）a. bcd 1【解答】 解：角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点a（ 1， a）， b（ 2， b），且 cos2=，cos2=2cos2 1=，解得 cos2= ，| cos| =， | sin | =，| tan | =| =| a b| =故选： b（ 2018 全国 i 卷文）已知函数f （x） =2cos2x sin2x+2 ，则（）a f（ x）的最小正周期为，最大值为3b f（ x）的最小正周期为，最大值为4c.f （ x）的最小正周期为2，最大值为 3d f（ x）的最小正周期为2，最大值为 4【解答】解：函数 （f=3cos2x+1 ，=，=x）=2cos2x sin2x+2 ， =2cos2x sin2x+2sin2x+2cos2x ， =4cos2x+sin2x ，故函数的最小正周期为，函数的最大值为， 故选： b1（ 2017 全国i 卷 9题）已知曲线c1 : ycosx， c2 : ysin2x23，则下面结论正确的是（）ca 把1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6 个单位长度，得到曲线c2b把c个1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12单位长度，得到曲线c2cc1把1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移个单6位长度，得到曲线c21d把 c 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个12单位长度，得到曲线c2【答案】 d【解析】c1 : ycosx ， c2 : ysin 2x23首先曲线c1 、 c2 统一为一三角函数名，可将c1 : ycosx 用诱导公式处理ycosxcos x sinx 横坐标变换需将1 变成2 ，2221c 1上各 点横 坐标缩 短它原 来即 ysinx2ysin2xsin 2x224ysin 2x2sin2x 33注意的系数，在右平移需将2 提到括号外面，这时xx4 平移至3 ，根据“左加右减”原则，“x”到“ x”需加上，即再向左平移4312122 （ 2017 全国 i 卷 17 题） abc 的内角 a ， b ， c 的对边分别为a ， b ， c ，已知a2 abc的面积为3sin a（1） 求 sin b sin c ；（2） 若 6cos b cosc1 ， a3 ，求abc的周长【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1） abc2面积 sa23sina.且 s1 bc sin a 2a 3sin a1 bc sin a 22 a3 bc sin2 a 2由正弦定理得2sina3 sin bsin c sin2 a ， 2由 sin a0 得 sin b sin c2 .3（2）由（ 1）得sin bsin c2 ， cos b cosc136 abc cos acos bccos bcsin bsinccos b cosc12又 a0，22 a60， sin a3 ， cos a1 222由余弦定理得abcbc9由正弦定理得ba sin asin b ， ca sin asin c bca22sin bsin c8sina由 得 bc33 abc333 ，即 abc周长为 3333.(2017 新课标全国卷理17)17.（ 12 分）abc 的内角(1) 求 cos ba, b,c 的对边分别为a, b, c,已知sin( ac)8sin 2 b 2(2) 若 ac6 ,abc 面积为 2,求 b.【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形【 试 题 分 析 】 在 第 （ ） 中 ， 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 acb ， 将sin( ac)8 sin 2 b2转化为角 b 的方程， 思维方向有两个： 利用降幂公式化简sin 2 b ，2结合 sin 2 bcos2 b1求出 cos b；利用二倍角公式，化简sin b8sin 2 b2，两边约去sin b ，求得2tan b ，进而求得2cos b.在第（）中，利用（）中结论，利用勾股定理和面积公式求出ac、ac ，从而求出b （）【基本解法1】由题设及abc, sin b8 sin 2 b ，故2sin b（4上式两边平方，整理得1-cosb）17cos 2b-32cosb+15=0解得cosb= 1（舍去），cosb= 1517【基本解法2】由题设及abc, sin b8 sin 2 b，所以2 sinb cos b8 sin 2 bb，又 sin0b所以 tan21 ， cosb421tan2 b2151tan2 b1722222（）由15cosb=得sin b8，故 s14ac sin bac1717abc217又 s abc=2，则 ac172由余弦定理及ac6 得222bac2ac cosb（a+c）22ac(1cosb)36217(115)2174所以 b=2【知识拓展】 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边” ，另外要注意ac, ac,a 2c2 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎4（ 2017全国卷 3理） 17（ 12分）abc 的内角 a，b，c的对边分别为 a，b，c，已知 sin a（ 1）求 c；3 cos a0 ，a27 ， b2 （ 2）设 d 为 bc 边上一点，且adac ，求 abd 的面积【解析】 （1） 由 sin a3 cos a0 得 2sina30 ，即 a kkz，又 a30, ， a a23，得3 .22由余弦定理ab2c2bccos a .又 a27, b2,cos a12 代入并整理得2c125 ，故 c4 .（ 2） ac2, bc27, ab4 ，222由余弦定理coscabc 2ab27 .7 acad ，即 acd 为直角三角形，则 accdcosc ，得 cd7 .由勾股定理2adcd2ac3 .22 又 a3，则dab326 ，s abd1 adabsin 3 .26a(0 cos () 5 （ 2017 全国卷文1） 14 已知【答案】 31010， ) ,tan，=则2=。24（法一）0,2， tan2sin cos2sin2cos，又sin 2cos21，解得sin255，cos，55cos2 (cossin)3 10 4210（法二）cos()2 ( cos 42sin)cos2142sincos又tan2sincostan229sincos2sincos2tan2，cos，15410由0,知2444，cos0 ，故4cos3104106. （ 2017 全国卷 2文）3.函数f ( x)sin(2 x) 的最小正周期为3a. 4b.2c.d.2【答案】 c【解析】由题意t2，故选 c.2【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数yasin(x)b(a0,0)的性质(1)ymax =a+b， yminab .(2) 周期 t2.(3) 由x k(kz ) 求对称轴 2(4) 由2kx 2k(kz )求增区间;由22 2kx32 k(kz ) 求减区间 ;227（2017全国卷2文）13.函数f (x)2cos xsin x的最大值为.【答案】58 （ 2017全 国 卷2文 ） 16.abc 的 内 角a, b,c的 对 边 分 别 为a, b,c, 若2bc cosba coscccos a, 则 b【答案】39（2017 全国卷 3 文）4已知sincos4，则 sin 2=（）37227a. bcd9999【答案】 a10 （ 2017 全国卷 3 文） 6函数 f ( x)= 1 sin( x+5)+cos( x-3) 的最大值为（）6a. 65【答案】 ab. 1c 35d 15【解析】由诱导公式可得：cosx6cosx23sinx，3则： fx1 sinxsinx6 sinx,53353函数的最大值为6 .5本题选择a 选项 .7函数 y=1+x+ sin x 的部分图像大致为（）x2abdcd【答案】 d1、（ 2016 全国 i 卷 12 题）已知函数f ( x)sin(x+)(0，f ( x) 的),x为零点，24 5 x为 yf ( x) 图像的对称轴，且4f ( x) 在 (，1836) 单调，则的最大值为（ a） 11（ b） 9（ c） 7（ d） 5【答案】 b考点：三角函数的性质2、（ 2016 全国 i 卷 17 题）（本小题满分12 分）abc的内角 a，b，c 的对边分别为a， b，c，已知 2cos c(a cosb+b cos a)c.（ i）求 c；（ ii）若 c7, abc 的面积为 323 ，求 abc的周长【答案】（ i） c3（ ii） 57【解析】试题解析：（ i）由已知及正弦定理得，2coscsincossincossinc ，2coscsinsinc 故 2sinccoscsinc 可得 cosc1 ，所以 c23考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式3、（ 2015 全国 i 卷 2 题） sin20cos10 -con160sin10=（a）32（b）32（ c）12（ d） 12【答案】 d【解析】试题分析： 原式=sin20 cos10+cos20 sin10 =sin30= 1 ，故选 d.2考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式4、（ 2015 全国 i 卷 8 题）函数f ( x)=cos(x) 的部分图像如图所示，则f (x) 的单调递减区间为(a) （错误! 未找到引用源。）,k 错误! 未找到引用源。(b)（ 错误! 未找到引用源。） ,k 错误! 未找到引用源。(c) （ 错误! 未找到引用源。） ,k 错误! 未找到引用源。(d) （错误! 未找到引用源。）,k 错误! 未找到引用源。【答案】 d【解析】1+试题分析：由五点作图知，42，解得=， =，所以f (x)cos(x) ，5+344令 2kx2k 442, kz ，解得 2k1 x 2k 43， kz ，故单调减区间为4（ 2k1 ， 2k43）， kz ，故选 d.4考点：三角函数图像与性质5、（ 2015 全国 i 卷 16 题） 在平面四边形 abcd中， a=b= c=75，bc=2，则 ab的取值范围是【答案】（62 ，6+2 ）【解析】试题分析：如图所示，延长ba，cd交于 e，平移 ad，当 a 与 d 重合与 e 点时， ab最长，在 bce中， b= c=75， e=30， bc=2，由正弦定理可得bcbe，即2be，解得 be=6+2 ，平移 ad ，当 d 与 csinesincsin 30osin 75o重合时，ab 最短，此时与 ab 交于 f，在 bcf中， b=bfc=75， fcb=30，由正弦定理知，sinbfbcfcbsinbfc，即bf sin 30o2，解得 bf=62 ，sin 75o所以 ab 的取值范围为（62 ，6+2 ）.考点：正余弦定理；数形结合思想6. （2014 全国 i 卷 8 题）设(0,) ，(0,) ，且tan1sin，则22cosa . 3b . 2c . 3d . 22222【答案】：【解析】：tansin1sincoscos， sincoscoscossinsincossin，,022222，即 2，选 b227、（ 2014 全国 i 卷 16 题）已知a,b, c 分别为abc的三个内角a, b, c 的对边， a =2，且(2b)(sin asin b)(cb)sinc ，则abc 面积的最大值为.【答案】：3【解析】：由 a2 且(2b )(sin asinb)(cb)sin c ，即 (ab )(sin asinb)(cb)sinc ，由及正弦定理得：(ab)( ab)(cb)c b2c2a 222bc ，故cos ab 2c22bc1a21，2a600 ， b 2c24bc4bcbcbc ，s abcbcsin a3 ，28、（ 2013全国 i卷15题）设当 x=时，函数 f (x) sinx2cosx取得最大值，则cos = 【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题， 是难题 .【解析】f ( x)= sin x2cos x =5(5 sin x2555cos x)令 cos=5， sin525，则 f5( x) =5(sinx cossincos x)=5 sin( x) ，当 x= 2k,kz ，即 x = 2k2, kz 时，2f ( x)取最大值，此时25= 2k, kz ， cos= cos(2k2) = sin=.259、（ 2013全国 i卷17题）（本小题满分12分）如图，在 abc中， abc90， ab=3 ， bc=1，p为 abc内一点， bpc 90 1(1) 若 pb=，求 pa；2(2) 若 apb 150 ，求 tan pba【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（）由已知得，pbc=60 o ， pba=30o，在 pba 中，由余弦定理得pa2 = 31231 cos30 o = 7， pa=7 ；4242（ ） 设 pba=， 由 已 知 得 ， pb= sin， 在 pba 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ，3sinsin150osin(30o)，化简得，3 cos4sin， tan=3 ， tanpba=3 .4410、（ 2016 全国 ii 卷 7 题）若将函数y=2sin 2 x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图12象的对称轴为（a ） xk kz（ b） x 26k kz 26（c） xk kz 212（ d） xk kz 212【解析】 b平移后图像表达式为y2sin 2x12，令 2xk+xk kz122，得对称轴方程：，26故选 b 11、（2016 全国 ii 卷 9 题）若 cos4（ a ） 7251（ b）5（c）3 ，则 sin 2515=（d ）725【解析】 d cos345 ， sin 2cos2222cos41725 ，故选 d12、（ 2016 全国 ii 卷 13 题） abc 的内角 a， b， c 的对边分别为a，b， c，若 cos a54，cosc135， a1，则 b21【解析】 13 cos a45， cos c513，sin a3， sin c512，13sin bsinacsin a cos ccos a sin c63，65b由正弦定理得：sin bsin a 解得 ba2113 13、（ 2015 全国 ii 卷 17 题） ?abc中， d 是 bc 上的点， ad 平分 bac， ? abd 是? adc面积的 2 倍。sin( )求sinbc;( ) 若 ad =1， dc =2 求 bd 和 ac 的长 .214、（ 2014 全国 ii 卷 4 题）钝角三角形abc的面积是12， ab=1