概率与统计初步(含习题训练)

第九章概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情，有n 类办法，在第1 类办法中有m1 种不精品资料同的方法， 在第 2 类办法中有m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：nm1m 2mn 种不同的方法；2、 （分步计数） 分步乘法原理： 完成一件事情， 需要分成 n 个步骤， 做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：nm1m2mn 种不同的方法；3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步”主要看能否一步做完，能够一步做完的就是分类（用加法原理） ，不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）；二、排列与组合1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出mmn个不同元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数，用符号ma n 表示，且：ma nn n1n2nm1,mn2、n 的阶乘：自然数1 到 n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：n!，且：n!n n1n22 1, 规定：0！ 1易知排列数公式也可写为：nn!amnm !3、 组合数公式：从n 个不同的元素中取出mmn个不同元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号mcnn 表示，且：mcma nnm!n n1n2 m m1mnm122 1,mn, 规定：c 01组合数公式也可写为：mn!cnm!nm !ccnn4、 组合数的两个性质：1mn m2n 1n mm 1ccnncm5、 排列与组合的区别：排列与顺序有关；组合与顺序无关。三、概率1、 基本概念（ 1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象；（ 2） 随机试验的特征：可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的， 并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（ 3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母a 、b、c表示；（ 4） 必然事件：在一次随机试验中必然要发生的事件，用表示（读作“omiga ”，对应的小写希腊字母是“” ）；（ 5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用表示（读作“fai ）”；（ 6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件，即：最简单的随机事件；（ 7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件；2、频数与频率（ 1） 频数：在n 次重复试验中，事件a 发生了 m 次 0mn ， m 叫做事件a 发生的频数；（ 2） 频率：在 n 次重复试验中，事件a 发生的频数在试验总次数中所占的比例m ，n叫做事件a 发生的频率；3、概率（ 1） 一般地，当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近， 那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：；（ 2） 概率的性质：i. 对于必然事件： p1ii. 对于不可能事件： p0iii. 0p a14、古典概型（ 1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同，那么称这个随机试验属于古典概型；（ 2） 概率：设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同， 事件 a 包含 m 个基本事件，那么事件发生的概率为：p aa包含的基本事件m基本事件总数n（ 3） 事件的“交：”“ab ”表示a、b 同时发生，记作：ab ；（ 4） 事件的“并：”“ab ”表示a、b 中至少有一个会发生，又称为事件a 与事件 b 的和事件；（ 5） 事件的“否：”a 表示事件a的对立事件； （ a 读作 a bar ，“a 拔”）（ 6） 互为对立的事件：若事件 a 是事件 b 的对立面， 且 ab, ab;（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件a 与 b 有且仅有一个发生）（ 7） 互斥事件（互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：ab；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件）（ 8） 相互独立事件：在随机试验中，如果事件a 的发生不会影响事件b 发生的可能性的大小， 即在事件a发生的情况下， 事件 b 发生的概率等于事件b 原来的概率， 那么称事件a与事件 b 相互独立； ( 事件 a 发生与否，不影响事件b 的概率 )（ 9） 若 a、 b 是互斥事件，则：p abp ap b（ 10） 若 a、 b 是对立事件，则：1p ap b，即： p a1p a（ 11） 若 a、 b 不是互斥事件，则：p abp ap bp ab（ 12） 若 a、 b 是相互独立事件，则：p abp abp ap b四、总体、样本与抽样方法例 1 ：为了了解全校1120 名一年级学生的身高情况，从中抽取100 名学生进行测量；1、总体：在统计中，所研究对象的全体；例1 中“全校1120 名一年级学生的身高”是总体；2、个体：组成总体的每一个对象；例1 中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、样本：被抽取出来的个体的集合；例1 中“抽取的 100 名一年级学生的身高”是样本；4、样本容量：样本所含个体的数目；例1 中“100 ”是样本容量；5、抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、说明：当总体中的个数比较小时，常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多， 且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、样本均值：1xx1x2xn n212222、样本方差：sx1xnx2xxnx3、样本标准差：s12x1xn2x2x2xnx4、说明：均值反映了样本和总体的平均水平；方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法：把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形， 每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图。注：频数是指各组内数据的个数；每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率；例：作出表格1 中数据的频率分布直方图（本例题引用来自百度搜索）表格1分组（组距 =3 ）频数频率频率/组距150.5 ，153.5 ）40.040.013153.5 ，156.5 ）80.080.026156.5,159.5)80.080.026159.5,162.5)110.110.036162.5,165.5)220.220.073165.5,168.5)190.190.063168.5,171.5)140.140.046171.5,174.5)70.070.023174.5,177.5)40.040.013177.5,180.5)30.030.01合计1001如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图六、章节习题9.1计数原理(1) 某人到s 城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4 间单人房、 6 间双人房，乙旅社剩下9 间单人房、 2 间双人房，则现在住宿有种不同的选择；(2) 一家人到s 城旅游， 入住旅社的空房只剩下12 间单人房和8 间双人房， 现需要订一间单人房和一间双人房，有种不同的选择；(3) 4 封不同的信，要投到3 个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；(4) 4 封不同的信，要投到3 个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有种；(5) 3 封不同的信，要投到4 个不同的信箱中，共有种不同的投递的方法；(6) 一个学生从7 本不同的科技书、8 本不同的文艺书、6 本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有种；(7) 一个学生从7 本不同的科技书、8 本不同的文艺书、6 本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有种；(8) 由 1 ， 2， 3 ， 4， 5 五个数字组成的三位数，共有个；(9) 由 1 ， 2， 3 ， 4， 5 五个数字组成没有重复数字的三位数，共有个；9.2排列组合(10) 7 人站成一排，一共有种不同的排法；(11) 7 人中选出3 人排成一排，一共有种不同的排法；(12) 7 人中选出3 人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有种不同的选法；(13) 5 人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有种不同的排法；(14) 8 人排成一排，其中a 、b 两人必须排在一起，一共有种不同的排法；(15) 8 人排成一排，其中a 、b 、c 三人不在排头并且要互相隔开，一共有种不同的排法；(16) 10 件产品中有3 件次品，从中任取2 件，至少有一件次品的取法共有种；(17) 10 件产品中有3 件次品，从中任取2 件，至多有一件次品的取法共有种；(18) 集合1,2,3,4,5,6,7,8，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有种不同的排列（取法） ；(19) 10 位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行场比赛；(20) 学生要从六门课中选学两门：如果有两门课时间冲突，不能同时学，有种选法；如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有种选法；(21) 一个口袋内有6 个小球，另一个口袋内有5 个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有种 不 同 的 取法；9.3概率(22) 表示必然事件，p；表示不可能事件，p；(23) 一道选择题共有4 个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案， 那么它选对的概率是；(24) 掷一颗骰子，第一次得到6 点，那么他第二次掷这颗骰子得到6 点的概率（）1a. 大于61b. 等于61c. 等于21d. 等于36(25) 甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6 点的概率为（）1a. 大于61b. 等于61c. 等于21d. 等于36(26) 在 10 件产品中有2 件次品，从中任取2 件都是合格品的概率是(27) 有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为0.8 ，那么播下3 粒种子恰好33粒种子都发芽的概率是（）a.0.80.80.8b. 0.8c.0.8d.0.5(28) 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件a 为“出现1 点”，事件 b 为“出现2 点”,已知1p ap b，则事件“出现 1 点或 2 点”的概率为6(29) 做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用1,2,3,4,5,6,7,8表示，设事件 a1,3,5，事件 b4,5,6,7， 则 p a， p b，p ab， p a， p， p ab(30) 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是11，乙能解决它的概率是，如23果两人试图独立在半小时内解决它，两人都未解决的概率是；问题得到解决的概率是(31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：甲为0.5 ，乙为0.7 ，丙为 0.6 ，求三人同时各射击一次，没人击中靶心的概率是多少？(32) 某射手在一次射击训练中，射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为0.21 、0.23 、0.25 、0.28 ，则这个射手在一次射击中射中10 环或 7 环的概率是：9.4总体、样本与抽样方法(33) 在统计中，所研究对象的全体叫做，组成总体的每个对象叫做， 被抽取出来的个体的集合叫做，样本所含个体的数目叫做(34) 为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225 个商品，在这个问题中，225个商品的质量是（）a. 个体b. 总体c. 样本d.样本容量(35) 要了解某种电子产品的质量，从中抽取450 个产品进行检验，在这个问题中，450叫做（）a. 个体b. 总体c. 样本d.样本容量(36) 为了了解全年级523 名同学的视力情况，从中抽取90 名同学进行测量，在这个问题中，总体是指，个体是指，样本是指；样本容量是(37) 要完成以下两项调查：从某社区125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；从某中学高三年级的12 名体育特长生中选出3 人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是：a.用随机抽样法，用系统抽样法b.用系统抽样法，用分层抽样法c.用分层抽样法，用随机抽样法d.用分层抽样法，用系统抽样法(38) 无论是简单随机抽样还是系统抽样，抽样过程中每个个体被抽取的相等；(39) 抽签法、随机数法都是抽样；(40) 当总体的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分抽取一定数目的样本，得到所需要的样本，这种抽样叫做(41) 当总体由差异明显的几个部分组成时，一般采用抽样；(42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为 1500 人、1200 人和 1300 人，现采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了 75 人， 则这次调查中，高二年级共抽查了人，三个年级全部抽查了人；9.5用样本估计总体(43) 数据 90 、87 、91 、92、90 的平均值是，方差是，标准差是(44) 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示(45) 画频率分布直方图，根