线性系统的根轨迹分析法资料.ppt

第四章线性系统的根轨迹法 回顾与展望 线性系统分析的三种方法 1 时间域法2 根轨迹法3 频域法时间域法 特点 直观 准确 能提供系统时间响应的全部信息 内容 稳定性分析 充要条件 闭环系统特征根均具有负实部 劳斯稳定判据 劳斯表首列各值为正 用闭环特征方程构造劳斯表 2 根轨迹法 分析和设计LTI系统的图解方法 使用十分简便 特别在进行多回路系统分析时 应用根轨迹法比用其它方法更为方便 因此在工程实践中获得了广泛应用 回顾与展望 学习目的及要求 掌握根轨迹的基本概念掌握控制系统根轨迹的绘制方法能够运用根轨迹法对控制系统进行分析明确等效开环传递函数的概念 能正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图 重点难点 重点 根轨迹的绘制利用根轨迹分析控制系统关键点 特征方程幅值条件 相角条件 学习方法 通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法 不要死记硬背各种绘制法则 要多总结归纳典型极 零点分布对根轨迹的大致图形 用 学习 一 根轨迹的概念 根轨迹 开环系统某一参数从零变到无穷时 闭环系统特征方程式的根 闭环系统的极点 在S平面上变化的轨迹 4 1根轨迹法的基本概念 1 如图所示 一般闭环系统的闭环传递函数为 2 闭环系统特征方程式 一 根轨迹的概念 根轨迹 开环系统某一参数从零变到无穷时 闭环系统特征方程式的根 闭环系统的极点 在S平面上变化的轨迹 3 试分析右图所示系统的闭环特征方程式的根随系统开环增益K的变化在S平面的分布情况 4 1根轨迹法的基本概念 R s C s 二阶系统的闭环传递函数 开环增益K从零变到无穷 可以用解析方法求出闭环极点的全部数值 R s C s 根轨迹法的优点 不用求解高阶方程 通过图解的方法找出闭环极点 并且知道闭环极点的变化趋势 可以方便地实现高阶系统的性能分析和设计 4 2常规根轨迹的绘制法则 通常 我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹 或一般根轨迹 绘制普通根轨迹的基本法则主要有8条 根轨迹的起点与终点 根轨迹的分支数 对成性和连续性 实轴上的根轨迹 根轨迹的渐近线 根轨迹在实轴上的分离点 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹与虚轴的交点 根之和 法则一根轨迹的起点与终点 结论 根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 如果开环极点数n大于开环零点数m 则有m条根轨迹终止于开环零点 称为有限零点 有n m条根轨迹终止于s平面的无穷远处 无限零点 如果开环零点数m大于开环极点数n 则有m n条根轨迹起始于s平面的无穷远处 无限极点 法则二根轨迹的分支数 连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数 既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根 即闭环极点 在S平面上的分布 那么 根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数 结论 根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数n 或者说等于系统的闭环极点数n 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线 法则三实轴上的根轨迹 若实轴上某线段右侧的开环零 极点的个数之和为奇数 则该线段是实轴上的根轨迹 法则四根轨迹的渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m时 系统有n m条根轨迹终止于S平面的无穷远处 这n m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线 因此 浙近线也有n m条 且它们交于实轴上的一点 渐近线与实轴的交点位置和与实轴正方向的交角分别为 设开环传递函数为开环极点数n 2 开环零点数m 0 n m 2 两条渐近线在实轴上的交点位置为它们与实轴正方向的交角分别为 例已知系统的开环传递函数为试画出该系统根轨迹的渐近线 解对于该系统有n 4 m 1 n m 3 三条渐近线与实轴交点位置为它们与实轴正方向的交角分别是 法则五根轨迹的分离点和分离角 分离点 两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上相遇又立即分开的点 称为根轨迹的分离点 根轨迹的分离点 实质上就是系统特征方程的等实根 实轴上的分离点 或等共轭复根 复平面上的分离点 分离点方程的另一种形式 当开环系统无有限零点时 则上式应写为 分离角 根轨迹进入分离点的切线方向与分离点的切线方向之间的夹角 例如 当系统开环传递函数为 时 系统根轨迹分离点方程为 解方程得 d 1 由于实轴上的根轨迹为 2 0 段 由此可见d 1位于根轨迹上 故 根轨迹分离点为 d 1 例4 1设某单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制其概略根轨迹 例已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点 解本系统无有限开环零点 其根轨迹分离点坐标满足 解方程得 由规则五知 实轴上的根轨迹为 1到 2线段和 3到 线段 不在上述两线段上 应舍去 是实轴根轨迹上的点 所以是根轨迹在实轴上的分离点 运用前面的六条规则 可绘制如图4 7所示的根轨迹图 法则六根轨迹的起始角和终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时 根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢 这就是所谓的起始角和终止角问题 先给出定义如下 起始角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角 终止角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角 法则七根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根 实部为零 这时 用s j 代入特征方程可得 由此可得虚部方程和实部方程 解虚部方程可得角频率 c 即根轨迹与虚轴的交点的坐标值 用 c代入实部方程 可求出系统开环根轨迹增益的临界值Kc Kc的物理含义是使系统由稳定 或不稳定 变为不稳定 或稳定 的系统开环根轨迹增益的临界值 它对如何选择合适的系统参数 使系统处于稳定的工作状态有重要意义 例 设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹 解 1 确定实轴上的根轨迹 2 确定根轨迹的渐近线 3 确定根轨迹的分离点 4 确定根轨迹的起始角 量测各向量相角 得 5 确定根轨迹与虚轴的交点 以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则 此外 尚须注意以下几点规范画法 根轨迹的起点 开环极点Pi 用符号 X 标示 根轨迹的终点 开环零点Zi 用符号 o 标示 根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益K 值的增加而运动的 要用箭头标示根轨迹运动的方向 要标出一些特殊点的K 值 如起点 K 0 终点 K 根轨迹在实轴上的分离点d K K d 与虚轴的交点 c K Kc 还有一些要求标出的闭环极点S1及其对应的开环根轨迹增益K1 也应在根轨迹图上标出 以便于进行系统的分析与综合 绘制根轨迹图示例 例4 7已知系统的开环传递函数为试绘制该系统完整的根轨迹图 当k 0时当k 1时当k 2时 由规则四知 可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角 由规则五知 实轴上的根轨迹为实轴上P1到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段 由规则六知 根轨迹与实轴的交点 分离点 是方程解的合理值 解得不在实轴的根轨迹上 舍去 实际的分离点应为 无复数开环极点和零点 不存在起始角和终止角 解虚部方程得 其中 1 0是开环极点P1对应的坐标值 它是根轨迹的起点之一 合理的交点应为将代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值Krc 6 绘制出该系统的根轨迹图如图4 11所示 由规则八 可求出根轨迹与虚轴的交点 c及对应的开环根轨迹增益的临界值Krc 用s j 代入特征方程得 1 d 解 1 是一个二阶系统 在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹 2 由开环传递函数可知 该系统有一个开环实零点z1 2和一对开环共轭复数极点P1 2 1 j 根轨迹的起点为P1 Kr 0 和P2 Kr 0 其终点为Z1 Kr 和无穷远点 3 由规则五知 实轴上由 2至 的线段为实轴上的根轨迹 4 由规则六 可求出根轨迹与实轴的交点 分离点 分离点方程是 例4 8已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图 即解方程可得d2 0 586不在实轴上的根轨迹上 舍去 实际的分离点为d1 由规则七 可求出开环复数极点 根轨迹的起点 的起始角 证明已知系统的开环零点和极点分别为 令s u jv为根轨迹的任一点 由相角条件可得将s 和代入得即 应用三角公式 6 为准确地画出S平面上根轨迹的图形 运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 圆心位于点 2 j0 的圆弧 将上式等号左边合并可得到将上式等号两边取正切 则有 方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 2 j0 半径为的圆弧 由此 可画出根轨迹的准确图形如图4 12所示 由本例不难发现 由两个开环极点 实极点或复数极点 和一个开环实零点组成的二阶系统 只要实零点没有位于两个实极点之间 当开环根轨迹增益由零变到无穷大时 复平面上的闭环根轨迹 是以实零点为圆心 以实零点到分离点的距离为半径的一个圆 当开环极点为两个实极点时 或圆的一部分 当开环极点为一对共轭复数极点时 这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行 1 反馈控制系统的结构图所示 试画出闭环系统的根轨迹在和两种情况下的大致根轨迹 并分析系统的稳定性 课堂练习 2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为要求 1 绘制系统的根轨迹 并由根轨迹分析系统的性能 2 求出当时系统的单位阶跃响应 并说明响应有无超调 1 解系统的开环传递函数为 式中 当时 闭环特征方程为按相角条件绘制根轨迹 根轨迹分