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5 3拉普拉斯变换的基本性质 主要内容 线性延时 时域平移 尺度变换s域平移原函数积分原函数微分对s域微分对s域积分初值终值时域卷积 基本要求 对下列性质的熟练掌握 数学描述 应用 延时性质尺度变换对时间函数的微分 积分初值 终值性质时域卷积 一 线性性质 解 例 说明 前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性 二 延时 时域平移 证明 若则 二 延时 时域平移 注意 1 一定是的形式的信号才能用时移性质 2 信号一定是右移 3 表达式等所表示的信号不能用时移性质 因为 所以 解 二 延时 时域平移 解 4种信号的波形如图 例 二 延时 时域平移 只有信号可以用延时性质 二 延时 时域平移 解 例 二 延时 时域平移 不能采用时延性质计算 二 延时 时域平移 时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换 结论 单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换 第一个周期的信号为 所以 三 尺度变换 时移和尺度变换都有 证明 若则 四 s域平移 证明 若则 例 求的拉氏变换 解 五 时域微分定理 推广 证明 若则 六 时域积分定理 证明 若则 1 因为第一项与t无关 是一个常数 2 如果f t 是一个因果信号 则这一项为0 例 求图示信号的拉普拉斯变换 求导得 所以 解 六 时域积分定理 若则取正整数 七 s域微分定理 证明 对拉普拉斯正变换定义式求导得 即得证 七 s域微分定理 例 解 因为 所以 八 s域积分定理 两边对s积分 交换积分次序 证明 若则 若拉氏变换存在 且 九 初值定理和终值定理 终值存在的条件 若的拉氏变换存在 且则 初值定理 的所有极点有负实部 终值定理 证明 证明 初值定理应用的条件 f t 不包含冲激信号及其各阶导数项 则 由时域微分定理可知 所以 返回 九 初值定理和终值定理 初值定理证明 所以 终值定理证明 根据初值定理证明时得到的公式 九 初值定理和终值定理 返回 例 确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值 初值 终值 初值 终值 注意应用终值定理的条件是满足的 解 九 初值定理和终值定理 初值 因为有两重极点 并不具有负实部 因此不能应用终值定理 即的终值不存在 九 初值定理和终值定理 例 解 即单位阶跃信号的初始值为1 十 时域卷积 若为因果信号则 证明 交换积分次序 作业 13 06 08 P1815 3 2 4 6 8 5 4 1 3
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